\colorbox{mistyrose}{$\sqrt{2}\,i$} と \colorbox{lightcyan}{$-\sqrt{2}\,i$} を2乗すると \colorbox{lightgreen}{$-2$} になります。
\begin{align*} \left(\textcolor{orange}{+}\sqrt{2}\,i\right)^2 &= \left(\textcolor{orange}{+}\sqrt{2}\right)^2i^2 = 2 \times (-1) = \colorbox{lightgreen}{$-2$}\\ \left(-\sqrt{2}\,i\right)^2 &= \left(-\sqrt{2}\right)^2i^2 = 2 \times (-1) = \colorbox{lightgreen}{$-2$} \end{align*}
つまり,\colorbox{mistyrose}{$\sqrt{2}\,i$} と \colorbox{lightcyan}{$-\sqrt{2}\,i$} は \colorbox{lightgreen}{$-2$} の平方根!
逆に,\colorbox{lightgreen}{$-2$} の平方根は \colorbox{mistyrose}{$\sqrt{-2}$} と \colorbox{lightcyan}{$-\sqrt{-2}$} だから・・・
\colorbox{mistyrose}{$\sqrt{-2} = \sqrt{2}\,i$}, \colorbox{lightcyan}{$-\sqrt{-2} = -\sqrt{2}\,i$}
かけ算
次の式を計算しよう。
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【解答】
\def\va{2} \def\vb{3} \def\kotae{\sqrt{6}} \def\last{-\sqrt{6}} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{red}{\bf \sqrt{マイナス}は} & \colMM{red}{\bf 最初に\ }\colMM{red}{i}\colMM{red}{\bf\ にして外へ}\\ \sqrt{\colBX{bisque}{$-$}\va}\ \sqrt{\colBX{palegreen}{$-$}\vb} &= \sqrt{\va}\,\colBX{bisque}{$i$}\ \sqrt{\vb}\,\colBX{palegreen}{$i$}\\ \\ &= \sqrt{\va\times\vb}\,\colBX{mistyrose}{$i^2$}\\ & \colMM{red}{ \Darr i^2=-1}\\ &= \kotae\colBX{mistyrose}{$(-1)$}\\ \\ &= \last \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
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【解答】
\def\va{2} \def\vb{6} \def\kotae{2\sqrt{3}} \def\last{-2\sqrt{3}} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{red}{\bf \sqrt{マイナス}は} & \colMM{red}{\bf 最初に\ }\colMM{red}{i}\colMM{red}{\bf\ にして外へ}\\ \sqrt{\colBX{bisque}{$-$}\va}\ \sqrt{\colBX{palegreen}{$-$}\vb} &= \sqrt{\va}\,\colBX{bisque}{$i$}\ \sqrt{\vb}\,\colBX{palegreen}{$i$}\\ \\ &= \sqrt{\va\times\vb}\,\colBX{mistyrose}{$i^2$}\\ & \colMM{red}{ \Darr i^2=-1}\\ &= \kotae\colBX{mistyrose}{$(-1)$}\\ \\ &= \last \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
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【解答】
\def\va{6} \def\vb{3} \def\kotae{3\sqrt{2}} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{red}{\bf \sqrt{マイナス}は} & \colMM{red}{\bf 最初に\ }\colMM{red}{i}\colMM{red}{\bf\ にして外へ}\\ \sqrt{\colBX{bisque}{$-$}\va}\ \sqrt{\vb} &= \sqrt{\va}\,\colBX{bisque}{$i$}\ \sqrt{\vb}\\ \\ &= \sqrt{\va\times\vb}\,i\\ \\ &= \kotae\,i \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
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【解答】
\def\va{2} \def\vb{8} \def\kotae{4} \def\last{-4} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{red}{\bf \sqrt{マイナス}は} & \colMM{red}{\bf 最初に\ }\colMM{red}{i}\colMM{red}{\bf\ にして外へ}\\ \sqrt{\colBX{bisque}{$-$}\va}\ \sqrt{\colBX{palegreen}{$-$}\vb} &= \sqrt{\va}\,\colBX{bisque}{$i$}\ \sqrt{\vb}\,\colBX{palegreen}{$i$}\\ \\ &= \sqrt{\va\times\vb}\,\colBX{mistyrose}{$i^2$}\\ & \colMM{red}{ \Darr i^2=-1}\\ &= \kotae\colBX{mistyrose}{$(-1)$}\\ \\ &= \last \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
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【解答】
\def\va{3} \def\vb{4} \def\kotae{-2\sqrt{3}} \def\last{2\sqrt{3}} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{red}{\bf \sqrt{マイナス}は} & \colMM{red}{\bf 最初に\ }\colMM{red}{i}\colMM{red}{\bf\ にして外へ}\\ -\sqrt{\colBX{bisque}{$-$}\va}\ \sqrt{\colBX{palegreen}{$-$}\vb} &= -\sqrt{\va}\,\colBX{bisque}{$i$}\ \sqrt{\vb}\,\colBX{palegreen}{$i$}\\ \\ &= -\sqrt{\va\times\vb}\,\colBX{mistyrose}{$i^2$}\\ & \colMM{red}{ \Darr i^2=-1}\\ &= \kotae\colBX{mistyrose}{$(-1)$}\\ \\ &= \last \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
わり算
次の式を計算しよう。
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【解答】
\def\va{3} \def\vb{4} \def\kotae{2} \def\last{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,i} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{red}{\bf \sqrt{マイナス}は} & \colMM{red}{\bf 最初に\ }\colMM{red}{i}\colMM{red}{\bf\ にして外へ}\\ \dfrac{\sqrt{\va}}{\sqrt{\colBX{bisque}{$-$}\vb}} &= \dfrac{\sqrt{\va}}{\sqrt{\vb}\,\colBX{bisque}{$i$}}\\ \\ &= \dfrac{\sqrt{\va}}{\kotae\,i}\\ & \colMM{green}{分母が\ bi\ \Rightarrow 分母分子に \times i}\\ &= \dfrac{\sqrt{\va}}{\kotae\,\colBX{palegreen}{$i$}} \times \dfrac{\colBX{palegreen}{$i$}}{\colBX{palegreen}{$i$}}\\ \\ &= \dfrac{\sqrt{\va}\,i}{\kotae\,\colBX{mistyrose}{$i^2$}}\\ & \colMM{red}{ \Darr i^2=-1}\\ &= \dfrac{\sqrt{\va}\,i}{\kotae\colBX{mistyrose}{$(-1)$}}\\ \\ &= \last \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
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【解答】
\def\va{8} \def\vb{2} \def\kotae{\sqrt{4}\,i} \def\last{2\,i} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{red}{\bf \sqrt{マイナス}は} & \colMM{red}{\bf 最初に\ }\colMM{red}{i}\colMM{red}{\bf\ にして外へ}\\ \dfrac{\sqrt{\colBX{bisque}{$-$}\va}}{\sqrt{\vb}} &= \dfrac{\sqrt{\va}\,\colBX{bisque}{$i$}}{\sqrt{\vb}}\\ & \colMM{red}{ \Darr\sqrt{プラス}なら1つにまとめる!}\\ &= \sqrt{\dfrac{\va}{\vb}}\,i\\ \\ &= \kotae\\ \\ &= \last \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
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【解答】
\def\va{3} \def\vb{2} \def\kotae{\dfrac{\sqrt{6}}{2}} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{red}{\bf \sqrt{マイナス}は} & \colMM{red}{\bf 最初に\ }\colMM{red}{i}\colMM{red}{\bf\ にして外へ}\\ \dfrac{\sqrt{\colBX{bisque}{$-$}\va}}{\sqrt{\colBX{palegreen}{$-$}\vb}} &= \dfrac{\sqrt{\va}\,\colBX{bisque}{$i$}}{\sqrt{\vb}\,\colBX{palegreen}{$i$}}\\ & \colMM{red}{ \Darr 約分!}\\ &= \dfrac{\sqrt{\va}}{\sqrt{\vb}}\\ & \colMM{magenta}{ \Darr 有理化!}\\ &= \dfrac{\sqrt{\va}}{\colBX{violet}{$\sqrt{\vb}$}} \times \dfrac{\colBX{violet}{$\sqrt{\vb}$}}{\colBX{violet}{$\sqrt{\vb}$}}\\ \\ &= \kotae \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
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【解答】
\def\va{25} \def\vb{5} \def\kotae{\sqrt{5}} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{red}{\bf \sqrt{マイナス}は} & \colMM{red}{\bf 最初に\ }\colMM{red}{i}\colMM{red}{\bf\ にして外へ}\\ \dfrac{\sqrt{\colBX{bisque}{$-$}\va}}{\sqrt{\colBX{palegreen}{$-$}\vb}} &= \dfrac{\sqrt{\va}\,\colBX{bisque}{$i$}}{\sqrt{\vb}\,\colBX{palegreen}{$i$}}\\ & \colMM{red}{ \Darr 約分!}\\ &= \dfrac{\sqrt{\va}}{\sqrt{\vb}}\\ & \colMM{red}{ \Darr\sqrt{プラス}なら1つにまとめる!}\\ &= \sqrt{\dfrac{\va}{\vb}}\\ \\ &= \kotae \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
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【解答】
\def\va{6} \def\vb{2} \def\kotae{3} \def\last{-\sqrt{3}\,i} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{red}{\bf \sqrt{マイナス}は} & \colMM{red}{\bf 最初に\ }\colMM{red}{i}\colMM{red}{\bf\ にして外へ}\\ \dfrac{\sqrt{\va}}{\sqrt{\colBX{bisque}{$-$}\vb}} &= \dfrac{\sqrt{\va}}{\sqrt{\vb}\,\colBX{bisque}{$i$}}\\ & \colMM{red}{ \Darr \sqrt{ルート}内で約分}\\ &= \dfrac{\sqrt{\kotae}}{\,i}\\ & \colMM{green}{分母が\ bi\ \Rightarrow 分母分子に \times i}\\ &= \dfrac{\sqrt{\kotae}}{\colBX{palegreen}{$i$}} \times \dfrac{\colBX{palegreen}{$i$}}{\colBX{palegreen}{$i$}}\\ \\ &= \dfrac{\sqrt{\kotae}\,i}{\colBX{mistyrose}{$i^2$}}\\ & \colMM{red}{ \Darr i^2=-1}\\ &= \dfrac{\sqrt{\kotae}\,i}{\colBX{mistyrose}{$(-1)$}}\\ \\ &= \last \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan