次の不等式を証明しよう。また,等号が成り立つときを調べよう。
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【証明】
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{red}{大きいのは左辺} & \colMM{red}{\ ➡\ 左辺-右辺}\\ 左辺-右辺 &= (a^2+5b^2)-4ab\\ & \colMM{red}{ \Darr aで整理}\colMM{orange}{ \swarrow ◆^2 ではない}\\ &= \colFR{orange}{$a^2-4ab$}+5b^2\\ & \colMM{orange}{ \Darr 平方完成!}\\ &= \colFR{orange}{$(a-2b)^2-4b^2$}+5b^2\\ \\ &= (a-2b)^2+b^2 \,\colFR{red}{$\geqq 0$}\\ & \colMM{red}{ 2乗+2乗\geqq 0}\\ よって & \colMM{red}{ 左辺が大きいから}\\ & a^2+5b^2 \geqq 4ab \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
【証明終り】
等号が成り立つのは,
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} (\colBX{bisque}{$a-2b$})^2+\colBX{palegreen}{$b$}^2 &= 0\ が成り立つときだから\\ \\ \colBX{bisque}{$a-2b$}=0 & \ かつ\ \colBX{palegreen}{$b$} =0\\ \\ すなわち \\ a=b=0 & \ のときである。 \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
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【証明】
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{red}{大きいのは左辺} & \colMM{red}{\ ➡\ 左辺-右辺}\\ 左辺-右辺 &= (a^2+2b^2)-2ab\\ & \colMM{red}{ \Darr aで整理}\colMM{orange}{ \swarrow ◆^2 ではない}\\ &= \colFR{orange}{$a^2-2ab$}+2b^2\\ & \colMM{orange}{ \Darr 平方完成!}\\ &= \colFR{orange}{$(a-b)^2-b^2$}+2b^2\\ \\ &= (a-b)^2+b^2 \,\colFR{red}{$\geqq 0$}\\ & \colMM{red}{ 2乗+2乗\geqq 0}\\ よって & \colMM{red}{ 左辺が大きいから}\\ & a^2+2b^2 \geqq 2ab \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
【証明終り】
等号が成り立つのは,
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} (\colBX{bisque}{$a-b$})^2+\colBX{palegreen}{$b$}^2 &= 0\ が成り立つときだから\\ \\ \colBX{bisque}{$a-b$}=0 & \ かつ\ \colBX{palegreen}{$b$} =0\\ \\ すなわち \\ a=b=0 & \ のときである。 \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
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【証明】
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{red}{大きいのは左辺} & \colMM{red}{\ ➡\ 左辺-右辺}\\ 左辺-右辺 &= (x^2+2xy)-(-2y^2)\\ & \colMM{red}{ \Darr x\ で整理}\colMM{orange}{ \swarrow ◆^2 ではない}\\ &= \colFR{orange}{$x^2+2xy$}+2y^2\\ & \colMM{orange}{ \Darr 平方完成!}\\ &= \colFR{orange}{$(x+y)^2-y^2$}+2y^2\\ \\ &= (x+y)^2+y^2 \,\colFR{red}{$\geqq 0$}\\ & \colMM{red}{ 2乗+2乗\geqq 0}\\ よって & \colMM{red}{ 左辺が大きいから}\\ & x^2+2xy \geqq -2y^2 \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
【証明終り】
等号が成り立つのは,
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} (\colBX{bisque}{$x+y$})^2+\colBX{palegreen}{$y$}^2 &= 0\ が成り立つときだから\\ \\ \colBX{bisque}{$x+y$}=0 & \ かつ\ \colBX{palegreen}{$y$} =0\\ \\ すなわち \\ x=y=0 & \ のときである。 \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan