展開すると３乗±３乗になる美しい公式

展開すると３乗±３乗公式

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展開すると３乗＋３乗になる公式

\large(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3

【証明】

\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
& (\colBX{mistyrose}{$a$}\,\colBX{palegreen}{$+b$})(a^2-ab+b^2)\\
& 　　\colMM{red}{\Darr 　　丁寧に展開　　\Darr}\\
&= \colBX{mistyrose}{$a$}(a^2-ab+b^2)\colBX{palegreen}{$+b$}(a^2-ab+b^2)\\
\\
&= a^3-a^2b+ab^2+a^2b-ab^2+b^3\\
& 　　\colMM{red}{\Darr同類項を整理}\\
&= a^3+b^3
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

したがって

(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3

Q.E.D

  1. \colorbox{mistyrose}{左}の２乗がある
  2. \colorbox{palegreen}{右}の２乗がある
  3. \colorbox{mistyrose}{左}\times\colorbox{palegreen}{右}の符号逆がある
\def\Left{左}
\def\Right{右}
\def\Kotae{左^3+右^3}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
& \colMM{red}{　　　　　　①左^2がある　　　　　　②右^2がある}\\
& (\colBX{mistyrose}{$\Left$}+\colBX{palegreen}{$\Right$})(\colBX{mistyrose}{$\Left$}^2 -\colBX{mistyrose}{$\Left$}\,\colBX{palegreen}{$\Right$}+ \colBX{palegreen}{$\Right$}^2)\\
& \colMM{red}{　　\searrow　\swarrow　　　　　　　\Uarr}\\
& \colMM{red}{③+左\times右　　　 \Rightarrow 　　符号が逆}\\
\\
&= \colBX{mistyrose}{$\Left$}^3+\colBX{palegreen}{$\Right$}^3\\
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

※説明のわかりやすさ優先で一部の（カッコ）を省略しています。

次の式を展開せよ。

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【解答】

\def\Mondai{(x+1)(x^2-x+1)}
\def\Left{x}
\def\Right{1}
\def\Kotae{x^3+1}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
& \Mondai\\
& \colMM{red}{　　　　　　①左^2がある　　　　②右^2がある}\\
&= (\colBX{mistyrose}{$\Left$}+\colBX{palegreen}{$\Right$})(\colBX{mistyrose}{$\Left$}^2 -\colBX{mistyrose}{$\Left$}\,\colBX{palegreen}{$\Right$}+ \colBX{palegreen}{$\Right$}^2)\\
& \colMM{red}{　\ \ ③\searrow +x \swarrow　\Rightarrow　\Uarr符号が逆}\\
&= \colBX{mistyrose}{$\Left$}^3+\colBX{palegreen}{$\Right$}^3\\
\\
&= \Kotae
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

※説明のわかりやすさ優先で一部の（カッコ）を省略しています。

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【解答】

\def\Mondai{(x+2y)(x^2-2xy+4y^2)}
\def\Left{x}
\def\Right{2y}
\def\LR{+2xy}
\def\Kotae{x^3+8y^3}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
& \Mondai\\
& \colMM{red}{　　　　　　　①左^2がある　　　　　②右^2がある}\\
&= (\colBX{mistyrose}{$\Left$}+\colBX{palegreen}{$\Right$})(\colBX{mistyrose}{$\Left$}^2 -\colBX{mistyrose}{$\Left$}\,\colBX{palegreen}{$\Right$}+ \colBX{palegreen}{$\Right$}^2)\\
& \colMM{red}{　\ ③\searrow \LR \swarrow　\Rightarrow　\Uarr符号が逆}\\
&= \colBX{mistyrose}{$\Left$}^3+\colBX{palegreen}{$\Right$}^3\\
\\
&= \Kotae
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

※説明のわかりやすさ優先で一部の（カッコ）を省略しています。

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【解答】

\def\Mondai{(x+2)(x^2-2x+4)}
\def\Left{x}
\def\Right{2}
\def\LR{+2x}
\def\Kotae{x^3+8}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
& \Mondai\\
& \colMM{red}{　　　　　　①左^2がある　　　　②右^2がある}\\
&= (\colBX{mistyrose}{$\Left$}+\colBX{palegreen}{$\Right$})(\colBX{mistyrose}{$\Left$}^2 -\colBX{mistyrose}{$\Left$}\,\colBX{palegreen}{$\Right$}+ \colBX{palegreen}{$\Right$}^2)\\
& \colMM{red}{　\ ③\searrow \LR \swarrow　\Rightarrow　\Uarr符号が逆}\\
&= \colBX{mistyrose}{$\Left$}^3+\colBX{palegreen}{$\Right$}^3\\
\\
&= \Kotae
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

※説明のわかりやすさ優先で一部の（カッコ）を省略しています。

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【解答】

\def\Mondai{(x+3)(x^2-3x+9)}
\def\Left{x}
\def\Right{3}
\def\LR{+3x}
\def\Kotae{x^3+27}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
& \Mondai\\
& \colMM{red}{　　　　　　①左^2がある　　　　②右^2がある}\\
&= (\colBX{mistyrose}{$\Left$}+\colBX{palegreen}{$\Right$})(\colBX{mistyrose}{$\Left$}^2 -\colBX{mistyrose}{$\Left$}\,\colBX{palegreen}{$\Right$}+ \colBX{palegreen}{$\Right$}^2)\\
& \colMM{red}{　\ ③\searrow \LR \swarrow　\Rightarrow　\Uarr符号が逆}\\
&= \colBX{mistyrose}{$\Left$}^3+\colBX{palegreen}{$\Right$}^3\\
\\
&= \Kotae
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

※説明のわかりやすさ優先で一部の（カッコ）を省略しています。

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【解答】

\def\Mondai{(x+3y)(x^2-3xy+9y^2)}
\def\Left{x}
\def\Right{3y}
\def\LR{+3xy}
\def\Kotae{x^3+27y^3}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
& \Mondai\\
& \colMM{red}{　　　　　　　①左^2がある　　　　　②右^2がある}\\
&= (\colBX{mistyrose}{$\Left$}+\colBX{palegreen}{$\Right$})(\colBX{mistyrose}{$\Left$}^2 -\colBX{mistyrose}{$\Left$}\,\colBX{palegreen}{$\Right$}+ \colBX{palegreen}{$\Right$}^2)\\
& \colMM{red}{　\ ③\searrow \LR \swarrow　\Rightarrow　\Uarr符号が逆}\\
&= \colBX{mistyrose}{$\Left$}^3+\colBX{palegreen}{$\Right$}^3\\
\\
&= \Kotae
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

※説明のわかりやすさ優先で一部の（カッコ）を省略しています。

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【解答】

\def\Mondai{(2x+a)(4x^2-2ax+a^2)}
\def\Left{2x}
\def\Right{a}
\def\LR{+2ax}
\def\Kotae{8x^3+a^3}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
& \Mondai\\
& \colMM{red}{　　　　　　　①左^2がある　　　　　②右^2がある}\\
&= (\colBX{mistyrose}{$\Left$}+\colBX{palegreen}{$\Right$})(\colBX{mistyrose}{$\Left$}^2 -\colBX{mistyrose}{$\Left$}\,\colBX{palegreen}{$\Right$}+ \colBX{palegreen}{$\Right$}^2)\\
& \colMM{red}{　\ ③\searrow \LR \swarrow　\Rightarrow　\Uarr符号が逆}\\
&= \colBX{mistyrose}{$\Left$}^3+\colBX{palegreen}{$\Right$}^3\\
\\
&= \Kotae
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

※説明のわかりやすさ優先で一部の（カッコ）を省略しています。

展開すると３乗−３乗になる公式

\large(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3

【証明】

\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
& (\colBX{mistyrose}{$a$}\,\colBX{palegreen}{$-b$})(a^2+ab+b^2)\\
& 　　\colMM{red}{\Darr 　　丁寧に展開　　\Darr}\\
&= \colBX{mistyrose}{$a$}(a^2+ab+b^2)\colBX{palegreen}{$-b$}(a^2+ab+b^2)\\
\\
&= a^3+a^2b+ab^2-a^2b-ab^2-b^3\\
& 　　\colMM{red}{\Darr同類項を整理}\\
&= a^3-b^3
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

したがって

(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3

Q.E.D

  1. \colorbox{mistyrose}{左}の２乗がある
  2. \colorbox{palegreen}{右}の２乗がある
  3. \colorbox{mistyrose}{左}\times\colorbox{palegreen}{右}の符号逆がある
\def\Left{左}
\def\Right{右}
\def\Kotae{左^3-右^3}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
& \colMM{red}{　　　　　　①左^2がある　　　　　　②右^2がある}\\
& (\colBX{mistyrose}{$\Left$}-\colBX{palegreen}{$\Right$})(\colBX{mistyrose}{$\Left$}^2 +\colBX{mistyrose}{$\Left$}\,\colBX{palegreen}{$\Right$}+ \colBX{palegreen}{$\Right$}^2)\\
& \colMM{red}{　　\searrow　\swarrow　　　　　　　\Uarr}\\
& \colMM{red}{③-左\times右　　　 \Rightarrow 　　符号が逆}\\
\\
&= \colBX{mistyrose}{$\Left$}^3-\colBX{palegreen}{$\Right$}^3\\
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

※説明のわかりやすさ優先で一部の（カッコ）を省略しています。

次の式を展開せよ。

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【解答】

\def\Mondai{(x-1)(x^2+x+1)}
\def\Left{x}
\def\Right{1}
\def\LR{-x}
\def\Kotae{x^3-1}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
& \Mondai\\
& \colMM{red}{　　　　　　　①左^2がある　　　　　②右^2がある}\\
&= (\colBX{mistyrose}{$\Left$}-\colBX{palegreen}{$\Right$})(\colBX{mistyrose}{$\Left$}^2 +\colBX{mistyrose}{$\Left$}\,\colBX{palegreen}{$\Right$}+ \colBX{palegreen}{$\Right$}^2)\\
& \colMM{red}{　\ ③\searrow \LR \swarrow　\Rightarrow　\Uarr符号が逆}\\
&= \colBX{mistyrose}{$\Left$}^3-\colBX{palegreen}{$\Right$}^3\\
\\
&= \Kotae
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

※説明のわかりやすさ優先で一部の（カッコ）を省略しています。

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【解答】

\def\Mondai{(x-2y)(x^2+2xy+4y^2)}
\def\Left{x}
\def\Right{2y}
\def\LR{-2xy}
\def\Kotae{x^3-8y^3}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
& \Mondai\\
& \colMM{red}{　　　　　　　①左^2がある　　　　　②右^2がある}\\
&= (\colBX{mistyrose}{$\Left$}-\colBX{palegreen}{$\Right$})(\colBX{mistyrose}{$\Left$}^2 +\colBX{mistyrose}{$\Left$}\,\colBX{palegreen}{$\Right$}+ \colBX{palegreen}{$\Right$}^2)\\
& \colMM{red}{　\ ③\searrow \LR \swarrow　\Rightarrow　\Uarr符号が逆}\\
&= \colBX{mistyrose}{$\Left$}^3-\colBX{palegreen}{$\Right$}^3\\
\\
&= \Kotae
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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【解答】

\def\Mondai{(x-2)(x^2+2x+4)}
\def\Left{x}
\def\Right{2}
\def\LR{-2xy}
\def\Kotae{x^3-8}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
& \Mondai\\
& \colMM{red}{　　　　　　　①左^2がある　　　　　②右^2がある}\\
&= (\colBX{mistyrose}{$\Left$}-\colBX{palegreen}{$\Right$})(\colBX{mistyrose}{$\Left$}^2 +\colBX{mistyrose}{$\Left$}\,\colBX{palegreen}{$\Right$}+ \colBX{palegreen}{$\Right$}^2)\\
& \colMM{red}{　\ ③\searrow \LR \swarrow　\Rightarrow　\Uarr符号が逆}\\
&= \colBX{mistyrose}{$\Left$}^3-\colBX{palegreen}{$\Right$}^3\\
\\
&= \Kotae
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

※説明のわかりやすさ優先で一部の（カッコ）を省略しています。

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【解答】

\def\Mondai{(x-3)(x^2+3x+9)}
\def\Left{x}
\def\Right{3}
\def\LR{-3x}
\def\Kotae{x^3-27}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
& \Mondai\\
& \colMM{red}{　　　　　　　①左^2がある　　　　　②右^2がある}\\
&= (\colBX{mistyrose}{$\Left$}-\colBX{palegreen}{$\Right$})(\colBX{mistyrose}{$\Left$}^2 +\colBX{mistyrose}{$\Left$}\,\colBX{palegreen}{$\Right$}+ \colBX{palegreen}{$\Right$}^2)\\
& \colMM{red}{　\ ③\searrow \LR \swarrow　\Rightarrow　\Uarr符号が逆}\\
&= \colBX{mistyrose}{$\Left$}^3-\colBX{palegreen}{$\Right$}^3\\
\\
&= \Kotae
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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【解答】

\def\Mondai{(x-3y)(x^2+3xy+9y^2)}
\def\Left{x}
\def\Right{3y}
\def\LR{-3xy}
\def\Kotae{x^3-27y^3}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
& \Mondai\\
& \colMM{red}{　　　　　　　①左^2がある　　　　　②右^2がある}\\
&= (\colBX{mistyrose}{$\Left$}-\colBX{palegreen}{$\Right$})(\colBX{mistyrose}{$\Left$}^2 +\colBX{mistyrose}{$\Left$}\,\colBX{palegreen}{$\Right$}+ \colBX{palegreen}{$\Right$}^2)\\
& \colMM{red}{　\ ③\searrow \LR \swarrow　\Rightarrow　\Uarr符号が逆}\\
&= \colBX{mistyrose}{$\Left$}^3-\colBX{palegreen}{$\Right$}^3\\
\\
&= \Kotae
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

※説明のわかりやすさ優先で一部の（カッコ）を省略しています。

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【解答】

\def\Mondai{(2x-a)(4x^2+2ax+a^2)}
\def\Left{2x}
\def\Right{a}
\def\LR{-2ax}
\def\Kotae{8x^3-a^3}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
& \Mondai\\
& \colMM{red}{　　　　　　　①左^2がある　　　　　②右^2がある}\\
&= (\colBX{mistyrose}{$\Left$}-\colBX{palegreen}{$\Right$})(\colBX{mistyrose}{$\Left$}^2 +\colBX{mistyrose}{$\Left$}\,\colBX{palegreen}{$\Right$}+ \colBX{palegreen}{$\Right$}^2)\\
& \colMM{red}{　\ ③\searrow \LR \swarrow　\Rightarrow　\Uarr符号が逆}\\
&= \colBX{mistyrose}{$\Left$}^3-\colBX{palegreen}{$\Right$}^3\\
\\
&= \Kotae
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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