2次方程式の解のうち,実数であるものを 実数解 ,虚数であるものを 虚数解 といいます。
2次方程式 ax^2+bx+c=0 の解が実数解なのか虚数解なのかを判断するには,解の公式
x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\colorbox{mistyrose}{$b^2-4ac$}}\textcolor{orange}{=D}}{2a}
のルートの中(判別式D)で見分けられます。数学1ではルートの中がマイナスになれば解がありませんでしたが、複素数を使えばマイナスになっても問題はありません。
x の係数が b=2 \times ◯ となおせる場合は,D の代わりに\dfrac{D}{4} = ◯^2-ac
を使うこともできます。2つの解の公式を使い分けられると計算が楽になりますね。
次の2次方程式の解の種類を判別しよう。
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【解答】
\def\va{3}\def\vbf{+}\def\vb{5}\def\vcf{+}\def\vc{1} \def\bz{25} \def\ac{3} \def\myac{-12} \def\hanbetu{13} \def\hantei{>0} \def\kotae{異なる2つの実数解をもつ} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{orange}{\bf 先頭 }\colMM{green}{\bf 真ん中 }\colMM{magenta}{\bf 最後}\\ \colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} &= 0\\ \\ & \colMM{green}{\bf 真ん中^2}\colMM{orange}{\bf \Darr 先頭}\times\colMM{magenta}{\bf 最後}\\ D &= \colBX{palegreen}{$\bz$}-4 \cdot\colFR{orange}{\colFR{violet}{$\ac$}}\\ & \colMM{red}{ \swarrow かけ算が先}\\ &= \bz \myac\\ &\\ &= \hanbetu \colBX{mistyrose}{\hantei}\\ \\ よって, & この2次方程式は\\ & \colBX{mistyrose}{$\kotae$} \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
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【解答】
\def\va{9}\def\vbf{+}\def\vb{6}\def\vcf{+}\def\vc{1} \def\bz{36} \def\ac{9} \def\myac{-36} \def\hantei{=\ 0} \def\kotae{重解をもつ} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{orange}{\bf 先頭 }\colMM{green}{\bf 真ん中 }\colMM{magenta}{\bf 最後}\\ \colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} &= 0\\ \\ & \colMM{green}{\bf 真ん中^2}\colMM{orange}{\bf \Darr 先頭}\times\colMM{magenta}{\bf 最後}\\ D &= \colBX{palegreen}{$\bz$}-4 \cdot\colFR{orange}{\colFR{violet}{$\ac$}}\\ & \colMM{red}{ \swarrow かけ算が先}\\ &= \bz \myac\\ &\\ & \colBX{mistyrose}{\hantei}\\ \\ よって, & この2次方程式は\\ & \colBX{mistyrose}{$\kotae$} \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
【解答】真ん中が偶数!
\def\va{9}\def\vbf{+}\def\vb{6}\def\vcf{+}\def\vc{1} \def\bh{3} \def\bz{9} \def\ac{9} \def\hantei{=\ 0} \def\kotae{重解をもつ} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{deepskyblue}{ \nearrow 真ん中 \div 2} & \colMM{deepskyblue}{= \bh \Rightarrow 2乗して\ }\colBX{lightcyan}{\color{blue}\bz}\\ \colMM{orange}{\bf 先頭 }\colMM{green}{\bf 真ん中 }\colMM{magenta}{\bf 最後}\\ \colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} &= 0\\ \\ & \colMM{orange}{\bf \Darr 先頭}\times\colMM{magenta}{\bf 最後}\\ \dfrac{D}{4} &= \colBX{lightcyan}{$\bz$}- \colFR{orange}{\colFR{violet}{$\ac$}}\\ &\\ & \colBX{mistyrose}{\hantei}\\ \\ よって, & この2次方程式は\\ & \colBX{mistyrose}{$\kotae$} \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
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【解答】
\def\va{2}\def\vbf{}\def\vb{-1}\def\vcf{+}\def\vc{3} \def\bz{1} \def\ac{6} \def\myac{-24} \def\hanbetu{-23} \def\hantei{<0} \def\kotae{異なる2つの虚数解をもつ} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{orange}{\bf 先頭 }\colMM{green}{\bf 真ん中 }\colMM{magenta}{\bf 最後}\\ \colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} &= 0\\ \\ & \colMM{green}{\bf 真ん中^2}\colMM{orange}{\bf \Darr 先頭}\times\colMM{magenta}{\bf 最後}\\ D &= \colBX{palegreen}{$\bz$}-4 \cdot\colFR{orange}{\colFR{violet}{$\ac$}}\\ & \colMM{red}{ \swarrow かけ算が先}\\ &= \bz \myac\\ &\\ &= \hanbetu \colBX{mistyrose}{\hantei}\\ \\ よって, & この2次方程式は\\ & \colBX{mistyrose}{$\kotae$} \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
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【解答】
\def\va{1}\def\vbf{+}\def\vb{5}\def\vcf{+}\def\vc{5} \def\bz{25} \def\ac{5} \def\myac{-20} \def\hanbetu{5} \def\hantei{>0} \def\kotae{異なる2つの実数解をもつ} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{orange}{\bf 先頭 }\colMM{green}{\bf 真ん中 }\colMM{magenta}{\bf 最後}\\ \colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} &= 0\\ \\ & \colMM{green}{\bf 真ん中^2}\colMM{orange}{\bf \Darr 先頭}\times\colMM{magenta}{\bf 最後}\\ D &= \colBX{palegreen}{$\bz$}-4 \cdot\colFR{orange}{\colFR{violet}{$\ac$}}\\ & \colMM{red}{ \swarrow かけ算が先}\\ &= \bz \myac\\ &\\ &= \hanbetu \colBX{mistyrose}{\hantei}\\ \\ よって, & この2次方程式は\\ & \colBX{mistyrose}{$\kotae$} \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
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【解答】
\def\va{2}\def\vbf{+}\def\vb{4}\def\vcf{+}\def\vc{3} \def\bz{16} \def\ac{6} \def\myac{-24} \def\hanbetu{-8} \def\hantei{<0} \def\kotae{異なる2つの虚数解をもつ} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{orange}{\bf 先頭 }\colMM{green}{\bf 真ん中 }\colMM{magenta}{\bf 最後}\\ \colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} &= 0\\ \\ & \colMM{green}{\bf 真ん中^2}\colMM{orange}{\bf \Darr 先頭}\times\colMM{magenta}{\bf 最後}\\ D &= \colBX{palegreen}{$\bz$}-4 \cdot\colFR{orange}{\colFR{violet}{$\ac$}}\\ & \colMM{red}{ \swarrow かけ算が先}\\ &= \bz \myac\\ &\\ &= \hanbetu \colBX{mistyrose}{\hantei}\\ \\ よって, & この2次方程式は\\ & \colBX{mistyrose}{$\kotae$} \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
【解答】真ん中が偶数!
\def\va{2}\def\vbf{+}\def\vb{4}\def\vcf{+}\def\vc{3} \def\bh{2} \def\bz{4} \def\ac{6} \def\hanbetu{-2} \def\hantei{<\ 0} \def\kotae{異なる2つの虚数解をもつ} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{deepskyblue}{ \nearrow 真ん中 \div 2} & \colMM{deepskyblue}{= \bh \Rightarrow 2乗して\ }\colBX{lightcyan}{\color{blue}\bz}\\ \colMM{orange}{\bf 先頭 }\colMM{green}{\bf 真ん中 }\colMM{magenta}{\bf 最後}\\ \colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} &= 0\\ \\ & \colMM{orange}{\bf \Darr 先頭}\times\colMM{magenta}{\bf 最後}\\ \dfrac{D}{4} &= \colBX{lightcyan}{$\bz$}- \colFR{orange}{\colFR{violet}{$\ac$}}\\ &\\ &= \hanbetu \colBX{mistyrose}{\hantei}\\ \\ よって, & この2次方程式は\\ & \colBX{mistyrose}{$\kotae$} \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
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先頭がマイナス \Rightarrow 両辺 \times (-1)
【解答】
\def\va{4}\def\vbf{}\def\vb{-1}\def\vcf{+}\def\vc{1} \def\bz{1} \def\ac{4} \def\myac{-16} \def\hanbetu{-15} \def\hantei{<0} \def\kotae{異なる2つの虚数解をもつ} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{orange}{\bf 先頭 }\colMM{green}{\bf 真ん中 }\colMM{magenta}{\bf 最後}\\ \colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} &= 0\\ \\ & \colMM{green}{\bf 真ん中^2}\colMM{orange}{\bf \Darr 先頭}\times\colMM{magenta}{\bf 最後}\\ D &= \colBX{palegreen}{$\bz$}-4 \cdot\colFR{orange}{\colFR{violet}{$\ac$}}\\ & \colMM{red}{ \swarrow かけ算が先}\\ &= \bz \myac\\ &\\ &= \hanbetu \colBX{mistyrose}{\hantei}\\ \\ よって, & この2次方程式は\\ & \colBX{mistyrose}{$\kotae$} \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
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【解答】
\def\va{1}\def\vbf{}\def\vb{-2\sqrt{3}}\def\vcf{+}\def\vc{3} \def\bz{12} \def\ac{3} \def\myac{-12} \def\hantei{=\ 0} \def\kotae{重解をもつ} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{orange}{\bf 先頭 }\colMM{green}{\bf 真ん中 }\colMM{magenta}{\bf 最後}\\ \colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} &= 0\\ \\ & \colMM{green}{\bf 真ん中^2}\colMM{orange}{\bf \Darr 先頭}\times\colMM{magenta}{\bf 最後}\\ D &= \colBX{palegreen}{$\bz$}-4 \cdot\colFR{orange}{\colFR{violet}{$\ac$}}\\ & \colMM{red}{ \swarrow かけ算が先}\\ &= \bz \myac\\ &\\ & \colBX{mistyrose}{\hantei}\\ \\ よって, & この2次方程式は\\ & \colBX{mistyrose}{$\kotae$} \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
b^2の計算
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} b^2 &= (-2\sqrt{3})^2\\ &= (-2)^2(\sqrt{3})^2\\ &= 4 \cdot 3 = \colBX{palegreen}{$12$} \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
【解答】真ん中が偶数!
\def\va{1}\def\vbf{}\def\vb{-2\sqrt{3}}\def\vcf{+}\def\vc{3} \def\bh{-\sqrt{3}} \def\bz{3} \def\ac{3} \def\hantei{=\ 0} \def\kotae{重解をもつ} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{deepskyblue}{ \nearrow 真ん中 \div 2} & \colMM{deepskyblue}{= \bh \Rightarrow 2乗して\ }\colBX{lightcyan}{\color{blue}\bz}\\ \colMM{orange}{\bf 先頭 }\colMM{green}{\bf 真ん中 }\colMM{magenta}{\bf 最後}\\ \colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} &= 0\\ \\ & \colMM{orange}{\bf \Darr 先頭}\times\colMM{magenta}{\bf 最後}\\ \dfrac{D}{4} &= \colBX{lightcyan}{$\bz$}- \colFR{orange}{\colFR{violet}{$\ac$}}\\ &\\ & \colBX{mistyrose}{\hantei}\\ \\ よって, & この2次方程式は\\ & \colBX{mistyrose}{$\kotae$} \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan