複素数の範囲で２次方程式を解く

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x^2 の項だけを含む場合

  • x^2=k の形になおす
  • x=\pm\sqrt{k}
  • k が負の場合は i を外に出す。

x^2，x の項だけを含む場合

  • x(ax-b)=0 の形になおす
  • x=0,\ \dfrac{b}{a}

因数分解ができる場合

  • (ax-b)(cx-d)=0 の形になおす
  • x=\dfrac{b}{a},\ \dfrac{d}{c}

最後の手段・万能の公式を使う！

a，b，c は実数とします。解に複素数を使うことを許せば，２次方程式 ax^2+bx+c=0 は常に解をもちます。よって，解の公式が問題なく使えます。

２次方程式の解の公式

２次方程式 ax^2+bx+c=0 の解は

x = \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

\sqrt{マイナス} は i に変えて外に出す！

基本的には解に複素数を使うことはありません。数学２「複素数と方程式」の問題や、問題に「複素数の範囲で」といった表示がある場合のみ複素数を使います。

\colorbox{mistyrose}{$\sqrt{2}\,i$} と \colorbox{lightcyan}{$-\sqrt{2}\,i$} を２乗すると \colorbox{lightgreen}{$-2$} になります。

\begin{align*}
\left(\textcolor{orange}{+}\sqrt{2}\,i\right)^2 &= \left(\textcolor{orange}{+}\sqrt{2}\right)^2i^2 = 2 \times (-1) = \colorbox{lightgreen}{$-2$}\\
\left(-\sqrt{2}\,i\right)^2 &= \left(-\sqrt{2}\right)^2i^2 = 2 \times (-1) = \colorbox{lightgreen}{$-2$}
\end{align*}

つまり，\colorbox{mistyrose}{$\sqrt{2}\,i$} と \colorbox{lightcyan}{$-\sqrt{2}\,i$} は \colorbox{lightgreen}{$-2$} の平方根！

逆に，\colorbox{lightgreen}{$-2$} の平方根は \colorbox{mistyrose}{$\sqrt{-2}$} と \colorbox{lightcyan}{$-\sqrt{-2}$} だから・・・

\colorbox{mistyrose}{$\sqrt{-2} = \sqrt{2}\,i$}，　\colorbox{lightcyan}{$-\sqrt{-2} = -\sqrt{2}\,i$}
負の数の平方根
a>0 のとき，-a の平方根は

\pm\sqrt{-a}　すなわち　\pm\sqrt{a}\,i

ルートの中のマイナスは i に変えて外に出す！

　　　⇒ マイナス見つけたら最速で出す！後にしない！　

複素数OK

次の２次方程式を解こう。

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【解答】

\def\va{3}\def\vbf{}\def\vb{-7}\def\vcf{+}\def\vc{5}
\def\na{6}
\def\mb{7}\def\bz{49}
\def\ac{15}
\def\myac{-60}
\def\bzmyac{11}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{orange}{\bf 先頭　}\colMM{green}{\bf 真ん中　　}\colMM{magenta}{\bf 最後}\\
\colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} &= 0\\
\\
\colMM{green}{\bf 真ん中の符号を変える} & \colMM{green}{\searrow 　　　　} \colMM{green}{\bf 真ん中^2}\colMM{orange}{\bf 　　　　\Darr 先頭}\times\colMM{magenta}{\bf 最後}\\
x &= \dfrac{\colBX{palegreen}{$\mb$} \pm \sqrt{\colBX{palegreen}{$\bz$}-4 \cdot\colFR{orange}{\colFR{violet}{$\ac$}}}}{　　　\colBX{bisque}{\na}\colMM{orange}{　\Leftarrow\bf 先頭 \times2}}\\
& \colMM{red}{　　　　　　　　　\Darr かけ算が先}\\
&= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\bz \myac}}{\na}\\
& \colMM{red}{　　　　　　\Darr \sqrt{ルート}内を計算}\\
&= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\colBX{mistyrose}{$-$}\bzmyac}}{\na}\\
& \colMM{red}{　　\sqrt{マイナス}は \Darr\ i\ にして外へ}\\
&= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\bzmyac}\,\colBX{mistyrose}{$i$}}{\na}
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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【解答】

\def\va{1}\def\vbf{+}\def\vb{3}\def\vcf{+}\def\vc{4}
\def\na{2}
\def\mb{-3}\def\bz{9}
\def\ac{4}
\def\myac{-16}
\def\bzmyac{7}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{orange}{\bf 先頭　}\colMM{green}{\bf 真ん中　　}\colMM{magenta}{\bf 最後}\\
\colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} &= 0\\
\\
\colMM{green}{\bf 真ん中の符号を変える} & \colMM{green}{\searrow 　　　　　} \colMM{green}{\bf 真ん中^2}\colMM{orange}{\bf 　　　\Darr 先頭}\times\colMM{magenta}{\bf 最後}\\
x &= \dfrac{\colBX{palegreen}{$\mb$} \pm \sqrt{\colBX{palegreen}{$\bz$}-4 \cdot\colFR{orange}{\colFR{violet}{$\ac$}}}}{　　　\colBX{bisque}{\na}\colMM{orange}{　\Leftarrow\bf 先頭 \times2}}\\
& \colMM{red}{　　　　　　　　　\Darr かけ算が先}\\
&= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\bz \myac}}{\na}\\
& \colMM{red}{　　　　　　\Darr \sqrt{ルート}内を計算}\\
&= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\colBX{mistyrose}{$-$}\bzmyac}}{\na}\\
& \colMM{red}{　　\sqrt{マイナス}は \Darr\ i\ にして外へ}\\
&= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\bzmyac}\,\colBX{mistyrose}{$i$}}{\na}
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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【解答】

\def\va{1}\def\vbf{}\def\vb{-4}\def\vcf{+}\def\vc{12}
\def\na{2}
\def\mb{4}\def\bz{16}
\def\ac{12}
\def\myac{-48}
\def\bzmyac{32}
\def\rbzmyac{4\sqrt{2}}
\def\bunsi{4(1\pm\sqrt{2}\,i)}
\def\kotae{2(1\pm\sqrt{2}\,i) = 2\pm2\sqrt{2}\,i}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{orange}{\bf 先頭　}\colMM{green}{\bf 真ん中　　}\colMM{magenta}{\bf 最後}\\
\colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} &= 0\\
\\
\colMM{green}{\bf 真ん中の符号を変える} & \colMM{green}{\searrow 　　　　} \colMM{green}{\bf 真ん中^2}\colMM{orange}{\bf 　　　　\Darr 先頭}\times\colMM{magenta}{\bf 最後}\\
x &= \dfrac{\colBX{palegreen}{$\mb$} \pm \sqrt{\colBX{palegreen}{$\bz$}-4 \cdot\colFR{orange}{\colFR{violet}{$\ac$}}}}{　　　\colBX{bisque}{\na}\colMM{orange}{　\Leftarrow\bf 先頭 \times2}}\\
& \colMM{red}{　　　　　　　　　\Darr かけ算が先}\\
&= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\bz \myac}}{\na}\\
& \colMM{red}{　　　　　　\Darr \sqrt{ルート}内を計算}\\
&= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\colBX{mistyrose}{$-$}\bzmyac}}{\na}\\
& \colMM{red}{　　\sqrt{マイナス}は \Darr\ i\ にして外へ}\\
&= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\bzmyac}\,\colBX{mistyrose}{$i$}}{\na}\\
\\
&= \dfrac{\mb \pm \rbzmyac\,i}{\na}\\
\\
&= \dfrac{\bunsi}{\na}\\
\\
&= \kotae
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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【解答】

\def\va{2}\def\vbf{+}\def\vb{5}\def\vcf{+}\def\vc{5}
\def\na{4}
\def\mb{-5}\def\bz{25}
\def\ac{10}
\def\myac{-40}
\def\bzmyac{15}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{orange}{\bf 先頭　}\colMM{green}{\bf 真ん中　　}\colMM{magenta}{\bf 最後}\\
\colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} &= 0\\
\\
\colMM{green}{\bf 真ん中の符号を変える} & \colMM{green}{\searrow 　　　　　　} \colMM{green}{\bf 真ん中^2}\colMM{orange}{\bf 　　　\Darr 先頭}\times\colMM{magenta}{\bf 最後}\\
x &= \dfrac{\colBX{palegreen}{$\mb$} \pm \sqrt{\colBX{palegreen}{$\bz$}-4 \cdot\colFR{orange}{\colFR{violet}{$\ac$}}}}{　　　\colBX{bisque}{\na}\colMM{orange}{　\Leftarrow\bf 先頭 \times2}}\\
& \colMM{red}{　　　　　　　　　\Darr かけ算が先}\\
&= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\bz \myac}}{\na}\\
& \colMM{red}{　　　　　　\Darr \sqrt{ルート}内を計算}\\
&= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\colBX{mistyrose}{$-$}\bzmyac}}{\na}\\
& \colMM{red}{　　\sqrt{マイナス}は \Darr\ i\ にして外へ}\\
&= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\bzmyac}\,\colBX{mistyrose}{$i$}}{\na}
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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【解答】

\def\va{1}\def\vbf{}\def\vb{-2\sqrt{3}}\def\vcf{+}\def\vc{4}
\def\na{2}
\def\mb{2\sqrt{3}}\def\bz{12}
\def\ac{4}
\def\myac{-16}
\def\bzmyac{4}
\def\rbzmyac{2}
\def\bunsi{2(\sqrt{3}\pm i)}
\def\kotae{\sqrt{3}\pm i}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{orange}{\bf 先頭　}\colMM{green}{\bf 真ん中　　}\colMM{magenta}{\bf 最後}\\
\colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} &= 0\\
\\
\colMM{green}{\bf 真ん中の符号を変える} & \colMM{green}{\searrow 　　　　　　} \colMM{green}{\bf 真ん中^2}\colMM{orange}{\bf 　　　　\Darr 先頭}\times\colMM{magenta}{\bf 最後}\\
x &= \dfrac{\colBX{palegreen}{$\mb$} \pm \sqrt{\colBX{palegreen}{$\bz$}-4 \cdot\colFR{orange}{\colFR{violet}{$\ac$}}}}{　　　\colBX{bisque}{\na}\colMM{orange}{　\Leftarrow\bf 先頭 \times2}}\\
& \colMM{red}{　　　　　　　　　\Darr かけ算が先}\\
&= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\bz \myac}}{\na}\\
& \colMM{red}{　　　　　　\Darr \sqrt{ルート}内を計算}\\
&= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\colBX{mistyrose}{$-$}\bzmyac}}{\na}\\
& \colMM{red}{　　\sqrt{マイナス}は \Darr\ i\ にして外へ}\\
&= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\bzmyac}\,\colBX{mistyrose}{$i$}}{\na}\\
\\
&= \dfrac{\mb \pm \rbzmyac\,i}{\na}\\
\\
&= \dfrac{\bunsi}{\na}\\
\\
&= \kotae
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

b^2の計算

\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
b^2 &= (2\sqrt{3})^2\\
&= (2)^2(\sqrt{3})^2\\
&= 4 \cdot 3 = \colBX{palegreen}{$12$}
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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【解答】

\def\va{1}\def\vbf{+}\def\vb{1}\def\vcf{+}\def\vc{5}
\def\na{2}
\def\mb{-1}\def\bz{1}
\def\ac{5}
\def\myac{-20}
\def\bzmyac{19}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{orange}{\bf 先頭　}\colMM{green}{\bf 真ん中　　}\colMM{magenta}{\bf 最後}\\
\colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} &= 0\\
\\
\colMM{green}{\bf 真ん中の符号を変える} & \colMM{green}{\searrow 　　　　　} \colMM{green}{\bf 真ん中^2}\colMM{orange}{\bf 　　　\Darr 先頭}\times\colMM{magenta}{\bf 最後}\\
x &= \dfrac{\colBX{palegreen}{$\mb$} \pm \sqrt{\colBX{palegreen}{$\bz$}-4 \cdot\colFR{orange}{\colFR{violet}{$\ac$}}}}{　　　\colBX{bisque}{\na}\colMM{orange}{　\Leftarrow\bf 先頭 \times2}}\\
& \colMM{red}{　　　　　　　　　\Darr かけ算が先}\\
&= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\bz \myac}}{\na}\\
& \colMM{red}{　　　　　　\Darr \sqrt{ルート}内を計算}\\
&= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\colBX{mistyrose}{$-$}\bzmyac}}{\na}\\
& \colMM{red}{　　\sqrt{マイナス}は \Darr\ i\ にして外へ}\\
&= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\bzmyac}\,\colBX{mistyrose}{$i$}}{\na}
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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【解答】

\def\va{1}\def\vbf{}\def\vb{-3}\def\vcf{+}\def\vc{9}
\def\na{2}
\def\mb{3}\def\bz{9}
\def\ac{9}
\def\myac{-36}
\def\bzmyac{27}
\def\rbzmyac{3\sqrt{3}}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{orange}{\bf 先頭　}\colMM{green}{\bf 真ん中　　}\colMM{magenta}{\bf 最後}\\
\colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} &= 0\\
\\
\colMM{green}{\bf 真ん中の符号を変える} & \colMM{green}{\searrow 　　　　} \colMM{green}{\bf 真ん中^2}\colMM{orange}{\bf 　　　　\Darr 先頭}\times\colMM{magenta}{\bf 最後}\\
x &= \dfrac{\colBX{palegreen}{$\mb$} \pm \sqrt{\colBX{palegreen}{$\bz$}-4 \cdot\colFR{orange}{\colFR{violet}{$\ac$}}}}{　　　\colBX{bisque}{\na}\colMM{orange}{　\Leftarrow\bf 先頭 \times2}}\\
& \colMM{red}{　　　　　　　　　\Darr かけ算が先}\\
&= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\bz \myac}}{\na}\\
& \colMM{red}{　　　　　　\Darr \sqrt{ルート}内を計算}\\
&= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\colBX{mistyrose}{$-$}\bzmyac}}{\na}\\
& \colMM{red}{　　\sqrt{マイナス}は \Darr\ i\ にして外へ}\\
&= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\bzmyac}\,\colBX{mistyrose}{$i$}}{\na}\\
\\
&= \dfrac{\mb \pm \rbzmyac\,i}{\na}
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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【解答】

\def\va{3}\def\vbf{+}\def\vb{2}\def\vcf{}\def\vc{-5}
\def\na{6}
\def\mb{-2}\def\bz{4}
\def\ac{(-15)}
\def\myac{+60}
\def\bzmyac{64}
\def\rbzmyac{8}
\def\kotae{1,\ -\dfrac{5}{3}}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{orange}{\bf 先頭　}\colMM{green}{\bf 真ん中　　}\colMM{magenta}{\bf 最後}\\
\colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} &= 0\\
\\
\colMM{green}{\bf 真ん中の符号を変える} & \colMM{green}{\searrow 　　　　　} \colMM{green}{\bf 真ん中^2}\colMM{orange}{\bf 　　　　\Darr 先頭}\times\colMM{magenta}{\bf 最後}\\
x &= \dfrac{\colBX{palegreen}{$\mb$} \pm \sqrt{\colBX{palegreen}{$\bz$}-4 \cdot\colFR{orange}{\colFR{violet}{$\ac$}}}}{　　　\colBX{bisque}{\na}\colMM{orange}{　\Leftarrow\bf 先頭 \times2}}\\
& \colMM{red}{　　　　　　　　　\Darr かけ算が先}\\
&= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\bz \myac}}{\na}\\
& \colMM{red}{　　　　　　\Darr \sqrt{ルート}内を計算}\\
&= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\bzmyac}}{\na}\\
\\
&= \dfrac{\mb \pm \rbzmyac}{\na}\\
\\
&= \dfrac{\mb + \rbzmyac}{\na},\ \dfrac{\mb - \rbzmyac}{\na}\\
\\
&= \kotae
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

【解答】\sqrt{ルート}が外れた！因数分解でもOK！

\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
3x^2+2x-5 &= 0\\
(x-1)(3x+5) &= 0\\
\\
x-1 = 0,\  &3x+5=0\ より\\
\\
x&=1,\ -\dfrac35
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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【解答】

\def\va{1}\def\vbf{}\def\vb{-3}\def\vcf{}\def\vc{-1}
\def\na{2}
\def\mb{3}\def\bz{9}
\def\ac{(-1)}
\def\myac{+4}
\def\bzmyac{13}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{orange}{\bf 先頭　}\colMM{green}{\bf 真ん中　　}\colMM{magenta}{\bf 最後}\\
\colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} &= 0\\
\\
\colMM{green}{\bf 真ん中の符号を変える} & \colMM{green}{\searrow 　　　　　} \colMM{green}{\bf 真ん中^2}\colMM{orange}{\bf 　　　\Darr 先頭}\times\colMM{magenta}{\bf 最後}\\
x &= \dfrac{\colBX{palegreen}{$\mb$} \pm \sqrt{\colBX{palegreen}{$\bz$}-4 \cdot\colFR{orange}{\colFR{violet}{$\ac$}}}}{　　　\colBX{bisque}{\na}\colMM{orange}{　\Leftarrow\bf 先頭 \times2}}\\
& \colMM{red}{　　　　　　　　　\Darr かけ算が先}\\
&= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\bz \myac}}{\na}\\
& \colMM{red}{　　　　　　\Darr \sqrt{ルート}内を計算}\\
&= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\bzmyac}}{\na}
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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【解答】

\def\va{2}\def\vbf{+}\def\vb{4}\def\vcf{+}\def\vc{3}
\def\na{4}
\def\mb{-4}\def\bz{16}
\def\ac{6}
\def\myac{-24}
\def\bzmyac{8}
\def\rbzmyac{2\sqrt{2}}
\def\bunsi{2(-2 \pm\sqrt{2}\,i)}
\def\kotae{\dfrac{-2 \pm\sqrt{2}\,i}{2}}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{orange}{\bf 先頭　}\colMM{green}{\bf 真ん中　　}\colMM{magenta}{\bf 最後}\\
\colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} &= 0\\
\\
\colMM{green}{\bf 真ん中の符号を変える} & \colMM{green}{\searrow 　　　　　　} \colMM{green}{\bf 真ん中^2}\colMM{orange}{\bf 　　　\Darr 先頭}\times\colMM{magenta}{\bf 最後}\\
x &= \dfrac{\colBX{palegreen}{$\mb$} \pm \sqrt{\colBX{palegreen}{$\bz$}-4 \cdot\colFR{orange}{\colFR{violet}{$\ac$}}}}{　　　\colBX{bisque}{\na}\colMM{orange}{　\Leftarrow\bf 先頭 \times2}}\\
& \colMM{red}{　　　　　　　　　\Darr かけ算が先}\\
&= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\bz \myac}}{\na}\\
& \colMM{red}{　　　　　　\Darr \sqrt{ルート}内を計算}\\
&= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\colBX{mistyrose}{$-$}\bzmyac}}{\na}\\
& \colMM{red}{　　\sqrt{マイナス}は \Darr\ i\ にして外へ}\\
&= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\bzmyac}\,\colBX{mistyrose}{$i$}}{\na}\\
\\
&= \dfrac{\mb \pm \rbzmyac\,i}{\na}\\
\\
&= \dfrac{\bunsi}{\na}\\
\\
&= \kotae
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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先頭がマイナス \Rightarrow 両辺 \times (-1)

【解答】

\def\va{3}\def\vbf{}\def\vb{-2}\def\vcf{}\def\vc{-2}
\def\na{6}
\def\mb{2}\def\bz{4}
\def\ac{(-6)}
\def\myac{+24}
\def\bzmyac{28}
\def\rbzmyac{2\sqrt{7}}
\def\bunsi{2(1 \pm\sqrt{7})}
\def\kotae{\dfrac{1 \pm\sqrt{7}}{3}}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{orange}{\bf 先頭　}\colMM{green}{\bf 真ん中　　}\colMM{magenta}{\bf 最後}\\
\colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} &= 0\\
\\
\colMM{green}{\bf 真ん中の符号を変える} & \colMM{green}{\searrow 　　　　　} \colMM{green}{\bf 真ん中^2}\colMM{orange}{\bf 　　　　\Darr 先頭}\times\colMM{magenta}{\bf 最後}\\
x &= \dfrac{\colBX{palegreen}{$\mb$} \pm \sqrt{\colBX{palegreen}{$\bz$}-4 \cdot\colFR{orange}{\colFR{violet}{$\ac$}}}}{　　　\colBX{bisque}{\na}\colMM{orange}{　\Leftarrow\bf 先頭 \times2}}\\
& \colMM{red}{　　　　　　　　　\Darr かけ算が先}\\
&= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\bz \myac}}{\na}\\
& \colMM{red}{　　　　　　\Darr \sqrt{ルート}内を計算}\\
&= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\bzmyac}}{\na}\\
\\
&= \dfrac{\mb \pm \rbzmyac}{\na}\\
\\
&= \dfrac{\bunsi}{\na}\\
\\
&= \kotae
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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【解答】

\def\va{5}\def\vbf{+}\def\vb{3}\def\vcf{+}\def\vc{2}
\def\na{10}
\def\mb{-3}\def\bz{9}
\def\ac{10}
\def\myac{-40}
\def\bzmyac{31}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{orange}{\bf 先頭　}\colMM{green}{\bf 真ん中　　}\colMM{magenta}{\bf 最後}\\
\colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} &= 0\\
\\
\colMM{green}{\bf 真ん中の符号を変える} & \colMM{green}{\searrow 　　　　　} \colMM{green}{\bf 真ん中^2}\colMM{orange}{\bf 　　　　\Darr 先頭}\times\colMM{magenta}{\bf 最後}\\
x &= \dfrac{\colBX{palegreen}{$\mb$} \pm \sqrt{\colBX{palegreen}{$\bz$}-4 \cdot\colFR{orange}{\colFR{violet}{$\ac$}}}}{　　　\colBX{bisque}{\na}\colMM{orange}{　\Leftarrow\bf 先頭 \times2}}\\
& \colMM{red}{　　　　　　　　　\Darr かけ算が先}\\
&= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\bz \myac}}{\na}\\
& \colMM{red}{　　　　　　\Darr \sqrt{ルート}内を計算}\\
&= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\colBX{mistyrose}{$-$}\bzmyac}}{\na}\\
& \colMM{red}{　　\sqrt{マイナス}は \Darr\ i\ にして外へ}\\
&= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\bzmyac}\,\colBX{mistyrose}{$i$}}{\na}
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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【解答】

\def\va{1}\def\vbf{}\def\vb{-\sqrt{5}}\def\vcf{+}\def\vc{2}
\def\na{2}
\def\mb{\sqrt{5}}\def\bz{5}
\def\ac{2}
\def\myac{-8}
\def\bzmyac{3}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{orange}{\bf 先頭　}\colMM{green}{\bf 真ん中　　}\colMM{magenta}{\bf 最後}\\
\colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} &= 0\\
\\
\colMM{green}{\bf 真ん中の符号を変える} & \colMM{green}{\searrow 　　　　　} \colMM{green}{\bf 真ん中^2}\colMM{orange}{\bf 　　　\Darr 先頭}\times\colMM{magenta}{\bf 最後}\\
x &= \dfrac{\colBX{palegreen}{$\mb$} \pm \sqrt{\colBX{palegreen}{$\bz$}-4 \cdot\colFR{orange}{\colFR{violet}{$\ac$}}}}{　　　\colBX{bisque}{\na}\colMM{orange}{　\Leftarrow\bf 先頭 \times2}}\\
& \colMM{red}{　　　　　　　　　\Darr かけ算が先}\\
&= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\bz \myac}}{\na}\\
& \colMM{red}{　　　　　　\Darr \sqrt{ルート}内を計算}\\
&= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\colBX{mistyrose}{$-$}\bzmyac}}{\na}\\
& \colMM{red}{　　\sqrt{マイナス}は \Darr\ i\ にして外へ}\\
&= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\bzmyac}\,\colBX{mistyrose}{$i$}}{\na}
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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【解答】

\def\va{2}\def\vbf{+}\def\vb{4\sqrt{3}}\def\vcf{+}\def\vc{7}
\def\na{4}
\def\mb{-4\sqrt{3}}\def\bz{48}
\def\ac{14}
\def\myac{-56}
\def\bzmyac{8}
\def\rbzmyac{2\sqrt{2}}
\def\bunsi{2(-2\sqrt{3} \pm \sqrt{2}\,i)}
\def\kotae{\dfrac{-2\sqrt{3} \pm\sqrt{2}\,i}{2}}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{orange}{\bf 先頭　}\colMM{green}{\bf 真ん中　　}\colMM{magenta}{\bf 最後}\\
\colBX{bisque}{\va}x^2\vbf\colBX{palegreen}{$\vb$}x\vcf\colBX{violet}{$\vc$} &= 0\\
\\
\colMM{green}{\bf 真ん中の符号を変える} & \colMM{green}{\searrow 　　　　　　　} \colMM{green}{\bf 真ん中^2}\colMM{orange}{\bf 　　　\Darr 先頭}\times\colMM{magenta}{\bf 最後}\\
x &= \dfrac{\colBX{palegreen}{$\mb$} \pm \sqrt{\colBX{palegreen}{$\bz$}-4 \cdot\colFR{orange}{\colFR{violet}{$\ac$}}}}{　　　\colBX{bisque}{\na}\colMM{orange}{　\Leftarrow\bf 先頭 \times2}}\\
& \colMM{red}{　　　　　　　　　\Darr かけ算が先}\\
&= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\bz \myac}}{\na}\\
& \colMM{red}{　　　　　　\Darr \sqrt{ルート}内を計算}\\
&= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\colBX{mistyrose}{$-$}\bzmyac}}{\na}\\
& \colMM{red}{　　\sqrt{マイナス}は \Darr\ i\ にして外へ}\\
&= \dfrac{\mb \pm \sqrt{\bzmyac}\,\colBX{mistyrose}{$i$}}{\na}\\
\\
&= \dfrac{\mb \pm \rbzmyac\,i}{\na}\\
\\
&= \dfrac{\bunsi}{\na}\\
\\
&= \kotae
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

b^2の計算

\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
b^2 &= (4\sqrt{3})^2\\
&= (4)^2(\sqrt{3})^2\\
&= 16 \cdot 3 = \colBX{palegreen}{$48$}
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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