負の数の平方根（計算）

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\colorbox{mistyrose}{$\sqrt{2}\,i$} と \colorbox{lightcyan}{$-\sqrt{2}\,i$} を２乗すると \colorbox{lightgreen}{$-2$} になります。

\begin{align*}
\left(\textcolor{orange}{+}\sqrt{2}\,i\right)^2 &= \left(\textcolor{orange}{+}\sqrt{2}\right)^2i^2 = 2 \times (-1) = \colorbox{lightgreen}{$-2$}\\
\left(-\sqrt{2}\,i\right)^2 &= \left(-\sqrt{2}\right)^2i^2 = 2 \times (-1) = \colorbox{lightgreen}{$-2$}
\end{align*}

つまり，\colorbox{mistyrose}{$\sqrt{2}\,i$} と \colorbox{lightcyan}{$-\sqrt{2}\,i$} は \colorbox{lightgreen}{$-2$} の平方根！

逆に，\colorbox{lightgreen}{$-2$} の平方根は \colorbox{mistyrose}{$\sqrt{-2}$} と \colorbox{lightcyan}{$-\sqrt{-2}$} だから・・・

\colorbox{mistyrose}{$\sqrt{-2} = \sqrt{2}\,i$}，　\colorbox{lightcyan}{$-\sqrt{-2} = -\sqrt{2}\,i$}
負の数の平方根
a>0 のとき，-a の平方根は

\pm\sqrt{-a}　すなわち　\pm\sqrt{a}\,i

ルートの中のマイナスは i に変えて外に出す！

　　　⇒ マイナス見つけたら最速で出す！後にしない！　

かけ算

次の式を計算しよう。

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【解答】

\def\va{2}
\def\vb{3}
\def\kotae{\sqrt{6}}
\def\last{-\sqrt{6}}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{red}{\bf \sqrt{マイナス}は} & \colMM{red}{\bf 最初に\ }\colMM{red}{i}\colMM{red}{\bf\ にして外へ}\\
\sqrt{\colBX{bisque}{$-$}\va}\ \sqrt{\colBX{palegreen}{$-$}\vb} &= \sqrt{\va}\,\colBX{bisque}{$i$}\ \sqrt{\vb}\,\colBX{palegreen}{$i$}\\
\\
&= \sqrt{\va\times\vb}\,\colBX{mistyrose}{$i^2$}\\
& \colMM{red}{　　　　　　\Darr i^2=-1}\\
&= \kotae\colBX{mistyrose}{$(-1)$}\\
\\
&= \last
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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【解答】

\def\va{2}
\def\vb{6}
\def\kotae{2\sqrt{3}}
\def\last{-2\sqrt{3}}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{red}{\bf \sqrt{マイナス}は} & \colMM{red}{\bf 最初に\ }\colMM{red}{i}\colMM{red}{\bf\ にして外へ}\\
\sqrt{\colBX{bisque}{$-$}\va}\ \sqrt{\colBX{palegreen}{$-$}\vb} &= \sqrt{\va}\,\colBX{bisque}{$i$}\ \sqrt{\vb}\,\colBX{palegreen}{$i$}\\
\\
&= \sqrt{\va\times\vb}\,\colBX{mistyrose}{$i^2$}\\
& \colMM{red}{　　　　　　\Darr i^2=-1}\\
&= \kotae\colBX{mistyrose}{$(-1)$}\\
\\
&= \last
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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【解答】

\def\va{6}
\def\vb{3}
\def\kotae{3\sqrt{2}}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{red}{\bf \sqrt{マイナス}は} & \colMM{red}{\bf 最初に\ }\colMM{red}{i}\colMM{red}{\bf\ にして外へ}\\
\sqrt{\colBX{bisque}{$-$}\va}\ \sqrt{\vb} &= \sqrt{\va}\,\colBX{bisque}{$i$}\ \sqrt{\vb}\\
\\
&= \sqrt{\va\times\vb}\,i\\
\\
&= \kotae\,i
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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【解答】

\def\va{2}
\def\vb{8}
\def\kotae{4}
\def\last{-4}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{red}{\bf \sqrt{マイナス}は} & \colMM{red}{\bf 最初に\ }\colMM{red}{i}\colMM{red}{\bf\ にして外へ}\\
\sqrt{\colBX{bisque}{$-$}\va}\ \sqrt{\colBX{palegreen}{$-$}\vb} &= \sqrt{\va}\,\colBX{bisque}{$i$}\ \sqrt{\vb}\,\colBX{palegreen}{$i$}\\
\\
&= \sqrt{\va\times\vb}\,\colBX{mistyrose}{$i^2$}\\
& \colMM{red}{　　　　　　\Darr i^2=-1}\\
&= \kotae\colBX{mistyrose}{$(-1)$}\\
\\
&= \last
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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【解答】

\def\va{3}
\def\vb{4}
\def\kotae{-2\sqrt{3}}
\def\last{2\sqrt{3}}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{red}{\bf \sqrt{マイナス}は} & \colMM{red}{\bf 最初に\ }\colMM{red}{i}\colMM{red}{\bf\ にして外へ}\\
-\sqrt{\colBX{bisque}{$-$}\va}\ \sqrt{\colBX{palegreen}{$-$}\vb} &= -\sqrt{\va}\,\colBX{bisque}{$i$}\ \sqrt{\vb}\,\colBX{palegreen}{$i$}\\
\\
&= -\sqrt{\va\times\vb}\,\colBX{mistyrose}{$i^2$}\\
& \colMM{red}{　　　　　　\Darr i^2=-1}\\
&= \kotae\colBX{mistyrose}{$(-1)$}\\
\\
&= \last
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

わり算

次の式を計算しよう。

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【解答】

\def\va{3}
\def\vb{4}
\def\kotae{2}
\def\last{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,i}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{red}{\bf \sqrt{マイナス}は} & \colMM{red}{\bf 最初に\ }\colMM{red}{i}\colMM{red}{\bf\ にして外へ}\\
\dfrac{\sqrt{\va}}{\sqrt{\colBX{bisque}{$-$}\vb}} &= \dfrac{\sqrt{\va}}{\sqrt{\vb}\,\colBX{bisque}{$i$}}\\
\\
&= \dfrac{\sqrt{\va}}{\kotae\,i}\\
& \colMM{green}{分母が\ bi\ \Rightarrow 分母分子に \times i}\\
&= \dfrac{\sqrt{\va}}{\kotae\,\colBX{palegreen}{$i$}} \times \dfrac{\colBX{palegreen}{$i$}}{\colBX{palegreen}{$i$}}\\
\\
&= \dfrac{\sqrt{\va}\,i}{\kotae\,\colBX{mistyrose}{$i^2$}}\\
& \colMM{red}{　　　　\Darr i^2=-1}\\
&= \dfrac{\sqrt{\va}\,i}{\kotae\colBX{mistyrose}{$(-1)$}}\\
\\
&= \last
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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【解答】

\def\va{8}
\def\vb{2}
\def\kotae{\sqrt{4}\,i}
\def\last{2\,i}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{red}{\bf \sqrt{マイナス}は} & \colMM{red}{\bf 最初に\ }\colMM{red}{i}\colMM{red}{\bf\ にして外へ}\\
\dfrac{\sqrt{\colBX{bisque}{$-$}\va}}{\sqrt{\vb}} &= \dfrac{\sqrt{\va}\,\colBX{bisque}{$i$}}{\sqrt{\vb}}\\
& \colMM{red}{　\Darr\sqrt{プラス}なら１つにまとめる！}\\
&= \sqrt{\dfrac{\va}{\vb}}\,i\\
\\
&= \kotae\\
\\
&= \last
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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【解答】

\def\va{3}
\def\vb{2}
\def\kotae{\dfrac{\sqrt{6}}{2}}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{red}{\bf \sqrt{マイナス}は} & \colMM{red}{\bf 最初に\ }\colMM{red}{i}\colMM{red}{\bf\ にして外へ}\\
\dfrac{\sqrt{\colBX{bisque}{$-$}\va}}{\sqrt{\colBX{palegreen}{$-$}\vb}} &= \dfrac{\sqrt{\va}\,\colBX{bisque}{$i$}}{\sqrt{\vb}\,\colBX{palegreen}{$i$}}\\
& \colMM{red}{　\Darr 約分！}\\
&= \dfrac{\sqrt{\va}}{\sqrt{\vb}}\\
& \colMM{magenta}{　\Darr 有理化！}\\
&= \dfrac{\sqrt{\va}}{\colBX{violet}{$\sqrt{\vb}$}} \times \dfrac{\colBX{violet}{$\sqrt{\vb}$}}{\colBX{violet}{$\sqrt{\vb}$}}\\
\\
&= \kotae
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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【解答】

\def\va{25}
\def\vb{5}
\def\kotae{\sqrt{5}}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{red}{\bf \sqrt{マイナス}は} & \colMM{red}{\bf 最初に\ }\colMM{red}{i}\colMM{red}{\bf\ にして外へ}\\
\dfrac{\sqrt{\colBX{bisque}{$-$}\va}}{\sqrt{\colBX{palegreen}{$-$}\vb}} &= \dfrac{\sqrt{\va}\,\colBX{bisque}{$i$}}{\sqrt{\vb}\,\colBX{palegreen}{$i$}}\\
& \colMM{red}{　\Darr 約分！}\\
&= \dfrac{\sqrt{\va}}{\sqrt{\vb}}\\
& \colMM{red}{　\Darr\sqrt{プラス}なら１つにまとめる！}\\
&= \sqrt{\dfrac{\va}{\vb}}\\
\\
&= \kotae
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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【解答】

\def\va{6}
\def\vb{2}
\def\kotae{3}
\def\last{-\sqrt{3}\,i}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{red}{\bf \sqrt{マイナス}は} & \colMM{red}{\bf 最初に\ }\colMM{red}{i}\colMM{red}{\bf\ にして外へ}\\
\dfrac{\sqrt{\va}}{\sqrt{\colBX{bisque}{$-$}\vb}} &= \dfrac{\sqrt{\va}}{\sqrt{\vb}\,\colBX{bisque}{$i$}}\\
& \colMM{red}{　\Darr \sqrt{ルート}内で約分}\\
&= \dfrac{\sqrt{\kotae}}{\,i}\\
& \colMM{green}{分母が\ bi\ \Rightarrow 分母分子に \times i}\\
&= \dfrac{\sqrt{\kotae}}{\colBX{palegreen}{$i$}} \times \dfrac{\colBX{palegreen}{$i$}}{\colBX{palegreen}{$i$}}\\
\\
&= \dfrac{\sqrt{\kotae}\,i}{\colBX{mistyrose}{$i^2$}}\\
& \colMM{red}{　　　　\Darr i^2=-1}\\
&= \dfrac{\sqrt{\kotae}\,i}{\colBX{mistyrose}{$(-1)$}}\\
\\
&= \last
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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