- 2乗すると a になる数を a の平方根 といい, \sqrt{a} と書きます。ただし,a は正の数とします。
- 正の数 a の平方根は以下の2つです。
正の平方根・・・\colorbox{mistyrose}{$\textcolor{white}{+}\sqrt{a}$}(+は省略)
負の平方根・・・\colorbox{mistyrose}{$-\sqrt{a}$} - 当然ですが,どちらの平方根も2乗すると a になります。
\left(\sqrt{a}\right)^2 = a, \left(-\sqrt{a}\right)^2 = a - 余計なお世話ですが確認です。OK?
\sqrt{0}=0 \sqrt{1}=1 - 意外と大切な公式も確認しておきましょう。
\colorbox{lightcyan}{$\sqrt{a^2} = |\,a\,|$}
\colorbox{mistyrose}{$\sqrt{2}\,i$} と \colorbox{lightcyan}{$-\sqrt{2}\,i$} を2乗すると \colorbox{lightgreen}{$-2$} になります。
\begin{align*} \left(\textcolor{orange}{+}\sqrt{2}\,i\right)^2 &= \left(\textcolor{orange}{+}\sqrt{2}\right)^2i^2 = 2 \times (-1) = \colorbox{lightgreen}{$-2$}\\ \left(-\sqrt{2}\,i\right)^2 &= \left(-\sqrt{2}\right)^2i^2 = 2 \times (-1) = \colorbox{lightgreen}{$-2$} \end{align*}
つまり,\colorbox{mistyrose}{$\sqrt{2}\,i$} と \colorbox{lightcyan}{$-\sqrt{2}\,i$} は \colorbox{lightgreen}{$-2$} の平方根!
逆に,\colorbox{lightgreen}{$-2$} の平方根は \colorbox{mistyrose}{$\sqrt{-2}$} と \colorbox{lightcyan}{$-\sqrt{-2}$} だから・・・
\colorbox{mistyrose}{$\sqrt{-2} = \sqrt{2}\,i$}, \colorbox{lightcyan}{$-\sqrt{-2} = -\sqrt{2}\,i$}
次の数を i を用いて表わせ。
負の数の平方根
次の数を i を用いて表そう。
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【解答】
\def\vn{6} \def\kotae{} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colBX{bisque}{$-\vn$}\ の & \colBX{mistyrose}{平方根は}\\ & \colMM{red}{ \sqrt{マイナス}は\ i\ に変えて外へ!}\\ & \colBX{mistyrose}{$\pm$}\sqrt{\colBX{bisque}{$-\vn$}} = \pm\sqrt{\vn}\,i \kotae \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
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【解答】
\def\vn{27} \def\kotae{= \pm 3\sqrt{3}\,i} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colBX{bisque}{$-\vn$}\ の & \colBX{mistyrose}{平方根は}\\ & \colMM{red}{ \sqrt{マイナス}は\ i\ に変えて外へ!}\\ & \colBX{mistyrose}{$\pm$}\sqrt{\colBX{bisque}{$-\vn$}} = \pm\sqrt{\vn}\,i \kotae \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
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【解答】
\def\vn{3} \def\kotae{} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colBX{bisque}{$-\vn$}\ の & \colBX{mistyrose}{平方根は}\\ & \colMM{red}{ \sqrt{マイナス}は\ i\ に変えて外へ!}\\ & \colBX{mistyrose}{$\pm$}\sqrt{\colBX{bisque}{$-\vn$}} = \pm\sqrt{\vn}\,i \kotae \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
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【解答】
\def\vn{8} \def\kotae{=\pm 2\sqrt{2}\,i} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colBX{bisque}{$-\vn$}\ の & \colBX{mistyrose}{平方根は}\\ & \colMM{red}{ \sqrt{マイナス}は\ i\ に変えて外へ!}\\ & \colBX{mistyrose}{$\pm$}\sqrt{\colBX{bisque}{$-\vn$}} = \pm\sqrt{\vn}\,i \kotae \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
\sqrt{\bf負の数}
次の数を i を用いて表そう。
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【解答】
\def\vn{8} \def\kotae{= 2\sqrt{2}\,i} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{red}{ \sqrt{マイナス}} & \colMM{red}{は\ i\ に変えて外へ!}\\ \sqrt{\colBX{mistyrose}{$-\vn$}} &= \sqrt{\vn}\,\colBX{mistyrose}{$i$} \kotae \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
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【解答】
\def\vn{5} \def\kotae{} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{red}{ \sqrt{マイナス}} & \colMM{red}{は\ i\ に変えて外へ!}\\ \sqrt{\colBX{mistyrose}{$-\vn$}} &= \sqrt{\vn}\,\colBX{mistyrose}{$i$} \kotae \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
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【解答】
\def\vn{9} \def\kotae{=3\,i} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{red}{ \sqrt{マイナス}} & \colMM{red}{は\ i\ に変えて外へ!}\\ \sqrt{\colBX{mistyrose}{$-\vn$}} &= \sqrt{\vn}\,\colBX{mistyrose}{$i$} \kotae \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
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【解答】
\def\vn{3} \def\kotae{} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{red}{ \sqrt{マイナス}} & \colMM{red}{は\ i\ に変えて外へ!}\\ \sqrt{\colBX{mistyrose}{$-\vn$}} &= \sqrt{\vn}\,\colBX{mistyrose}{$i$} \kotae \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
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【解答】
\def\vn{4} \def\kotae{= 2\,i} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{red}{ \sqrt{マイナス}} & \colMM{red}{は\ i\ に変えて外へ!}\\ \sqrt{\colBX{mistyrose}{$-\vn$}} &= \sqrt{\vn}\,\colBX{mistyrose}{$i$} \kotae \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
チャレンジ!
次の数を i を用いて表そう。
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【解答】
\def\vn{5} \def\kotae{} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{red}{ \sqrt{マイナス}} & \colMM{red}{は\ i\ に変えて外へ!}\\ 2+\sqrt{\colBX{mistyrose}{$-\vn$}} &= 2+\sqrt{\vn}\,\colBX{mistyrose}{$i$} \kotae \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
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【解答】
\def\vn{7} \def\kotae{} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{red}{ \sqrt{マイナス}} & \colMM{red}{は\ i\ に変えて外へ!}\\ -\sqrt{\colBX{mistyrose}{$-\vn$}} &= -\sqrt{\vn}\,\colBX{mistyrose}{$i$} \kotae \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan