次の不等式を証明しよう。また,等号が成り立つときを調べよう。
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\def\SA{a} \def\SB{\dfrac{1}{a}} \def\SAB{1} \def\Kotae{2} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{red}{\fbox{Point!}} & \colMM{red}{式の一部をかけたら文字が消える}\\ & \colMM{red}{\colBX{bisque}{$\SA$} \times \colBX{palegreen}{$\SB$} = \SAB \cdots 文字が消えた!}\\ & \colNS{red}{➡ 相加・相乗平均の関係を利用!}\\ \\ {\footnotesize\bf 【証明】} & \colMM{red}{①かけたら文字が消えた2式が正であることを確認}\\ & \colBX{bisque}{$\SA$} > 0,\ \colBX{palegreen}{$\SB$} > 0 \ であるから\\ \\ & \colMM{red}{②テクニック使用を宣言!}\\ & \colFR{red}{相加平均と相乗平均の大小関係により}\\ \\ & \colMM{red}{③}\colMM{magenta}{たす }\colMM{red}{ \geqq 2\sqrt{\colMM{deepskyblue}{かける}}}\\ & \colBX{violet}{$\SA + \SB$} \geqq 2\sqrt{\colBX{lightcyan}{$\SA \times \SB$}} = 2\sqrt{\SAB} = \Kotae\\ \\ & よって\\ & \SA + \SB \geqq \Kotae\\ & {\footnotesize\bf【証明終り】}\\ \\ 等号が & 成り立つのは,a>0\ かつ\ \colBX{bisque}{$\SA$} = \colBX{palegreen}{$\SB$}\\ \\ & \colMM{lightgray}{両辺 \times a\ して\ a^2=1}\\ & \colMM{lightgray}{これを解いて\ a=\pm1 a>0\ であるから}\\ \\ & すなわち\ a=1\ のときである。 \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
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\def\SA{a} \def\SB{\dfrac{4}{a}} \def\SAB{4} \def\Kotae{4} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{red}{\fbox{Point!}} & \colMM{red}{式の一部をかけたら文字が消える}\\ & \colMM{red}{\colBX{bisque}{$\SA$} \times \colBX{palegreen}{$\SB$} = \SAB \cdots 文字が消えた!}\\ & \colNS{red}{➡ 相加・相乗平均の関係を利用!}\\ \\ {\footnotesize\bf 【証明】} & \colMM{red}{①かけたら文字が消えた2式が正であることを確認}\\ & \colBX{bisque}{$\SA$} > 0,\ \colBX{palegreen}{$\SB$} > 0 \ であるから\\ \\ & \colMM{red}{②テクニック使用を宣言!}\\ & \colFR{red}{相加平均と相乗平均の大小関係により}\\ \\ & \colMM{red}{③}\colMM{magenta}{たす }\colMM{red}{ \geqq 2\sqrt{\colMM{deepskyblue}{かける}}}\\ & \colBX{violet}{$\SA + \SB$} \geqq 2\sqrt{\colBX{lightcyan}{$\SA \times \SB$}} = 2\sqrt{\SAB} = \Kotae\\ \\ & よって\\ & \SA + \SB \geqq \Kotae\\ & {\footnotesize\bf【証明終り】}\\ \\ 等号が & 成り立つのは,a>0\ かつ\ \colBX{bisque}{$\SA$} = \colBX{palegreen}{$\SB$}\\ \\ & \colMM{lightgray}{両辺 \times a\ して\ a^2=4}\\ & \colMM{lightgray}{これを解いて\ a=\pm2 a>0\ であるから}\\ \\ & すなわち\ a=2\ のときである。 \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
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\def\SA{\dfrac{a}{b}} \def\SB{\dfrac{b}{a}} \def\SAB{1} \def\Kotae{2} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{red}{\fbox{Point!}} & \colMM{red}{式の一部をかけたら文字が消える}\\ & \colMM{red}{\colBX{bisque}{$\SA$} \times \colBX{palegreen}{$\SB$} = \SAB \cdots 文字が消えた!}\\ & \colNS{red}{➡ 相加・相乗平均の関係を利用!}\\ \\ {\footnotesize\bf 【証明】} & \colMM{red}{①かけたら文字が消えた2式が正であることを確認}\\ & \colBX{bisque}{$\SA$} > 0,\ \colBX{palegreen}{$\SB$} > 0 \ であるから\\ \\ & \colMM{red}{②テクニック使用を宣言!}\\ & \colFR{red}{相加平均と相乗平均の大小関係により}\\ \\ & \colMM{red}{③}\colMM{magenta}{たす }\colMM{red}{ \geqq 2\sqrt{\colMM{deepskyblue}{かける}}}\\ & \colBX{violet}{$\SA + \SB$} \geqq 2\sqrt{\colBX{lightcyan}{$\SA \times \SB$}} = 2\sqrt{\SAB} = \Kotae\\ \\ & よって\\ & \SA + \SB \geqq \Kotae\\ & {\footnotesize\bf【証明終り】}\\ \\ 等号が & 成り立つのは,a>0,\ b>0\ かつ\ \colBX{bisque}{$\SA$} = \colBX{palegreen}{$\SB$}\\ \\ & \colMM{lightgray}{両辺 \times ab\ して\ a^2=b^2}\\ & \colMM{lightgray}{a>0,\ b>0\ であるから2乗がとれて}\\ \\ & すなわち\ a=b\ のときである。 \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
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\def\SA{2a} \def\SB{\dfrac{3}{a}} \def\SAB{6} \def\Kotae{2\sqrt{6}} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{red}{\fbox{Point!}} & \colMM{red}{式の一部をかけたら文字が消える}\\ & \colMM{red}{\colBX{bisque}{$\SA$} \times \colBX{palegreen}{$\SB$} = \SAB \cdots 文字が消えた!}\\ & \colNS{red}{➡ 相加・相乗平均の関係を利用!}\\ \\ {\footnotesize\bf 【証明】} & \colMM{red}{①かけたら文字が消えた2式が正であることを確認}\\ & \colBX{bisque}{$\SA$} > 0,\ \colBX{palegreen}{$\SB$} > 0 \ であるから\\ \\ & \colMM{red}{②テクニック使用を宣言!}\\ & \colFR{red}{相加平均と相乗平均の大小関係により}\\ \\ & \colMM{red}{③}\colMM{magenta}{たす }\colMM{red}{ \geqq 2\sqrt{\colMM{deepskyblue}{かける}}}\\ & \colBX{violet}{$\SA + \SB$} \geqq 2\sqrt{\colBX{lightcyan}{$\SA \times \SB$}} = 2\sqrt{\SAB}\\ \\ & よって\\ & \SA + \SB \geqq \Kotae\\ & {\footnotesize\bf【証明終り】}\\ \\ 等号が & 成り立つのは,a>0\ かつ\ \colBX{bisque}{$\SA$} = \colBX{palegreen}{$\SB$}\\ \\ & \colMM{lightgray}{両辺 \times a\ して\ 2a^2=3\ ➡\ a^2=\frac{3}{2}}\\ & \colMM{lightgray}{これを解いて\ a=\pm\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\pm\frac{\sqrt{6}}{2} a>0\ であるから}\\ \\ & すなわち\ a=\frac{\sqrt{6}}{2}\ のときである。 \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
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\def\SA{9ab} \def\SB{\dfrac{1}{ab}} \def\SAB{9} \def\Kotae{6} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{red}{\fbox{Point!}} & \colMM{red}{式の一部をかけたら文字が消える}\\ & \colMM{red}{\colBX{bisque}{$\SA$} \times \colBX{palegreen}{$\SB$} = \SAB \cdots 文字が消えた!}\\ & \colNS{red}{➡ 相加・相乗平均の関係を利用!}\\ \\ {\footnotesize\bf 【証明】} & \colMM{red}{①かけたら文字が消えた2式が正であることを確認}\\ & \colBX{bisque}{$\SA$} > 0,\ \colBX{palegreen}{$\SB$} > 0 \ であるから\\ \\ & \colMM{red}{②テクニック使用を宣言!}\\ & \colFR{red}{相加平均と相乗平均の大小関係により}\\ \\ & \colMM{red}{③}\colMM{magenta}{たす }\colMM{red}{ \geqq 2\sqrt{\colMM{deepskyblue}{かける}}}\\ & \colBX{violet}{$\SA + \SB$} \geqq 2\sqrt{\colBX{lightcyan}{$\SA \times \SB$}} = 2\sqrt{\SAB} = \Kotae\\ \\ & よって\\ & \SA + \SB \geqq \Kotae\\ & {\footnotesize\bf【証明終り】}\\ \\ 等号が & 成り立つのは,a>0\ かつ\ \colBX{bisque}{$\SA$} = \colBX{palegreen}{$\SB$}\\ \\ & \colMM{lightgray}{両辺 \times ab\ して\ 9a^2b^2=1\ ➡\ a^2b^2=\dfrac{1}{9}}\\ & \colMM{lightgray}{これを解いて\ ab=\pm\dfrac{1}{3} a>0\ であるから}\\ \\ & すなわち\ ab=\dfrac{1}{3}\ のときである。 \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
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\def\SA{a+b} \def\SB{\dfrac{1}{a+b}} \def\SAB{1} \def\Kotae{2} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{red}{\fbox{Point!}} & \colMM{red}{式の一部をかけたら文字が消える}\\ & \colMM{red}{\colBX{bisque}{$\SA$} \times \colBX{palegreen}{$\SB$} = \SAB \cdots 文字が消えた!}\\ & \colNS{red}{➡ 相加・相乗平均の関係を利用!}\\ \\ {\footnotesize\bf 【証明】} & \colMM{red}{①かけたら文字が消えた2式が正であることを確認}\\ & \colBX{bisque}{$\SA$} > 0,\ \colBX{palegreen}{$\SB$} > 0 \ であるから\\ \\ & \colMM{red}{②テクニック使用を宣言!}\\ & \colFR{red}{相加平均と相乗平均の大小関係により}\\ \\ & \colMM{red}{③}\colMM{magenta}{たす }\colMM{red}{ \geqq 2\sqrt{\colMM{deepskyblue}{かける}}}\\ & \colBX{violet}{$\SA + \SB$} \geqq 2\sqrt{\colBX{lightcyan}{$(\SA) \times \SB$}} = 2\sqrt{\SAB} = \Kotae\\ \\ & よって\\ & \SA + \SB \geqq \Kotae\\ & {\footnotesize\bf【証明終り】}\\ \\ 等号が & 成り立つのは,a>0,\ b>0\ かつ\ \colBX{bisque}{$\SA$} = \colBX{palegreen}{$\SB$}\\ \\ & \colMM{lightgray}{両辺 \times (a+b)\ して\ (a+b)^2=1}\\ & \colMM{lightgray}{これを解いて\ a+b=\pm1 a>0,\ b>0\ であるから}\\ \\ & すなわち\ a+b=1\ のときである。 \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan