余弦定理で２辺１角から残りの辺を求める

2021年11月23日

練習問題にチャレンジ！

何度も解いて体で覚えましょう！

次のような $\triangle{\rm ABC}$ において，指定されたものを求めよ。

$b=4$ ， $c=5$ ， $A=60^{\circ}$ のとき $a$

【解答】

余弦定理により

\def\henA{a} \def\kakuA{60^{\circ}} \def\cosA{\dfrac12} \def\henB{4}\def\henBZ{16} \def\henC{5}\def\henCZ{25} \def\BZpCZ{41} \def\ZBC{40} \def\ZBCcosA{20} \def\henAZ{21} \begin{align*} \color{red}\scriptsize a^2 \Darr & \color{red}\scriptsize\ Aが分かっているから\ \\ \henA^2 &= \henB^2 + \henC^2 -2 \cdot \henB \cdot \henC \cdot \cos\kakuA\\ &= \henBZ + \henCZ -2 \cdot \henB \cdot \henC \cdot \cos\kakuA\\ &= \BZpCZ -\ZBC \cdot \cosA\\ &= \BZpCZ -\ZBCcosA = \henAZ\\ a>0 & より\\ a &= \sqrt{\henAZ} \end{align*}

$b=3$ ， $c=2\sqrt{2}$ ， $A=45^{\circ}$ のとき $a$

【解答】

余弦定理により

\def\henA{a} \def\kakuA{45^{\circ}} \def\cosA{\dfrac{1}{\sqrt{2}}} \def\henB{3}\def\henBZ{9} \def\henC{(2\sqrt{2})}\def\henCZ{8} \def\BZpCZ{17} \def\ZBC{12\sqrt{2}} \def\ZBCcosA{12} \def\henAZ{5} \begin{align*} \color{red}\scriptsize a^2 \Darr & \color{red}\scriptsize\ Aが分かっているから\ \\ \henA^2 &= \henB^2 + \henC^2 -2 \cdot \henB \cdot \henC \cdot \cos\kakuA\\ &= \henBZ + \henCZ -2 \cdot \henB \cdot \henC \cdot \cos\kakuA\\ &= \BZpCZ -\ZBC \cdot \cosA\\ &= \BZpCZ -\ZBCcosA = \henAZ\\ a>0 & より\\ a &= \sqrt{\henAZ} \end{align*}

$a=3$ ， $c=5$ ， $B=120^{\circ}$ のとき $b$

【解答】

余弦定理により

\def\henA{b} \def\kakuA{120^{\circ}} \def\cosA{\left(-\dfrac{1}{2}\right)} \def\henB{3}\def\henBZ{9} \def\henC{5}\def\henCZ{25} \def\BZpCZ{34} \def\ZBC{30} \def\ZBCcosA{+15} \def\henAZ{49} \begin{align*} \color{red}\scriptsize b^2 \Darr & \color{red}\scriptsize\ Bが分かっているから\ \\ \henA^2 &= \henB^2 + \henC^2 -2 \cdot \henB \cdot \henC \cdot \cos\kakuA\\ &= \henBZ + \henCZ -2 \cdot \henB \cdot \henC \cdot \cos\kakuA\\ &= \BZpCZ -\ZBC \cdot \cosA\\ &= \BZpCZ \ZBCcosA = \henAZ\\ a>0 & より\\ a &= \sqrt{\henAZ} = 7 \end{align*}

$a=\sqrt{3}$ ， $b=3$ ， $C=150^{\circ}$ のとき $c$

【解答】

余弦定理により

\def\henA{c} \def\kakuA{150^{\circ}} \def\cosA{\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)} \def\henB{\sqrt{3}}\def\henBZ{3} \def\henC{3}\def\henCZ{9} \def\BZpCZ{12} \def\ZBC{6\sqrt{3}} \def\ZBCcosA{+9} \def\henAZ{21} \begin{align*} \color{red}\scriptsize b^2 \Darr & \color{red}\scriptsize\ Bが分かっているから\ \\ \henA^2 &= \henB^2 + \henC^2 -2 \cdot \henB \cdot \henC \cdot \cos\kakuA\\ &= \henBZ + \henCZ -2 \cdot \henB \cdot \henC \cdot \cos\kakuA\\ &= \BZpCZ -\ZBC \cdot \cosA\\ &= \BZpCZ \ZBCcosA = \henAZ\\ a>0 & より\\ a &= \sqrt{\henAZ} \end{align*}

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