x^2 の項だけを含む場合
- x^2=k の形になおす
- x=\pm\sqrt{k}
- k が負の場合は i を外に出す。
x^2,x の項だけを含む場合
- x(ax-b)=0 の形になおす
- x=0,\ \dfrac{b}{a}
因数分解ができる場合
- (ax-b)(cx-d)=0 の形になおす
- x=\dfrac{b}{a},\ \dfrac{d}{c}
最後の手段・万能の公式を使う!
a,b,c は実数とします。解に複素数を使うことを許せば,2次方程式 ax^2+bx+c=0 は常に解をもちます。よって,解の公式が問題なく使えます。基本的には解に複素数を使うことはありません。数学2「複素数と方程式」の問題や、問題に「複素数の範囲で」といった表示がある場合のみ複素数を使います。
\begin{align*} \left(\textcolor{orange}{+}\sqrt{2}\,i\right)^2 &= \left(\textcolor{orange}{+}\sqrt{2}\right)^2i^2 = 2 \times (-1) = \colorbox{lightgreen}{$-2$}\\ \left(-\sqrt{2}\,i\right)^2 &= \left(-\sqrt{2}\right)^2i^2 = 2 \times (-1) = \colorbox{lightgreen}{$-2$} \end{align*}
つまり,\colorbox{mistyrose}{$\sqrt{2}\,i$} と \colorbox{lightcyan}{$-\sqrt{2}\,i$} は \colorbox{lightgreen}{$-2$} の平方根!
逆に,\colorbox{lightgreen}{$-2$} の平方根は \colorbox{mistyrose}{$\sqrt{-2}$} と \colorbox{lightcyan}{$-\sqrt{-2}$} だから・・・
\colorbox{mistyrose}{$\sqrt{-2} = \sqrt{2}\,i$}, \colorbox{lightcyan}{$-\sqrt{-2} = -\sqrt{2}\,i$}
複素数OK
次の2次方程式を解こう。
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【解答】
\def\va{3}\def\vbf{}\def\vb{-7}\def\vcf{+}\def\vc{5} \def\na{6} \def\mb{7}\def\bz{49} \def\ac{15} \def\myac{-60} \def\bzmyac{11} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{orange}{\bf 先頭 }\colMM{green}{\bf 真ん中 }\colMM{magenta}{\bf 最後}\\ \colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} &= 0\\ \\ \colMM{green}{\bf 真ん中の符号を変える} & \colMM{green}{\searrow } \colMM{green}{\bf 真ん中^2}\colMM{orange}{\bf \Darr 先頭}\times\colMM{magenta}{\bf 最後}\\ x &= \dfrac{\colBX{palegreen}{$\mb$} \pm \sqrt{\colBX{palegreen}{$\bz$}-4 \cdot\colFR{orange}{\colFR{violet}{$\ac$}}}}{ \colBX{bisque}{\na}\colMM{orange}{ \Leftarrow\bf 先頭 \times2}}\\ & \colMM{red}{ \Darr かけ算が先}\\ &= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\bz \myac}}{\na}\\ & \colMM{red}{ \Darr \sqrt{ルート}内を計算}\\ &= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\colBX{mistyrose}{$-$}\bzmyac}}{\na}\\ & \colMM{red}{ \sqrt{マイナス}は \Darr\ i\ にして外へ}\\ &= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\bzmyac}\,\colBX{mistyrose}{$i$}}{\na} \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
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【解答】
\def\va{1}\def\vbf{+}\def\vb{3}\def\vcf{+}\def\vc{4} \def\na{2} \def\mb{-3}\def\bz{9} \def\ac{4} \def\myac{-16} \def\bzmyac{7} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{orange}{\bf 先頭 }\colMM{green}{\bf 真ん中 }\colMM{magenta}{\bf 最後}\\ \colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} &= 0\\ \\ \colMM{green}{\bf 真ん中の符号を変える} & \colMM{green}{\searrow } \colMM{green}{\bf 真ん中^2}\colMM{orange}{\bf \Darr 先頭}\times\colMM{magenta}{\bf 最後}\\ x &= \dfrac{\colBX{palegreen}{$\mb$} \pm \sqrt{\colBX{palegreen}{$\bz$}-4 \cdot\colFR{orange}{\colFR{violet}{$\ac$}}}}{ \colBX{bisque}{\na}\colMM{orange}{ \Leftarrow\bf 先頭 \times2}}\\ & \colMM{red}{ \Darr かけ算が先}\\ &= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\bz \myac}}{\na}\\ & \colMM{red}{ \Darr \sqrt{ルート}内を計算}\\ &= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\colBX{mistyrose}{$-$}\bzmyac}}{\na}\\ & \colMM{red}{ \sqrt{マイナス}は \Darr\ i\ にして外へ}\\ &= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\bzmyac}\,\colBX{mistyrose}{$i$}}{\na} \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
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【解答】
\def\va{1}\def\vbf{}\def\vb{-4}\def\vcf{+}\def\vc{12} \def\na{2} \def\mb{4}\def\bz{16} \def\ac{12} \def\myac{-48} \def\bzmyac{32} \def\rbzmyac{4\sqrt{2}} \def\bunsi{4(1\pm\sqrt{2}\,i)} \def\kotae{2(1\pm\sqrt{2}\,i) = 2\pm2\sqrt{2}\,i} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{orange}{\bf 先頭 }\colMM{green}{\bf 真ん中 }\colMM{magenta}{\bf 最後}\\ \colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} &= 0\\ \\ \colMM{green}{\bf 真ん中の符号を変える} & \colMM{green}{\searrow } \colMM{green}{\bf 真ん中^2}\colMM{orange}{\bf \Darr 先頭}\times\colMM{magenta}{\bf 最後}\\ x &= \dfrac{\colBX{palegreen}{$\mb$} \pm \sqrt{\colBX{palegreen}{$\bz$}-4 \cdot\colFR{orange}{\colFR{violet}{$\ac$}}}}{ \colBX{bisque}{\na}\colMM{orange}{ \Leftarrow\bf 先頭 \times2}}\\ & \colMM{red}{ \Darr かけ算が先}\\ &= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\bz \myac}}{\na}\\ & \colMM{red}{ \Darr \sqrt{ルート}内を計算}\\ &= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\colBX{mistyrose}{$-$}\bzmyac}}{\na}\\ & \colMM{red}{ \sqrt{マイナス}は \Darr\ i\ にして外へ}\\ &= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\bzmyac}\,\colBX{mistyrose}{$i$}}{\na}\\ \\ &= \dfrac{\mb \pm \rbzmyac\,i}{\na}\\ \\ &= \dfrac{\bunsi}{\na}\\ \\ &= \kotae \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
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【解答】
\def\va{2}\def\vbf{+}\def\vb{5}\def\vcf{+}\def\vc{5} \def\na{4} \def\mb{-5}\def\bz{25} \def\ac{10} \def\myac{-40} \def\bzmyac{15} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{orange}{\bf 先頭 }\colMM{green}{\bf 真ん中 }\colMM{magenta}{\bf 最後}\\ \colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} &= 0\\ \\ \colMM{green}{\bf 真ん中の符号を変える} & \colMM{green}{\searrow } \colMM{green}{\bf 真ん中^2}\colMM{orange}{\bf \Darr 先頭}\times\colMM{magenta}{\bf 最後}\\ x &= \dfrac{\colBX{palegreen}{$\mb$} \pm \sqrt{\colBX{palegreen}{$\bz$}-4 \cdot\colFR{orange}{\colFR{violet}{$\ac$}}}}{ \colBX{bisque}{\na}\colMM{orange}{ \Leftarrow\bf 先頭 \times2}}\\ & \colMM{red}{ \Darr かけ算が先}\\ &= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\bz \myac}}{\na}\\ & \colMM{red}{ \Darr \sqrt{ルート}内を計算}\\ &= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\colBX{mistyrose}{$-$}\bzmyac}}{\na}\\ & \colMM{red}{ \sqrt{マイナス}は \Darr\ i\ にして外へ}\\ &= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\bzmyac}\,\colBX{mistyrose}{$i$}}{\na} \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
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【解答】
\def\va{1}\def\vbf{}\def\vb{-2\sqrt{3}}\def\vcf{+}\def\vc{4} \def\na{2} \def\mb{2\sqrt{3}}\def\bz{12} \def\ac{4} \def\myac{-16} \def\bzmyac{4} \def\rbzmyac{2} \def\bunsi{2(\sqrt{3}\pm i)} \def\kotae{\sqrt{3}\pm i} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{orange}{\bf 先頭 }\colMM{green}{\bf 真ん中 }\colMM{magenta}{\bf 最後}\\ \colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} &= 0\\ \\ \colMM{green}{\bf 真ん中の符号を変える} & \colMM{green}{\searrow } \colMM{green}{\bf 真ん中^2}\colMM{orange}{\bf \Darr 先頭}\times\colMM{magenta}{\bf 最後}\\ x &= \dfrac{\colBX{palegreen}{$\mb$} \pm \sqrt{\colBX{palegreen}{$\bz$}-4 \cdot\colFR{orange}{\colFR{violet}{$\ac$}}}}{ \colBX{bisque}{\na}\colMM{orange}{ \Leftarrow\bf 先頭 \times2}}\\ & \colMM{red}{ \Darr かけ算が先}\\ &= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\bz \myac}}{\na}\\ & \colMM{red}{ \Darr \sqrt{ルート}内を計算}\\ &= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\colBX{mistyrose}{$-$}\bzmyac}}{\na}\\ & \colMM{red}{ \sqrt{マイナス}は \Darr\ i\ にして外へ}\\ &= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\bzmyac}\,\colBX{mistyrose}{$i$}}{\na}\\ \\ &= \dfrac{\mb \pm \rbzmyac\,i}{\na}\\ \\ &= \dfrac{\bunsi}{\na}\\ \\ &= \kotae \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
b^2の計算
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} b^2 &= (2\sqrt{3})^2\\ &= (2)^2(\sqrt{3})^2\\ &= 4 \cdot 3 = \colBX{palegreen}{$12$} \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
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【解答】
\def\va{1}\def\vbf{+}\def\vb{1}\def\vcf{+}\def\vc{5} \def\na{2} \def\mb{-1}\def\bz{1} \def\ac{5} \def\myac{-20} \def\bzmyac{19} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{orange}{\bf 先頭 }\colMM{green}{\bf 真ん中 }\colMM{magenta}{\bf 最後}\\ \colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} &= 0\\ \\ \colMM{green}{\bf 真ん中の符号を変える} & \colMM{green}{\searrow } \colMM{green}{\bf 真ん中^2}\colMM{orange}{\bf \Darr 先頭}\times\colMM{magenta}{\bf 最後}\\ x &= \dfrac{\colBX{palegreen}{$\mb$} \pm \sqrt{\colBX{palegreen}{$\bz$}-4 \cdot\colFR{orange}{\colFR{violet}{$\ac$}}}}{ \colBX{bisque}{\na}\colMM{orange}{ \Leftarrow\bf 先頭 \times2}}\\ & \colMM{red}{ \Darr かけ算が先}\\ &= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\bz \myac}}{\na}\\ & \colMM{red}{ \Darr \sqrt{ルート}内を計算}\\ &= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\colBX{mistyrose}{$-$}\bzmyac}}{\na}\\ & \colMM{red}{ \sqrt{マイナス}は \Darr\ i\ にして外へ}\\ &= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\bzmyac}\,\colBX{mistyrose}{$i$}}{\na} \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
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【解答】
\def\va{1}\def\vbf{}\def\vb{-3}\def\vcf{+}\def\vc{9} \def\na{2} \def\mb{3}\def\bz{9} \def\ac{9} \def\myac{-36} \def\bzmyac{27} \def\rbzmyac{3\sqrt{3}} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{orange}{\bf 先頭 }\colMM{green}{\bf 真ん中 }\colMM{magenta}{\bf 最後}\\ \colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} &= 0\\ \\ \colMM{green}{\bf 真ん中の符号を変える} & \colMM{green}{\searrow } \colMM{green}{\bf 真ん中^2}\colMM{orange}{\bf \Darr 先頭}\times\colMM{magenta}{\bf 最後}\\ x &= \dfrac{\colBX{palegreen}{$\mb$} \pm \sqrt{\colBX{palegreen}{$\bz$}-4 \cdot\colFR{orange}{\colFR{violet}{$\ac$}}}}{ \colBX{bisque}{\na}\colMM{orange}{ \Leftarrow\bf 先頭 \times2}}\\ & \colMM{red}{ \Darr かけ算が先}\\ &= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\bz \myac}}{\na}\\ & \colMM{red}{ \Darr \sqrt{ルート}内を計算}\\ &= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\colBX{mistyrose}{$-$}\bzmyac}}{\na}\\ & \colMM{red}{ \sqrt{マイナス}は \Darr\ i\ にして外へ}\\ &= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\bzmyac}\,\colBX{mistyrose}{$i$}}{\na}\\ \\ &= \dfrac{\mb \pm \rbzmyac\,i}{\na} \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
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【解答】
\def\va{3}\def\vbf{+}\def\vb{2}\def\vcf{}\def\vc{-5} \def\na{6} \def\mb{-2}\def\bz{4} \def\ac{(-15)} \def\myac{+60} \def\bzmyac{64} \def\rbzmyac{8} \def\kotae{1,\ -\dfrac{5}{3}} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{orange}{\bf 先頭 }\colMM{green}{\bf 真ん中 }\colMM{magenta}{\bf 最後}\\ \colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} &= 0\\ \\ \colMM{green}{\bf 真ん中の符号を変える} & \colMM{green}{\searrow } \colMM{green}{\bf 真ん中^2}\colMM{orange}{\bf \Darr 先頭}\times\colMM{magenta}{\bf 最後}\\ x &= \dfrac{\colBX{palegreen}{$\mb$} \pm \sqrt{\colBX{palegreen}{$\bz$}-4 \cdot\colFR{orange}{\colFR{violet}{$\ac$}}}}{ \colBX{bisque}{\na}\colMM{orange}{ \Leftarrow\bf 先頭 \times2}}\\ & \colMM{red}{ \Darr かけ算が先}\\ &= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\bz \myac}}{\na}\\ & \colMM{red}{ \Darr \sqrt{ルート}内を計算}\\ &= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\bzmyac}}{\na}\\ \\ &= \dfrac{\mb \pm \rbzmyac}{\na}\\ \\ &= \dfrac{\mb + \rbzmyac}{\na},\ \dfrac{\mb - \rbzmyac}{\na}\\ \\ &= \kotae \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
【解答】\sqrt{ルート}が外れた!因数分解でもOK!
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} 3x^2+2x-5 &= 0\\ (x-1)(3x+5) &= 0\\ \\ x-1 = 0,\ &3x+5=0\ より\\ \\ x&=1,\ -\dfrac35 \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
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【解答】
\def\va{1}\def\vbf{}\def\vb{-3}\def\vcf{}\def\vc{-1} \def\na{2} \def\mb{3}\def\bz{9} \def\ac{(-1)} \def\myac{+4} \def\bzmyac{13} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{orange}{\bf 先頭 }\colMM{green}{\bf 真ん中 }\colMM{magenta}{\bf 最後}\\ \colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} &= 0\\ \\ \colMM{green}{\bf 真ん中の符号を変える} & \colMM{green}{\searrow } \colMM{green}{\bf 真ん中^2}\colMM{orange}{\bf \Darr 先頭}\times\colMM{magenta}{\bf 最後}\\ x &= \dfrac{\colBX{palegreen}{$\mb$} \pm \sqrt{\colBX{palegreen}{$\bz$}-4 \cdot\colFR{orange}{\colFR{violet}{$\ac$}}}}{ \colBX{bisque}{\na}\colMM{orange}{ \Leftarrow\bf 先頭 \times2}}\\ & \colMM{red}{ \Darr かけ算が先}\\ &= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\bz \myac}}{\na}\\ & \colMM{red}{ \Darr \sqrt{ルート}内を計算}\\ &= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\bzmyac}}{\na} \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
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【解答】
\def\va{2}\def\vbf{+}\def\vb{4}\def\vcf{+}\def\vc{3} \def\na{4} \def\mb{-4}\def\bz{16} \def\ac{6} \def\myac{-24} \def\bzmyac{8} \def\rbzmyac{2\sqrt{2}} \def\bunsi{2(-2 \pm\sqrt{2}\,i)} \def\kotae{\dfrac{-2 \pm\sqrt{2}\,i}{2}} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{orange}{\bf 先頭 }\colMM{green}{\bf 真ん中 }\colMM{magenta}{\bf 最後}\\ \colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} &= 0\\ \\ \colMM{green}{\bf 真ん中の符号を変える} & \colMM{green}{\searrow } \colMM{green}{\bf 真ん中^2}\colMM{orange}{\bf \Darr 先頭}\times\colMM{magenta}{\bf 最後}\\ x &= \dfrac{\colBX{palegreen}{$\mb$} \pm \sqrt{\colBX{palegreen}{$\bz$}-4 \cdot\colFR{orange}{\colFR{violet}{$\ac$}}}}{ \colBX{bisque}{\na}\colMM{orange}{ \Leftarrow\bf 先頭 \times2}}\\ & \colMM{red}{ \Darr かけ算が先}\\ &= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\bz \myac}}{\na}\\ & \colMM{red}{ \Darr \sqrt{ルート}内を計算}\\ &= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\colBX{mistyrose}{$-$}\bzmyac}}{\na}\\ & \colMM{red}{ \sqrt{マイナス}は \Darr\ i\ にして外へ}\\ &= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\bzmyac}\,\colBX{mistyrose}{$i$}}{\na}\\ \\ &= \dfrac{\mb \pm \rbzmyac\,i}{\na}\\ \\ &= \dfrac{\bunsi}{\na}\\ \\ &= \kotae \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
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先頭がマイナス \Rightarrow 両辺 \times (-1)
【解答】
\def\va{3}\def\vbf{}\def\vb{-2}\def\vcf{}\def\vc{-2} \def\na{6} \def\mb{2}\def\bz{4} \def\ac{(-6)} \def\myac{+24} \def\bzmyac{28} \def\rbzmyac{2\sqrt{7}} \def\bunsi{2(1 \pm\sqrt{7})} \def\kotae{\dfrac{1 \pm\sqrt{7}}{3}} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{orange}{\bf 先頭 }\colMM{green}{\bf 真ん中 }\colMM{magenta}{\bf 最後}\\ \colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} &= 0\\ \\ \colMM{green}{\bf 真ん中の符号を変える} & \colMM{green}{\searrow } \colMM{green}{\bf 真ん中^2}\colMM{orange}{\bf \Darr 先頭}\times\colMM{magenta}{\bf 最後}\\ x &= \dfrac{\colBX{palegreen}{$\mb$} \pm \sqrt{\colBX{palegreen}{$\bz$}-4 \cdot\colFR{orange}{\colFR{violet}{$\ac$}}}}{ \colBX{bisque}{\na}\colMM{orange}{ \Leftarrow\bf 先頭 \times2}}\\ & \colMM{red}{ \Darr かけ算が先}\\ &= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\bz \myac}}{\na}\\ & \colMM{red}{ \Darr \sqrt{ルート}内を計算}\\ &= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\bzmyac}}{\na}\\ \\ &= \dfrac{\mb \pm \rbzmyac}{\na}\\ \\ &= \dfrac{\bunsi}{\na}\\ \\ &= \kotae \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
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【解答】
\def\va{5}\def\vbf{+}\def\vb{3}\def\vcf{+}\def\vc{2} \def\na{10} \def\mb{-3}\def\bz{9} \def\ac{10} \def\myac{-40} \def\bzmyac{31} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{orange}{\bf 先頭 }\colMM{green}{\bf 真ん中 }\colMM{magenta}{\bf 最後}\\ \colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} &= 0\\ \\ \colMM{green}{\bf 真ん中の符号を変える} & \colMM{green}{\searrow } \colMM{green}{\bf 真ん中^2}\colMM{orange}{\bf \Darr 先頭}\times\colMM{magenta}{\bf 最後}\\ x &= \dfrac{\colBX{palegreen}{$\mb$} \pm \sqrt{\colBX{palegreen}{$\bz$}-4 \cdot\colFR{orange}{\colFR{violet}{$\ac$}}}}{ \colBX{bisque}{\na}\colMM{orange}{ \Leftarrow\bf 先頭 \times2}}\\ & \colMM{red}{ \Darr かけ算が先}\\ &= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\bz \myac}}{\na}\\ & \colMM{red}{ \Darr \sqrt{ルート}内を計算}\\ &= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\colBX{mistyrose}{$-$}\bzmyac}}{\na}\\ & \colMM{red}{ \sqrt{マイナス}は \Darr\ i\ にして外へ}\\ &= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\bzmyac}\,\colBX{mistyrose}{$i$}}{\na} \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
