３辺の長さから三角形の面積を求める

練習問題にチャレンジ！

何度も解いて体で覚えましょう！

次のような $\triangle$ ABC の面積 $S$ を求めよ。

$a=7$ ， $b=8$ ， $c=9$

【解答】

$\cos{A}$ を求める！

余弦定理により

\def\kakuA{A} \def\henA{7}\def\henAZ{49} \def\henB{8}\def\henBZ{64} \def\henC{9}\def\henCZ{81} \def\BZpCZ{145} \def\BZpCZmAZ{96} \begin{align*} \color{red}\scriptsize Aを求めたいから\ a^2\Darr\\ \henA^2 &= \henB^2 + \henC^2 -2 \cdot \henB \cdot \henC \cos\kakuA\\ \henAZ &= \henBZ+\henCZ-2 \cdot \henB \cdot \henC \cos\kakuA\\ 2 \cdot \henB \cdot \henC \cos\kakuA &= \henBZ+\henCZ-\henAZ\\ 2 \cdot \henB \cdot \henC \cos\kakuA &= \BZpCZ-\henAZ\\ 2 \cdot \henB \cdot \henC \cos\kakuA &= \BZpCZmAZ\\ \cos{A} &= \dfrac{\BZpCZmAZ}{2 \cdot \henB \cdot \henC} = \dfrac{2}{3} \end{align*}

$\cos{A} \Rightarrow \sin{A}$ に変換！

\sin^2{A}+\cos^2{A}=1

より

\def\kakuA{A} \def\cosA{\dfrac{2}{3}} \def\cosAZ{\dfrac{4}{9}} \def\ImcosAZ{\dfrac{9}{9}-\dfrac{4}{9}} \def\sinAZ{\dfrac{5}{9}} \def\sqrtsinAZ{\dfrac{5}{3^2}} \def\sinA{\dfrac{\sqrt{5}}{3}} \begin{align*} \sin^2\kakuA &= 1-\cos^2\kakuA\\ &= 1- \left(\cosA\right)^2\\ \\ &= 1-\cosAZ\\ \\ &= \ImcosAZ\\ \\ &= \sinAZ\\ \sin{A}>0 より\\ \sin{A} &= \sqrt{\sinAZ}\\ \\ &= \sqrt{\sqrtsinAZ}\\ \\ &= \sinA \end{align*}

よって $\triangle$ ABC の面積 $S$ は

\def\sinA{\dfrac{\sqrt{5}}{3}} \def\henB{8} \def\henC{9} \def\BCwZ{36} \begin{align*} & \color{red}\scriptsize 　　 \frac12 \times 2辺 \times \sin(間の角)\\ S &= \dfrac12 \cdot \henB \cdot \henC \cdot \sinA\\ \\ &= \BCwZ \cdot \sinA\\ \\ &= 12\sqrt{5} \end{align*}

【別解】ヘロンの公式

2s = 7+8+9 = 24

より

s=\colorbox{mistyrose}{$12$}

\def\smallS{12} \def\henA{7}\def\SmA{5} \def\henB{8}\def\SmB{4} \def\henC{9}\def\SmC{3} \begin{align*} S &= \sqrt{\colorbox{mistyrose}{$\smallS$} (\colorbox{mistyrose}{$\smallS$}-\henA) (\colorbox{mistyrose}{$\smallS$}-\henB) (\colorbox{mistyrose}{$\smallS$}-\henC)}\\ &= \sqrt{\smallS \cdot \SmA \cdot \SmB \cdot \SmC}\\ &= 12\sqrt{5} \end{align*}

$a=7$ ， $b=4$ ， $c=5$

【解答】

$\cos{A}$ を求める！

余弦定理により

\def\kakuA{A} \def\henA{7}\def\henAZ{49} \def\henB{4}\def\henBZ{16} \def\henC{5}\def\henCZ{25} \def\BZpCZ{41} \def\BZpCZmAZ{-8} \begin{align*} \color{red}\scriptsize Aを求めたいから\ a^2\Darr\\ \henA^2 &= \henB^2 + \henC^2 -2 \cdot \henB \cdot \henC \cos\kakuA\\ \henAZ &= \henBZ+\henCZ-2 \cdot \henB \cdot \henC \cos\kakuA\\ 2 \cdot \henB \cdot \henC \cos\kakuA &= \henBZ+\henCZ-\henAZ\\ 2 \cdot \henB \cdot \henC \cos\kakuA &= \BZpCZ-\henAZ\\ 2 \cdot \henB \cdot \henC \cos\kakuA &= \BZpCZmAZ\\ \cos{A} &= \dfrac{\BZpCZmAZ}{2 \cdot \henB \cdot \henC} = -\dfrac{1}{5} \end{align*}

$\cos{A} \Rightarrow \sin{A}$ に変換！

\sin^2{A}+\cos^2{A}=1

より

\def\kakuA{A} \def\cosA{-\dfrac{1}{5}} \def\cosAZ{\dfrac{1}{25}} \def\ImcosAZ{\dfrac{25}{25}-\dfrac{1}{25}} \def\sinAZ{\dfrac{24}{25}} \def\sqrtsinAZ{\dfrac{2^2 \cdot 6}{5^2}} \def\sinA{\dfrac{2\sqrt{6}}{5}} \begin{align*} \sin^2\kakuA &= 1-\cos^2\kakuA\\ &= 1- \left(\cosA\right)^2\\ \\ &= 1-\cosAZ\\ \\ &= \ImcosAZ\\ \\ &= \sinAZ\\ \sin{A}>0 より\\ \sin{A} &= \sqrt{\sinAZ}\\ \\ &= \sqrt{\sqrtsinAZ}\\ \\ &= \sinA \end{align*}

よって $\triangle$ ABC の面積 $S$ は

\def\sinA{\dfrac{2\sqrt{6}}{5}} \def\henB{4} \def\henC{5} \def\BCwZ{10} \begin{align*} & \color{red}\scriptsize 　　 \frac12 \times 2辺 \times \sin(間の角)\\ S &= \dfrac12 \cdot \henB \cdot \henC \cdot \sinA\\ \\ &= \BCwZ \cdot \sinA\\ \\ &= 4\sqrt{6} \end{align*}

【別解】ヘロンの公式

2s = 7+4+5 = 16

より

s=\colorbox{mistyrose}{$8$}

\def\smallS{8} \def\henA{7}\def\SmA{1} \def\henB{4}\def\SmB{4} \def\henC{5}\def\SmC{3} \begin{align*} S &= \sqrt{\colorbox{mistyrose}{$\smallS$} (\colorbox{mistyrose}{$\smallS$}-\henA) (\colorbox{mistyrose}{$\smallS$}-\henB) (\colorbox{mistyrose}{$\smallS$}-\henC)}\\ &= \sqrt{\smallS \cdot \SmA \cdot \SmB \cdot \SmC}\\ &= 4\sqrt{6} \end{align*}

$a=13$ ， $b=14$ ， $c=15$

【解答】

$\cos{A}$ を求める！

余弦定理により

\def\kakuA{A} \def\henA{13}\def\henAZ{169} \def\henB{14}\def\henBZ{196} \def\henC{15}\def\henCZ{225} \def\BZpCZ{421} \def\BZpCZmAZ{252} \begin{align*} \color{red}\scriptsize Aを求めたいから\ a^2\Darr\\ \henA^2 &= \henB^2 + \henC^2 -2 \cdot \henB \cdot \henC \cos\kakuA\\ \henAZ &= \henBZ+\henCZ-2 \cdot \henB \cdot \henC \cos\kakuA\\ 2 \cdot \henB \cdot \henC \cos\kakuA &= \henBZ+\henCZ-\henAZ\\ 2 \cdot \henB \cdot \henC \cos\kakuA &= \BZpCZ-\henAZ\\ 2 \cdot \henB \cdot \henC \cos\kakuA &= \BZpCZmAZ\\ \cos{A} &= \dfrac{\BZpCZmAZ}{2 \cdot \henB \cdot \henC} = \dfrac{3}{5} \end{align*}

$\cos{A} \Rightarrow \sin{A}$ に変換！

\sin^2{A}+\cos^2{A}=1

より

\def\kakuA{A} \def\cosA{\dfrac{3}{5}} \def\cosAZ{\dfrac{9}{25}} \def\ImcosAZ{\dfrac{25}{25}-\dfrac{9}{25}} \def\sinAZ{\dfrac{16}{25}} \def\sqrtsinAZ{\dfrac{4^2}{5^2}} \def\sinA{\dfrac{4}{5}} \begin{align*} \sin^2\kakuA &= 1-\cos^2\kakuA\\ &= 1- \left(\cosA\right)^2\\ \\ &= 1-\cosAZ\\ \\ &= \ImcosAZ\\ \\ &= \sinAZ\\ \sin{A}>0 より\\ \sin{A} &= \sqrt{\sinAZ}\\ \\ &= \sqrt{\sqrtsinAZ}\\ \\ &= \sinA \end{align*}

よって $\triangle$ ABC の面積 $S$ は

\def\sinA{\dfrac{4}{5}} \def\henB{14} \def\henC{15} \def\BCwZ{105} \begin{align*} & \color{red}\scriptsize 　　 \frac12 \times 2辺 \times \sin(間の角)\\ S &= \dfrac12 \cdot \henB \cdot \henC \cdot \sinA\\ \\ &= \BCwZ \cdot \sinA\\ \\ &= 21 \cdot 4 = 84 \end{align*}

【別解】ヘロンの公式

2s = 13+14+15 = 42

より

s=\colorbox{mistyrose}{$21$}

\def\smallS{21} \def\henA{13}\def\SmA{8} \def\henB{14}\def\SmB{7} \def\henC{15}\def\SmC{6} \begin{align*} S &= \sqrt{\colorbox{mistyrose}{$\smallS$} (\colorbox{mistyrose}{$\smallS$}-\henA) (\colorbox{mistyrose}{$\smallS$}-\henB) (\colorbox{mistyrose}{$\smallS$}-\henC)}\\ &= \sqrt{\smallS \cdot \SmA \cdot \SmB \cdot \SmC}\\ &= \sqrt{21^2 \cdot 4^2}\\ &= 21 \cdot 4\\ &= 84 \end{align*}

編集ログ