四分位数

練習問題にチャレンジ!

何度も解いて体で覚えましょう!

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次のデータは,10 人の生徒に 100 点満点のテストを行った結果を,値の大きさの順に並べたものである。

\begin{array}{c}
21, & 30, & 36, & 38, & 41, & 45, & 52, & 58, & 60, & 72 & \scriptsize(点)
\end{array}

第2四分位数 Q_{2} = 中央値

【解答】

このデータを小さい順に並べると

\begin{align*}
\color{blue}\scriptsize\Rightarrow 小さい方から5つ        &\\
\colorbox{lightcyan}{21}, \ \colorbox{lightcyan}{30}, \ \colorbox{lightcyan}{36}, \ \colorbox{lightcyan}{38}, \ \colorbox{lightcyan}{41},\ & \color{black}\colorbox{mistyrose}{45}, \ \colorbox{mistyrose}{52}, \ \colorbox{mistyrose}{58}, \ \colorbox{mistyrose}{60}, \ \colorbox{mistyrose}{72}\\
& \color{red}\scriptsize       大きい方から5つ\Leftarrow\\
\end{align*}

よって,このデータの中央値は

\dfrac{\colorbox{lightcyan}{41} + \colorbox{mistyrose}{45}}{2} = 43(点)

データの大きさが偶数のとき,平均!

第1四分位数 [katex]Q_{1}[/katex] = 「中央値より小さいデータ」の中央値

【解答】

「中央値より小さいデータ」を小さい順に並べると

\begin{align*}
\color{blue}\scriptsize\Rightarrow 小さい方から2つ &\\
\colorbox{lightcyan}{21}, \ \colorbox{lightcyan}{30},\ & \color{red}\fbox{\color{black}36},\ \color{black}\colorbox{mistyrose}{38}, \ \colorbox{mistyrose}{41}\\
& \color{red}\scriptsize   大きい方から2つ\Leftarrow\\
\end{align*}

よって,このデータの第1四分位数 Q_{1}

36(点)

データの大きさが奇数のとき,真ん中!

第3四分位数 Q_{3} = 「中央値より大きいデータ」の中央値

【解答】

「中央値より大きいデータ」を小さい順に並べると

\begin{align*}
\color{blue}\scriptsize\Rightarrow 小さい方から2つ &\\
\colorbox{lightcyan}{45}, \ \colorbox{lightcyan}{52},\ & \color{red}\fbox{\color{black}58},\ \color{black}\colorbox{mistyrose}{60}, \ \colorbox{mistyrose}{72}\\
& \color{red}\scriptsize   大きい方から2つ\Leftarrow\\
\end{align*}

よって,このデータの第3四分位数 Q_{3}

58(点)

データの大きさが奇数のとき,真ん中!

四分位範囲Q_{3}-Q_{1} = 四分位数の最大値ー最小値

【解答】

このデータの四分位範囲 は

Q_3 - Q_1 = 58-36 = 22(点)

四分位偏差 = 四分位範囲 \times \dfrac{1}{2}

【解答】

このデータの四分位偏差 は

\dfrac{Q_3-Q_1}{2} = \dfrac{58-36}{2} = \dfrac{22}{2} = 11(点)

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次のデータA,Bのそれぞれについて,以下の問いに答えよ。

\def\arraystretch{1.5}
\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
A & 21 & 29 & 32 & 36 & 38 & 40 & 49 & 53 & 55 & 68 & 80 \\\hline
B & 25 & 31 & 39 & 42 & 45 & 46 & 50 & 53 & 54 & 65 & 80 \\\hline
\end{array}
  • 四分位範囲 = Q_3 - Q_1
  • 四分位偏差 = 四分位範囲 \div 2
      \Longrightarrow 四分位数が必要!

【解答】

Q_2(中央値)データAを小さい順に並べると

\begin{align*}
\colorbox{lightcyan}{21},\ \colorbox{lightcyan}{29},\ \colorbox{lightcyan}{32},\ \colorbox{lightcyan}{36},\ \colorbox{lightcyan}{38},\ & \color{red}\fbox{\color{black}40}\color{black},\ \colorbox{mistyrose}{49},\ \colorbox{mistyrose}{53},\ \colorbox{mistyrose}{55},\ \colorbox{mistyrose}{68},\ \colorbox{mistyrose}{80}
\end{align*}

よって,このデータの第2四分位数 Q_{2}

40

データの大きさが奇数のとき,真ん中!

 

Q_1『中央値より小さいデータ」を小さい順に並べると

\begin{align*}
\color{blue}\scriptsize\Rightarrow 小さい方から2つ &\\
\colorbox{lightcyan}{21}, \ \colorbox{lightcyan}{29},\ & \color{red}\fbox{\color{black}32},\ \color{black}\colorbox{mistyrose}{36}, \ \colorbox{mistyrose}{38}\\
& \color{red}\scriptsize   大きい方から2つ\Leftarrow\\
\end{align*}

よって,データAの第1四分位数 Q_{1}

32

データの大きさが奇数のとき,真ん中!

 

Q_3「中央値より大きいデータ」を小さい順に並べると

\begin{align*}
\color{blue}\scriptsize\Rightarrow 小さい方から2つ &\\
\colorbox{lightcyan}{49}, \ \colorbox{lightcyan}{53},\ & \color{red}\fbox{\color{black}55},\ \color{black}\colorbox{mistyrose}{68}, \ \colorbox{mistyrose}{80}\\
& \color{red}\scriptsize   大きい方から2つ\Leftarrow\\
\end{align*}

よって,データAの第3四分位数 Q_{3}

55

データの大きさが奇数のとき,真ん中!

 

四分位範囲データAの四分位範囲 は

Q_3 - Q_1 = 55-32 = 23

 

四分位偏差データAの四分位偏差 は

\dfrac{Q_3-Q_1}{2} = \dfrac{55-32}{2} = \dfrac{23}{2} = 11.5
  • 四分位範囲 = Q_3 - Q_1
  • 四分位偏差 = 四分位範囲 \div 2
      \Longrightarrow 四分位数が必要!

【解答】

Q_2(中央値)データBを小さい順に並べると

\begin{align*}
\colorbox{lightcyan}{25},\ \colorbox{lightcyan}{31},\ \colorbox{lightcyan}{39},\ \colorbox{lightcyan}{42},\ \colorbox{lightcyan}{45},\ & \color{red}\fbox{\color{black}46}\color{black},\ \colorbox{mistyrose}{50},\ \colorbox{mistyrose}{53},\ \colorbox{mistyrose}{54},\ \colorbox{mistyrose}{65},\ \colorbox{mistyrose}{80}
\end{align*}

よって,データBの第2四分位数 Q_{2}

46

データの大きさが奇数のとき,真ん中!

 

Q_1『中央値より小さいデータ」を小さい順に並べると

\begin{align*}
\color{blue}\scriptsize\Rightarrow 小さい方から2つ &\\
\colorbox{lightcyan}{25}, \ \colorbox{lightcyan}{31},\ & \color{red}\fbox{\color{black}39},\ \color{black}\colorbox{mistyrose}{42}, \ \colorbox{mistyrose}{45}\\
& \color{red}\scriptsize   大きい方から2つ\Leftarrow\\
\end{align*}

よって,データBの第1四分位数 Q_{1}

39

データの大きさが奇数のとき,真ん中!

 

Q_3「中央値より大きいデータ」を小さい順に並べると

\begin{align*}
\color{blue}\scriptsize\Rightarrow 小さい方から2つ &\\
\colorbox{lightcyan}{50}, \ \colorbox{lightcyan}{53},\ & \color{red}\fbox{\color{black}54},\ \color{black}\colorbox{mistyrose}{65}, \ \colorbox{mistyrose}{80}\\
& \color{red}\scriptsize   大きい方から2つ\Leftarrow\\
\end{align*}

よって,データBの第3四分位数 Q_{3}

54

データの大きさが奇数のとき,真ん中!

 

四分位範囲データBの四分位範囲 は

Q_3 - Q_1 = 54-39 = 15

 

四分位偏差データBの四分位偏差 は

\dfrac{Q_3-Q_1}{2} = \dfrac{54-39}{2} = \dfrac{15}{2} = 7.5

【解答】

データAの四分位範囲は 23

データBの四分位範囲は 15

よって,

散らばりの度合いが大きいのは

  四分位範囲が大きい方だから

データA

次のデータについて,以下の各問いに答えよ。

\begin{array}{c}
9, & 10, & 20, & 25, & 28, & 31, & 34, & 42, & 43, & 63 & \scriptsize(点)
\end{array}

第2四分位数 Q_{2} = 中央値

【解答】

このデータを小さい順に並べると

\begin{align*}
\color{blue}\scriptsize\Rightarrow 小さい方から5つ        &\\
\colorbox{lightcyan}{9}, \ \colorbox{lightcyan}{10}, \ \colorbox{lightcyan}{20}, \ \colorbox{lightcyan}{25}, \ \colorbox{lightcyan}{28},\ & \color{black}\colorbox{mistyrose}{31}, \ \colorbox{mistyrose}{34}, \ \colorbox{mistyrose}{42}, \ \colorbox{mistyrose}{43}, \ \colorbox{mistyrose}{63}\\
& \color{red}\scriptsize       大きい方から5つ\Leftarrow\\
\end{align*}

よって,このデータの中央値は

\dfrac{\colorbox{lightcyan}{28} + \colorbox{mistyrose}{31}}{2} = 29.5

データの大きさが偶数のとき,平均!

第1四分位数 [katex]Q_{1}[/katex] = 「中央値より小さいデータ」の中央値

【解答】

「中央値より小さいデータ」を小さい順に並べると

\begin{align*}
\color{blue}\scriptsize\Rightarrow 小さい方から2つ &\\
\colorbox{lightcyan}{9}, \ \colorbox{lightcyan}{10},\ & \color{red}\fbox{\color{black}20},\ \color{black}\colorbox{mistyrose}{25}, \ \colorbox{mistyrose}{28}\\
& \color{red}\scriptsize   大きい方から2つ\Leftarrow\\
\end{align*}

よって,このデータの第1四分位数 Q_{1}

20

データの大きさが奇数のとき,真ん中!

第3四分位数 Q_{3} = 「中央値より大きいデータ」の中央値

【解答】

「中央値より大きいデータ」を小さい順に並べると

\begin{align*}
\color{blue}\scriptsize\Rightarrow 小さい方から2つ &\\
\colorbox{lightcyan}{31}, \ \colorbox{lightcyan}{34},\ & \color{red}\fbox{\color{black}42},\ \color{black}\colorbox{mistyrose}{43}, \ \colorbox{mistyrose}{63}\\
& \color{red}\scriptsize   大きい方から2つ\Leftarrow\\
\end{align*}

よって,このデータの第3四分位数 Q_{3}

42

データの大きさが奇数のとき,真ん中!

四分位範囲Q_{3}-Q_{1} = 四分位数の最大値ー最小値

【解答】

このデータの四分位範囲 は

Q_3 - Q_1 = 42-20 = 22(点)

四分位偏差 = 四分位範囲 \times \dfrac{1}{2}

【解答】

このデータの四分位偏差 は

\dfrac{Q_3-Q_1}{2} = \dfrac{42-20}{2} = \dfrac{22}{2} = 11(点)

次のデータについて,以下の各問いに答えよ。

\begin{array}{c}
13 & 17 & 20 & 22 & 24 & 37 & 38 & 39 & 40 & 58 & 70 & 80 & 92
\end{array}

第2四分位数 Q_{2} = 中央値

【解答】

このデータを小さい順に並べると

\begin{align*}
\color{blue}\scriptsize\Rightarrow 小さい方から6つ           &\\
\colorbox{lightcyan}{13}, \ \colorbox{lightcyan}{17}, \ \colorbox{lightcyan}{20}, \ \colorbox{lightcyan}{22}, \ \colorbox{lightcyan}{24}, \ \colorbox{lightcyan}{37},\ & \color{red}\fbox{\color{black}38},\ \color{black}\colorbox{mistyrose}{39}, \ \colorbox{mistyrose}{40}, \ \colorbox{mistyrose}{58}, \ \colorbox{mistyrose}{70}, \ \colorbox{mistyrose}{80}, \ \colorbox{mistyrose}{92}\\
& \color{red}\scriptsize              大きい方から6つ\Leftarrow\\
\end{align*}

よって,このデータの第2四分位数(中央値)は

38

データの大きさが奇数のとき,真ん中!

第1四分位数 [katex]Q_{1}[/katex] = 「中央値より小さいデータ」の中央値

【解答】

「中央値より小さいデータ」を小さい順に並べると

\begin{align*}
\color{blue}\scriptsize\Rightarrow 小さい方から3つ  &\\
\colorbox{lightcyan}{13}, \ \colorbox{lightcyan}{17}, \ \colorbox{lightcyan}{20},\ & \color{black}\colorbox{mistyrose}{22}, \ \colorbox{mistyrose}{24}, \ \colorbox{mistyrose}{37}\\
& \color{red}\scriptsize 大きい方から3つ\Leftarrow\\
\end{align*}

よって,このデータの第1四分位数 Q_{1}

\dfrac{\colorbox{lightcyan}{20} + \colorbox{mistyrose}{22}}{2} = 21

データの大きさが偶数のとき,平均!

第3四分位数 [katex]Q_{3}[/katex] = 「中央値より大きいデータ」の中央値

【解答】

「中央値より大きいデータ」を小さい順に並べると

\begin{align*}
\color{blue}\scriptsize\Rightarrow 小さい方から3つ  &\\
\colorbox{lightcyan}{39}, \ \colorbox{lightcyan}{40}, \ \colorbox{lightcyan}{58},\ & \color{black}\colorbox{mistyrose}{70}, \ \colorbox{mistyrose}{80}, \ \colorbox{mistyrose}{92}\\
& \color{red}\scriptsize 大きい方から3つ\Leftarrow\\
\end{align*}

よって,このデータの第2四分位数 Q_{2}

\dfrac{\colorbox{lightcyan}{58} + \colorbox{mistyrose}{70}}{2} = 64

データの大きさが偶数のとき,平均!

四分位範囲Q_{3}-Q_{1} = 四分位数の最大値ー最小値

【解答】

このデータの四分位範囲 は

Q_3 - Q_1 = 64-21 = 43

四分位偏差 = 四分位範囲 \times \dfrac{1}{2}

【解答】

このデータの四分位偏差 は

\dfrac{Q_3-Q_1}{2} = \dfrac{64-21}{2} = \dfrac{43}{2} = 21.5

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  • 20211201…初版公開。大問4。小問18。

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