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【解答】
\def\va{1}\def\vbf{}\def\vb{-\sqrt{5}}\def\vcf{+}\def\vc{2} \def\na{2} \def\mb{\sqrt{5}}\def\bz{5} \def\ac{2} \def\myac{-8} \def\bzmyac{3} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{orange}{\bf 先頭 }\colMM{green}{\bf 真ん中 }\colMM{magenta}{\bf 最後}\\ \colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} &= 0\\ \\ \colMM{green}{\bf 真ん中の符号を変える} & \colMM{green}{\searrow } \colMM{green}{\bf 真ん中^2}\colMM{orange}{\bf \Darr 先頭}\times\colMM{magenta}{\bf 最後}\\ x &= \dfrac{\colBX{palegreen}{$\mb$} \pm \sqrt{\colBX{palegreen}{$\bz$}-4 \cdot\colFR{orange}{\colFR{violet}{$\ac$}}}}{ \colBX{bisque}{\na}\colMM{orange}{ \Leftarrow\bf 先頭 \times2}}\\ & \colMM{red}{ \Darr かけ算が先}\\ &= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\bz \myac}}{\na}\\ & \colMM{red}{ \Darr \sqrt{ルート}内を計算}\\ &= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\colBX{mistyrose}{$-$}\bzmyac}}{\na}\\ & \colMM{red}{ \sqrt{マイナス}は \Darr\ i\ にして外へ}\\ &= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\bzmyac}\,\colBX{mistyrose}{$i$}}{\na} \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
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【解答】
\def\va{2}\def\vbf{+}\def\vb{4\sqrt{3}}\def\vcf{+}\def\vc{7} \def\na{4} \def\mb{-4\sqrt{3}}\def\bz{48} \def\ac{14} \def\myac{-56} \def\bzmyac{8} \def\rbzmyac{2\sqrt{2}} \def\bunsi{2(-2\sqrt{3} \pm \sqrt{2}\,i)} \def\kotae{\dfrac{-2\sqrt{3} \pm\sqrt{2}\,i}{2}} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{orange}{\bf 先頭 }\colMM{green}{\bf 真ん中 }\colMM{magenta}{\bf 最後}\\ \colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} &= 0\\ \\ \colMM{green}{\bf 真ん中の符号を変える} & \colMM{green}{\searrow } \colMM{green}{\bf 真ん中^2}\colMM{orange}{\bf \Darr 先頭}\times\colMM{magenta}{\bf 最後}\\ x &= \dfrac{\colBX{palegreen}{$\mb$} \pm \sqrt{\colBX{palegreen}{$\bz$}-4 \cdot\colFR{orange}{\colFR{violet}{$\ac$}}}}{ \colBX{bisque}{\na}\colMM{orange}{ \Leftarrow\bf 先頭 \times2}}\\ & \colMM{red}{ \Darr かけ算が先}\\ &= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\bz \myac}}{\na}\\ & \colMM{red}{ \Darr \sqrt{ルート}内を計算}\\ &= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\colBX{mistyrose}{$-$}\bzmyac}}{\na}\\ & \colMM{red}{ \sqrt{マイナス}は \Darr\ i\ にして外へ}\\ &= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\bzmyac}\,\colBX{mistyrose}{$i$}}{\na}\\ \\ &= \dfrac{\mb \pm \rbzmyac\,i}{\na}\\ \\ &= \dfrac{\bunsi}{\na}\\ \\ &= \kotae \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
b^2の計算
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} b^2 &= (4\sqrt{3})^2\\ &= (4)^2(\sqrt{3})^2\\ &= 16 \cdot 3 = \colBX{palegreen}{$48$} \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan