次の不等式を証明しよう。また，等号が成り立つときを調べよう。
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\def\SA{a}
\def\SB{\dfrac{1}{a}}
\def\SAB{1}
\def\Kotae{2}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{red}{\fbox{Point!}} & \colMM{red}{式の一部をかけたら文字が消える}\\
& \colMM{red}{\colBX{bisque}{$\SA$} \times \colBX{palegreen}{$\SB$} = \SAB \cdots 文字が消えた！}\\
& \colNS{red}{➡ 相加・相乗平均の関係を利用！}\\
\\
{\footnotesize\bf 【証明】} & \colMM{red}{①かけたら文字が消えた２式が正であることを確認}\\
& \colBX{bisque}{$\SA$} > 0,\ \colBX{palegreen}{$\SB$} > 0 \ であるから\\
\\
& \colMM{red}{②テクニック使用を宣言！}\\
& \colFR{red}{相加平均と相乗平均の大小関係により}\\
\\
& \colMM{red}{③}\colMM{magenta}{たす }\colMM{red}{ \geqq 2\sqrt{\colMM{deepskyblue}{かける}}}\\
& \colBX{violet}{$\SA + \SB$} \geqq 2\sqrt{\colBX{lightcyan}{$\SA \times \SB$}} = 2\sqrt{\SAB} = \Kotae\\
\\
& よって\\
& \SA + \SB \geqq \Kotae\\
& {\footnotesize\bf【証明終り】}\\
\\
等号が & 成り立つのは，a>0\ かつ\ \colBX{bisque}{$\SA$} = \colBX{palegreen}{$\SB$}\\
\\
& \colMM{lightgray}{両辺 \times a\ して\ a^2=1}\\
& \colMM{lightgray}{これを解いて\ a=\pm1 a>0\ であるから}\\
\\
& すなわち\ a=1\ のときである。
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan↓この問題へのリンクはこちら（右クリックで保存）
\def\SA{a}
\def\SB{\dfrac{4}{a}}
\def\SAB{4}
\def\Kotae{4}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{red}{\fbox{Point!}} & \colMM{red}{式の一部をかけたら文字が消える}\\
& \colMM{red}{\colBX{bisque}{$\SA$} \times \colBX{palegreen}{$\SB$} = \SAB \cdots 文字が消えた！}\\
& \colNS{red}{➡ 相加・相乗平均の関係を利用！}\\
\\
{\footnotesize\bf 【証明】} & \colMM{red}{①かけたら文字が消えた２式が正であることを確認}\\
& \colBX{bisque}{$\SA$} > 0,\ \colBX{palegreen}{$\SB$} > 0 \ であるから\\
\\
& \colMM{red}{②テクニック使用を宣言！}\\
& \colFR{red}{相加平均と相乗平均の大小関係により}\\
\\
& \colMM{red}{③}\colMM{magenta}{たす }\colMM{red}{ \geqq 2\sqrt{\colMM{deepskyblue}{かける}}}\\
& \colBX{violet}{$\SA + \SB$} \geqq 2\sqrt{\colBX{lightcyan}{$\SA \times \SB$}} = 2\sqrt{\SAB} = \Kotae\\
\\
& よって\\
& \SA + \SB \geqq \Kotae\\
& {\footnotesize\bf【証明終り】}\\
\\
等号が & 成り立つのは，a>0\ かつ\ \colBX{bisque}{$\SA$} = \colBX{palegreen}{$\SB$}\\
\\
& \colMM{lightgray}{両辺 \times a\ して\ a^2=4}\\
& \colMM{lightgray}{これを解いて\ a=\pm2 a>0\ であるから}\\
\\
& すなわち\ a=2\ のときである。
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
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\def\SA{\dfrac{a}{b}}
\def\SB{\dfrac{b}{a}}
\def\SAB{1}
\def\Kotae{2}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{red}{\fbox{Point!}} & \colMM{red}{式の一部をかけたら文字が消える}\\
& \colMM{red}{\colBX{bisque}{$\SA$} \times \colBX{palegreen}{$\SB$} = \SAB \cdots 文字が消えた！}\\
& \colNS{red}{➡ 相加・相乗平均の関係を利用！}\\
\\
{\footnotesize\bf 【証明】} & \colMM{red}{①かけたら文字が消えた２式が正であることを確認}\\
& \colBX{bisque}{$\SA$} > 0,\ \colBX{palegreen}{$\SB$} > 0 \ であるから\\
\\
& \colMM{red}{②テクニック使用を宣言！}\\
& \colFR{red}{相加平均と相乗平均の大小関係により}\\
\\
& \colMM{red}{③}\colMM{magenta}{たす }\colMM{red}{ \geqq 2\sqrt{\colMM{deepskyblue}{かける}}}\\
& \colBX{violet}{$\SA + \SB$} \geqq 2\sqrt{\colBX{lightcyan}{$\SA \times \SB$}} = 2\sqrt{\SAB} = \Kotae\\
\\
& よって\\
& \SA + \SB \geqq \Kotae\\
& {\footnotesize\bf【証明終り】}\\
\\
等号が & 成り立つのは，a>0,\ b>0\ かつ\ \colBX{bisque}{$\SA$} = \colBX{palegreen}{$\SB$}\\
\\
& \colMM{lightgray}{両辺 \times ab\ して\ a^2=b^2}\\
& \colMM{lightgray}{a>0,\ b>0\ であるから２乗がとれて}\\
\\
& すなわち\ a=b\ のときである。
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
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\def\SA{2a}
\def\SB{\dfrac{3}{a}}
\def\SAB{6}
\def\Kotae{2\sqrt{6}}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{red}{\fbox{Point!}} & \colMM{red}{式の一部をかけたら文字が消える}\\
& \colMM{red}{\colBX{bisque}{$\SA$} \times \colBX{palegreen}{$\SB$} = \SAB \cdots 文字が消えた！}\\
& \colNS{red}{➡ 相加・相乗平均の関係を利用！}\\
\\
{\footnotesize\bf 【証明】} & \colMM{red}{①かけたら文字が消えた２式が正であることを確認}\\
& \colBX{bisque}{$\SA$} > 0,\ \colBX{palegreen}{$\SB$} > 0 \ であるから\\
\\
& \colMM{red}{②テクニック使用を宣言！}\\
& \colFR{red}{相加平均と相乗平均の大小関係により}\\
\\
& \colMM{red}{③}\colMM{magenta}{たす }\colMM{red}{ \geqq 2\sqrt{\colMM{deepskyblue}{かける}}}\\
& \colBX{violet}{$\SA + \SB$} \geqq 2\sqrt{\colBX{lightcyan}{$\SA \times \SB$}} = 2\sqrt{\SAB}\\
\\
& よって\\
& \SA + \SB \geqq \Kotae\\
& {\footnotesize\bf【証明終り】}\\
\\
等号が & 成り立つのは，a>0\ かつ\ \colBX{bisque}{$\SA$} = \colBX{palegreen}{$\SB$}\\
\\
& \colMM{lightgray}{両辺 \times a\ して\ 2a^2=3\ ➡\ a^2=\frac{3}{2}}\\
& \colMM{lightgray}{これを解いて\ a=\pm\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\pm\frac{\sqrt{6}}{2} a>0\ であるから}\\
\\
& すなわち\ a=\frac{\sqrt{6}}{2}\ のときである。
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan↓この問題へのリンクはこちら（右クリックで保存）
\def\SA{9ab}
\def\SB{\dfrac{1}{ab}}
\def\SAB{9}
\def\Kotae{6}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{red}{\fbox{Point!}} & \colMM{red}{式の一部をかけたら文字が消える}\\
& \colMM{red}{\colBX{bisque}{$\SA$} \times \colBX{palegreen}{$\SB$} = \SAB \cdots 文字が消えた！}\\
& \colNS{red}{➡ 相加・相乗平均の関係を利用！}\\
\\
{\footnotesize\bf 【証明】} & \colMM{red}{①かけたら文字が消えた２式が正であることを確認}\\
& \colBX{bisque}{$\SA$} > 0,\ \colBX{palegreen}{$\SB$} > 0 \ であるから\\
\\
& \colMM{red}{②テクニック使用を宣言！}\\
& \colFR{red}{相加平均と相乗平均の大小関係により}\\
\\
& \colMM{red}{③}\colMM{magenta}{たす }\colMM{red}{ \geqq 2\sqrt{\colMM{deepskyblue}{かける}}}\\
& \colBX{violet}{$\SA + \SB$} \geqq 2\sqrt{\colBX{lightcyan}{$\SA \times \SB$}} = 2\sqrt{\SAB} = \Kotae\\
\\
& よって\\
& \SA + \SB \geqq \Kotae\\
& {\footnotesize\bf【証明終り】}\\
\\
等号が & 成り立つのは，a>0\ かつ\ \colBX{bisque}{$\SA$} = \colBX{palegreen}{$\SB$}\\
\\
& \colMM{lightgray}{両辺 \times ab\ して\ 9a^2b^2=1\ ➡\ a^2b^2=\dfrac{1}{9}}\\
& \colMM{lightgray}{これを解いて\ ab=\pm\dfrac{1}{3} a>0\ であるから}\\
\\
& すなわち\ ab=\dfrac{1}{3}\ のときである。
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan↓この問題へのリンクはこちら（右クリックで保存）
\def\SA{a+b}
\def\SB{\dfrac{1}{a+b}}
\def\SAB{1}
\def\Kotae{2}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{red}{\fbox{Point!}} & \colMM{red}{式の一部をかけたら文字が消える}\\
& \colMM{red}{\colBX{bisque}{$\SA$} \times \colBX{palegreen}{$\SB$} = \SAB \cdots 文字が消えた！}\\
& \colNS{red}{➡ 相加・相乗平均の関係を利用！}\\
\\
{\footnotesize\bf 【証明】} & \colMM{red}{①かけたら文字が消えた２式が正であることを確認}\\
& \colBX{bisque}{$\SA$} > 0,\ \colBX{palegreen}{$\SB$} > 0 \ であるから\\
\\
& \colMM{red}{②テクニック使用を宣言！}\\
& \colFR{red}{相加平均と相乗平均の大小関係により}\\
\\
& \colMM{red}{③}\colMM{magenta}{たす }\colMM{red}{ \geqq 2\sqrt{\colMM{deepskyblue}{かける}}}\\
& \colBX{violet}{$\SA + \SB$} \geqq 2\sqrt{\colBX{lightcyan}{$(\SA) \times \SB$}} = 2\sqrt{\SAB} = \Kotae\\
\\
& よって\\
& \SA + \SB \geqq \Kotae\\
& {\footnotesize\bf【証明終り】}\\
\\
等号が & 成り立つのは，a>0,\ b>0\ かつ\ \colBX{bisque}{$\SA$} = \colBX{palegreen}{$\SB$}\\
\\
& \colMM{lightgray}{両辺 \times (a+b)\ して\ (a+b)^2=1}\\
& \colMM{lightgray}{これを解いて\ a+b=\pm1 a>0,\ b>0\ であるから}\\
\\
& すなわち\ a+b=1\ のときである。
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan