複素数の計算〜乗法・展開〜

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btakeshi
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複素数の加法と減法は普通の文字の計算でした。ご想像のとおり乗法も問題なく計算できます。もちろん今まで学んできた公式も利用できます。ただし，i が虚数単位であることをのぞけば。

Happy Math-ing!!

複素数の計算（乗法・展開）
  • 虚数単位 i は普通の文字として計算できる
  • 乗法でもほぼ， i は普通の文字として計算
  • ただし，i^2 は (-1) に変えること
文字 i として普通に展開
(1+2i)(4+i)　

= 4+i+8i+2i^2
i^2 は (-1) に変える
=4+i+8i+2(-1)　

=(4-2)+(i+8i)　

=2+9i
文字 i として普通に展開　公式も使えます
(1+2i)(1-2i)　

= 1^2-(2i)^2　

=1-4i^2
i^2 は (-1) に変える
=1-4(-1)　

=5
練習問題にチャレンジ！

次の式を計算せよ。

次の式を計算しよう。

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【解答】

\def\siki{(1+2\,i)(4+\,i)}
\def\aa{1}\def\af{+}\def\ab{2}
\def\right{4+\,i}
\def\sikia{4+i+8\,i+2}
\def\sikib{4+9\,i-2}
\def\kotae{2+9\,i}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
& \siki\\
& \colMM{lightgray}{　　 \Darr 丁寧に展開}\\
&\color{lightgray}= \aa(\right)\af\ab\,i(\right)\\
\\
&= \sikia \colBX{mistyrose}{$i^2$}\\
& \colMM{red}{　　　　　　　i^2=-1\ \Darr}\\
&= \sikia \colBX{mistyrose}{$(-1)$}\\
\\
&= \sikib\\
\\
&= \kotae
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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【解答】

\def\siki{(1+2\,i)(1-2\,i)}
\def\aa{1}\def\af{+}\def\ab{2}
\def\right{4+\,i}
\def\sikia{1-4}
\def\sikib{1+4}
\def\kotae{5}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
& \siki\\
& \colMM{orange}{　 \Darr (a+b)(a-b)=a^2-b^2}\\
&= \sikia \colBX{mistyrose}{$i^2$}\\
& \colMM{red}{　　　　　　　i^2=-1\ \Darr}\\
&= \sikia \colBX{mistyrose}{$(-1)$}\\
\\
&= \sikib\\
\\
&= \kotae
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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【解答】

\def\siki{(1+2\,i)(4+3\,i)}
\def\aa{1}\def\af{+}\def\ab{2}
\def\right{4+3\,i}
\def\sikia{4+3\,i+8\,i+6}
\def\sikib{4+11\,i-6}
\def\kotae{-2+11\,i}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
& \siki\\
& \colMM{lightgray}{　　 \Darr 丁寧に展開}\\
&\color{lightgray}= \aa(\right)\af\ab\,i(\right)\\
\\
&= \sikia \colBX{mistyrose}{$i^2$}\\
& \colMM{red}{　　　　　　　i^2=-1\ \Darr}\\
&= \sikia \colBX{mistyrose}{$(-1)$}\\
\\
&= \sikib\\
\\
&= \kotae
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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【解答】

\def\siki{(2-\,i)(3+4\,i)}
\def\aa{2}\def\af{}\def\ab{-}
\def\right{3+4\,i}
\def\sikia{6+8\,i-3\,i-4}
\def\sikib{6+5\,i+4}
\def\kotae{10+5\,i}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
& \siki\\
& \colMM{lightgray}{　　 \Darr 丁寧に展開}\\
&\color{lightgray}= \aa(\right)\af\ab\,i(\right)\\
\\
&= \sikia \colBX{mistyrose}{$i^2$}\\
& \colMM{red}{　　　　　　　i^2=-1\ \Darr}\\
&= \sikia \colBX{mistyrose}{$(-1)$}\\
\\
&= \sikib\\
\\
&= \kotae
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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【解答】

\def\siki{(3+4\,i)(3-4\,i)}
\def\aa{3}\def\af{+}\def\ab{2}
\def\right{4+\,i}
\def\sikia{9-16}
\def\sikib{9+16}
\def\kotae{25}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
& \siki\\
& \colMM{orange}{　 \Darr (a+b)(a-b)=a^2-b^2}\\
&= \sikia \colBX{mistyrose}{$i^2$}\\
& \colMM{red}{　　　　　　　i^2=-1\ \Darr}\\
&= \sikia \colBX{mistyrose}{$(-1)$}\\
\\
&= \sikib\\
\\
&= \kotae
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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【解答】

\def\siki{(2+3\,i)^2}
\def\sikia{4+12\,i+9}
\def\sikib{4+12\,i-9}
\def\kotae{-5+12\,i}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
& \siki\\
& \colMM{orange}{　 \Darr (a+b)^2=a^2-2ab+b^2}\\
&= \sikia \colBX{mistyrose}{$i^2$}\\
& \colMM{red}{　　　　　　　i^2=-1\ \Darr}\\
&= \sikia \colBX{mistyrose}{$(-1)$}\\
\\
&= \sikib\\
\\
&= \kotae
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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【解答】

\def\siki{(1+3\,i)(2+\,i)}
\def\aa{1}\def\af{+}\def\ab{3}
\def\right{2+\,i}
\def\sikia{2+i+6\,i+3}
\def\sikib{2+7\,i-3}
\def\kotae{-1+7\,i}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
& \siki\\
& \colMM{lightgray}{　　 \Darr 丁寧に展開}\\
&\color{lightgray}= \aa(\right)\af\ab\,i(\right)\\
\\
&= \sikia \colBX{mistyrose}{$i^2$}\\
& \colMM{red}{　　　　　　　i^2=-1\ \Darr}\\
&= \sikia \colBX{mistyrose}{$(-1)$}\\
\\
&= \sikib\\
\\
&= \kotae
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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【解答】

\def\siki{(1-2\,i)(5+2\,i)}
\def\aa{1}\def\af{}\def\ab{-2}
\def\right{5+2\,i}
\def\sikia{5+2\,i-10\,i-4}
\def\sikib{5-8\,i+4}
\def\kotae{9-8\,i}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
& \siki\\
& \colMM{lightgray}{　　 \Darr 丁寧に展開}\\
&\color{lightgray}= \aa(\right)\af\ab\,i(\right)\\
\\
&= \sikia \colBX{mistyrose}{$i^2$}\\
& \colMM{red}{　　　　　　　i^2=-1\ \Darr}\\
&= \sikia \colBX{mistyrose}{$(-1)$}\\
\\
&= \sikib\\
\\
&= \kotae
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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【解答】

\def\siki{(3-2\,i)^2}
\def\sikia{9-12\,i+4}
\def\sikib{9-12\,i-4}
\def\kotae{5-12\,i}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
& \siki\\
& \colMM{orange}{　 \Darr (a+b)^2=a^2-2ab+b^2}\\
&= \sikia \colBX{mistyrose}{$i^2$}\\
& \colMM{red}{　　　　　　　i^2=-1\ \Darr}\\
&= \sikia \colBX{mistyrose}{$(-1)$}\\
\\
&= \sikib\\
\\
&= \kotae
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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【解答】

\def\siki{(1+\,i)^2}
\def\sikia{1+2\,i+}
\def\sikib{1+2\,i-1}
\def\kotae{2\,i}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
& \siki\\
& \colMM{orange}{　 \Darr (a+b)^2=a^2-2ab+b^2}\\
&= \sikia \colBX{mistyrose}{$i^2$}\\
& \colMM{red}{　　　　　　　i^2=-1\ \Darr}\\
&= \sikia \colBX{mistyrose}{$(-1)$}\\
\\
&= \sikib\\
\\
&= \kotae
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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【解答】

\def\siki{(2-\,i)(2+\,i)}
\def\sikia{4-}
\def\sikib{4+1}
\def\kotae{5}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
& \siki\\
& \colMM{orange}{　 \Darr (a+b)(a-b)=a^2-b^2}\\
&= \sikia \colBX{mistyrose}{$i^2$}\\
& \colMM{red}{　　　　　　　i^2=-1\ \Darr}\\
&= \sikia \colBX{mistyrose}{$(-1)$}\\
\\
&= \sikib\\
\\
&= \kotae
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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【解答】

\def\siki{(4+3\,i)(4-3\,i)}
\def\sikia{16-9}
\def\sikib{16+9}
\def\kotae{25}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
& \siki\\
& \colMM{orange}{　 \Darr (a+b)(a-b)=a^2-b^2}\\
&= \sikia \colBX{mistyrose}{$i^2$}\\
& \colMM{red}{　　　　　　　i^2=-1\ \Darr}\\
&= \sikia \colBX{mistyrose}{$(-1)$}\\
\\
&= \sikib\\
\\
&= \kotae
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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