分母が a+b\,i
次の式を計算しよう。
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【解答】
\begin{align*} & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ 分母分子に共役な複素数をかける!}}\\ \dfrac{2+9\,i}{1+2\,i} &= \dfrac{(2+9\,i)\colorbox{mistyrose}{$(1-2\,i)$}}{(1+2\,i)\colorbox{mistyrose}{($1-2\,i$)}}\\\\ &= \dfrac{2-4\,i+9\,i-18\,\colorbox{lightcyan}{$i^2$}}{1-4\,\colorbox{lightcyan}{$i^2$}}\\\\ & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ i^2=(-1)に変える!}}\\ &= \dfrac{2+5\,i -18 \colorbox{lightcyan}{$\times (-1)$}}{1-4 \colorbox{lightcyan}{$\times (-1)$}}\\\\ &= \dfrac{2+5\,i+18}{1+4}\\\\ &= \dfrac{20+5\,i}{5}\\\\ &= \dfrac{5(4+i)}{5} = \textcolor{red}{\underline{\textcolor{black}{4+i}}} \end{align*}
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【解答】
\begin{align*} & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ 分母分子に共役な複素数をかける!}}\\ \dfrac{1+2\,i}{2+3\,i} &= \dfrac{(1+2\,i)\colorbox{mistyrose}{$(2-3\,i)$}}{(2+3\,i)\colorbox{mistyrose}{($2-3\,i$)}}\\\\ &= \dfrac{2-3\,i+4\,i-6\,\colorbox{lightcyan}{$i^2$}}{4-9\,\colorbox{lightcyan}{$i^2$}}\\\\ & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ i^2=(-1)に変える!}}\\ &= \dfrac{2+\,i -6 \colorbox{lightcyan}{$\times (-1)$}}{4-9 \colorbox{lightcyan}{$\times (-1)$}}\\\\ &= \dfrac{2+\,i+6}{4+9}\\\\ &= \dfrac{8+\,i}{13} = \textcolor{red}{\underline{\textcolor{black}{\dfrac{8}{13}+\dfrac{1}{13}i}}}\\ & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ a+b\,i の形で答えよう!}} \end{align*}
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【解答】
\begin{align*} & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ 分母分子に共役な複素数をかける!}}\\ \dfrac{1-\,i}{1+\,i} &= \dfrac{(1-\,i)\colorbox{mistyrose}{$(1-\,i)$}}{(1+\,i)\colorbox{mistyrose}{($1-\,i$)}}\\\\ &= \dfrac{1-2\,i+\,\colorbox{lightcyan}{$i^2$}}{1-\,\colorbox{lightcyan}{$i^2$}}\\\\ & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ i^2=(-1)に変える!}}\\ &= \dfrac{1-2\,i + \colorbox{lightcyan}{$(-1)$}}{1- \colorbox{lightcyan}{$(-1)$}}\\\\ &= \dfrac{1-2\,i-1}{1+1}\\\\ &= \dfrac{-2\,i}{2} = \textcolor{red}{\underline{\textcolor{black}{-\,i}}} \end{align*}
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【解答】
\begin{align*} & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ 分母分子に共役な複素数をかける!}}\\ \dfrac{5\,i}{2-\,i} &= \dfrac{5\,i\colorbox{mistyrose}{$(2+\,i)$}}{(2-\,i)\colorbox{mistyrose}{($2+\,i$)}}\\\\ &= \dfrac{10\,i+5\,\colorbox{lightcyan}{$i^2$}}{4-\,\colorbox{lightcyan}{$i^2$}}\\\\ & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ i^2=(-1)に変える!}}\\ &= \dfrac{10\,i + 5\colorbox{lightcyan}{$(-1)$}}{4- \colorbox{lightcyan}{$(-1)$}}\\\\ &= \dfrac{10\,i-5}{4+1}\\\\ &= \dfrac{-5+10\,i}{5}\\\\ &= \dfrac{5(-1+2\,i)}{5} = \textcolor{red}{\underline{\textcolor{black}{-1+2\,i}}} \end{align*}
分母が b\,i
次の式を計算しよう。
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【解答】
\begin{align*} & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ 分母分子に\ i\ をかける!}}\\ \dfrac{1}{i} &= \dfrac{1\colorbox{mistyrose}{$\times\,i$}}{i\colorbox{mistyrose}{$\times\,i$}} = \dfrac{i}{\colorbox{lightcyan}{$i^2$}}\\\\ & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ i^2=(-1)に変える!}}\\ &= \dfrac{i}{\colorbox{lightcyan}{$-1$}}\\\\ &= -\,i \end{align*}