２次方程式の解の種類を判別する

SHARE

ただいま作成中

私の授業で使いながら問題を増やしているため、完成するまでに時間がかかりそうです。少しずつ問題を増やしたり、ポイント解説を付けたりしていきます。無限の彼方で完成する日を、どうぞご期待ください。

Happy Math-ing!

未完成でもよければ、使ってやってください。😃

２次方程式の解のうち，実数であるものを 実数解 ，虚数であるものを 虚数解 といいます。

２次方程式 ax^2+bx+c=0 の解が実数解なのか虚数解なのかを判断するには，解の公式

x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\colorbox{mistyrose}{$b^2-4ac$}}\textcolor{orange}{=D}}{2a}

のルートの中（判別式D）で見分けられます。数学１ではルートの中がマイナスになれば解がありませんでしたが、複素数を使えばマイナスになっても問題はありません。

２次方程式の解の種類の判別

２次方程式 ax^2+bx+c=0 の解と，その判別式 D=b^2-4ac について

D>0異なる２つの実数解をもつ
D=0重解（実数解）
D<0異なる２つの虚数解をもつ
D \geqq 0実数解をもつ（D>0 かつ D=0）

x の係数が b=2 \times ◯ となおせる場合は，D の代わりに

\dfrac{D}{4} = ◯^2-ac

を使うこともできます。２つの解の公式を使い分けられると計算が楽になりますね。

次の２次方程式の解の種類を判別しよう。

↓この問題へのリンクはこちら（右クリックで保存）

【解答】

\def\va{3}\def\vbf{+}\def\vb{5}\def\vcf{+}\def\vc{1}
\def\bz{25}
\def\ac{3}
\def\myac{-12}
\def\hanbetu{13}
\def\hantei{>0}
\def\kotae{異なる２つの実数解をもつ}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{orange}{\bf 先頭　}\colMM{green}{\bf 真ん中　　}\colMM{magenta}{\bf 最後}\\
\colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} &= 0\\
\\
& \colMM{green}{\bf 　真ん中^2}\colMM{orange}{\bf 　　　　\Darr 先頭}\times\colMM{magenta}{\bf 最後}\\
D &= \colBX{palegreen}{$\bz$}-4 \cdot\colFR{orange}{\colFR{violet}{$\ac$}}\\
& \colMM{red}{　　　　　　\swarrow かけ算が先}\\
&= \bz \myac\\
&\\
&= \hanbetu \colBX{mistyrose}{\hantei}\\
\\
よって， & この２次方程式は\\
& \colBX{mistyrose}{$\kotae$}
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

↓この問題へのリンクはこちら（右クリックで保存）

【解答】

\def\va{9}\def\vbf{+}\def\vb{6}\def\vcf{+}\def\vc{1}
\def\bz{36}
\def\ac{9}
\def\myac{-36}
\def\hantei{=\ 0}
\def\kotae{重解をもつ}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{orange}{\bf 先頭　}\colMM{green}{\bf 真ん中　　}\colMM{magenta}{\bf 最後}\\
\colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} &= 0\\
\\
& \colMM{green}{\bf 　真ん中^2}\colMM{orange}{\bf 　　　　\Darr 先頭}\times\colMM{magenta}{\bf 最後}\\
D &= \colBX{palegreen}{$\bz$}-4 \cdot\colFR{orange}{\colFR{violet}{$\ac$}}\\
& \colMM{red}{　　　　　　\swarrow かけ算が先}\\
&= \bz \myac\\
&\\
& \colBX{mistyrose}{\hantei}\\
\\
よって， & この２次方程式は\\
& \colBX{mistyrose}{$\kotae$}
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

【解答】真ん中が偶数！

\def\va{9}\def\vbf{+}\def\vb{6}\def\vcf{+}\def\vc{1}
\def\bh{3}
\def\bz{9}
\def\ac{9}
\def\hantei{=\ 0}
\def\kotae{重解をもつ}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{deepskyblue}{ \nearrow 真ん中 \div 2} & \colMM{deepskyblue}{= \bh \Rightarrow 2乗して\ }\colBX{lightcyan}{\color{blue}\bz}\\
\colMM{orange}{\bf 先頭　}\colMM{green}{\bf 真ん中　　}\colMM{magenta}{\bf 最後}\\
\colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} &= 0\\
\\
& \colMM{orange}{\bf 　　　　　\Darr 先頭}\times\colMM{magenta}{\bf 最後}\\
\dfrac{D}{4} &= \colBX{lightcyan}{$\bz$}- \colFR{orange}{\colFR{violet}{$\ac$}}\\
&\\
& \colBX{mistyrose}{\hantei}\\
\\
よって， & この２次方程式は\\
& \colBX{mistyrose}{$\kotae$}
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

↓この問題へのリンクはこちら（右クリックで保存）

【解答】

\def\va{2}\def\vbf{}\def\vb{-1}\def\vcf{+}\def\vc{3}
\def\bz{1}
\def\ac{6}
\def\myac{-24}
\def\hanbetu{-23}
\def\hantei{<0}
\def\kotae{異なる２つの虚数解をもつ}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{orange}{\bf 先頭　}\colMM{green}{\bf 真ん中　　}\colMM{magenta}{\bf 最後}\\
\colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} &= 0\\
\\
& \colMM{green}{\bf 　真ん中^2}\colMM{orange}{\bf 　　　　\Darr 先頭}\times\colMM{magenta}{\bf 最後}\\
D &= \colBX{palegreen}{$\bz$}-4 \cdot\colFR{orange}{\colFR{violet}{$\ac$}}\\
& \colMM{red}{　　　　　　\swarrow かけ算が先}\\
&= \bz \myac\\
&\\
&= \hanbetu \colBX{mistyrose}{\hantei}\\
\\
よって， & この２次方程式は\\
& \colBX{mistyrose}{$\kotae$}
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

↓この問題へのリンクはこちら（右クリックで保存）

【解答】

\def\va{1}\def\vbf{+}\def\vb{5}\def\vcf{+}\def\vc{5}
\def\bz{25}
\def\ac{5}
\def\myac{-20}
\def\hanbetu{5}
\def\hantei{>0}
\def\kotae{異なる２つの実数解をもつ}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{orange}{\bf 先頭　}\colMM{green}{\bf 真ん中　　}\colMM{magenta}{\bf 最後}\\
\colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} &= 0\\
\\
& \colMM{green}{\bf 　真ん中^2}\colMM{orange}{\bf 　　　　\Darr 先頭}\times\colMM{magenta}{\bf 最後}\\
D &= \colBX{palegreen}{$\bz$}-4 \cdot\colFR{orange}{\colFR{violet}{$\ac$}}\\
& \colMM{red}{　　　　　　\swarrow かけ算が先}\\
&= \bz \myac\\
&\\
&= \hanbetu \colBX{mistyrose}{\hantei}\\
\\
よって， & この２次方程式は\\
& \colBX{mistyrose}{$\kotae$}
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

↓この問題へのリンクはこちら（右クリックで保存）

【解答】

\def\va{2}\def\vbf{+}\def\vb{4}\def\vcf{+}\def\vc{3}
\def\bz{16}
\def\ac{6}
\def\myac{-24}
\def\hanbetu{-8}
\def\hantei{<0}
\def\kotae{異なる２つの虚数解をもつ}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{orange}{\bf 先頭　}\colMM{green}{\bf 真ん中　　}\colMM{magenta}{\bf 最後}\\
\colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} &= 0\\
\\
& \colMM{green}{\bf 　真ん中^2}\colMM{orange}{\bf 　　　　\Darr 先頭}\times\colMM{magenta}{\bf 最後}\\
D &= \colBX{palegreen}{$\bz$}-4 \cdot\colFR{orange}{\colFR{violet}{$\ac$}}\\
& \colMM{red}{　　　　　　\swarrow かけ算が先}\\
&= \bz \myac\\
&\\
&= \hanbetu \colBX{mistyrose}{\hantei}\\
\\
よって， & この２次方程式は\\
& \colBX{mistyrose}{$\kotae$}
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

【解答】真ん中が偶数！

\def\va{2}\def\vbf{+}\def\vb{4}\def\vcf{+}\def\vc{3}
\def\bh{2}
\def\bz{4}
\def\ac{6}
\def\hanbetu{-2}
\def\hantei{<\ 0}
\def\kotae{異なる２つの虚数解をもつ}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{deepskyblue}{ \nearrow 真ん中 \div 2} & \colMM{deepskyblue}{= \bh \Rightarrow 2乗して\ }\colBX{lightcyan}{\color{blue}\bz}\\
\colMM{orange}{\bf 先頭　}\colMM{green}{\bf 真ん中　　}\colMM{magenta}{\bf 最後}\\
\colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} &= 0\\
\\
& \colMM{orange}{\bf 　　　　　\Darr 先頭}\times\colMM{magenta}{\bf 最後}\\
\dfrac{D}{4} &= \colBX{lightcyan}{$\bz$}- \colFR{orange}{\colFR{violet}{$\ac$}}\\
&\\
&= \hanbetu \colBX{mistyrose}{\hantei}\\
\\
よって， & この２次方程式は\\
& \colBX{mistyrose}{$\kotae$}
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

↓この問題へのリンクはこちら（右クリックで保存）

先頭がマイナス \Rightarrow 両辺 \times (-1)

【解答】

\def\va{4}\def\vbf{}\def\vb{-1}\def\vcf{+}\def\vc{1}
\def\bz{1}
\def\ac{4}
\def\myac{-16}
\def\hanbetu{-15}
\def\hantei{<0}
\def\kotae{異なる２つの虚数解をもつ}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{orange}{\bf 先頭　}\colMM{green}{\bf 真ん中　　}\colMM{magenta}{\bf 最後}\\
\colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} &= 0\\
\\
& \colMM{green}{\bf 　真ん中^2}\colMM{orange}{\bf 　　　　\Darr 先頭}\times\colMM{magenta}{\bf 最後}\\
D &= \colBX{palegreen}{$\bz$}-4 \cdot\colFR{orange}{\colFR{violet}{$\ac$}}\\
& \colMM{red}{　　　　　　\swarrow かけ算が先}\\
&= \bz \myac\\
&\\
&= \hanbetu \colBX{mistyrose}{\hantei}\\
\\
よって， & この２次方程式は\\
& \colBX{mistyrose}{$\kotae$}
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

↓この問題へのリンクはこちら（右クリックで保存）

【解答】

\def\va{1}\def\vbf{}\def\vb{-2\sqrt{3}}\def\vcf{+}\def\vc{3}
\def\bz{12}
\def\ac{3}
\def\myac{-12}
\def\hantei{=\ 0}
\def\kotae{重解をもつ}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{orange}{\bf 先頭　}\colMM{green}{\bf 真ん中　　}\colMM{magenta}{\bf 最後}\\
\colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} &= 0\\
\\
& \colMM{green}{\bf 　真ん中^2}\colMM{orange}{\bf 　　　　\Darr 先頭}\times\colMM{magenta}{\bf 最後}\\
D &= \colBX{palegreen}{$\bz$}-4 \cdot\colFR{orange}{\colFR{violet}{$\ac$}}\\
& \colMM{red}{　　　　　　\swarrow かけ算が先}\\
&= \bz \myac\\
&\\
& \colBX{mistyrose}{\hantei}\\
\\
よって， & この２次方程式は\\
& \colBX{mistyrose}{$\kotae$}
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

b^2の計算

\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
b^2 &= (-2\sqrt{3})^2\\
&= (-2)^2(\sqrt{3})^2\\
&= 4 \cdot 3 = \colBX{palegreen}{$12$}
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

【解答】真ん中が偶数！

\def\va{1}\def\vbf{}\def\vb{-2\sqrt{3}}\def\vcf{+}\def\vc{3}
\def\bh{-\sqrt{3}}
\def\bz{3}
\def\ac{3}
\def\hantei{=\ 0}
\def\kotae{重解をもつ}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{deepskyblue}{ \nearrow 真ん中 \div 2} & \colMM{deepskyblue}{= \bh \Rightarrow 2乗して\ }\colBX{lightcyan}{\color{blue}\bz}\\
\colMM{orange}{\bf 先頭　}\colMM{green}{\bf 真ん中　　}\colMM{magenta}{\bf 最後}\\
\colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} &= 0\\
\\
& \colMM{orange}{\bf 　　　　　\Darr 先頭}\times\colMM{magenta}{\bf 最後}\\
\dfrac{D}{4} &= \colBX{lightcyan}{$\bz$}- \colFR{orange}{\colFR{violet}{$\ac$}}\\
&\\
& \colBX{mistyrose}{\hantei}\\
\\
よって， & この２次方程式は\\
& \colBX{mistyrose}{$\kotae$}
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 ※ が付いている欄は必須項目です

前の記事

順列の計算

次の記事

２次方程式の解の種類から定数を決定しよう