外接円の半径からの正弦定理

2021年11月10日

１辺の長さが

10

の正三角形の外接円の半径

R

を求めよ。

【解答】外接円の半径 $R$ ＋向かい合う角と辺

正三角形だから，角はすべて $\colorbox{mistyrose}{$60^{\circ}$}$ ，辺はすべて $\colorbox{lightcyan}{$10$}$

正弦定理により

\begin{align*} \color{orange}\sin{60^{\circ}} \times \color{black}2R &= \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$10$}}{\sin{\colorbox{mistyrose}{$60^{\circ}$}}} \color{orange}\times \sin{60^{\circ}}\\ \\ 2R \times \sin{60^{\circ}} &= 10\\ \\ 2R \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} &= 10\\ \\ R \times \sqrt{3} &=10\\ \\ R &= \dfrac{10}{\sqrt{3}} \color{orange}\times\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\\ \\ R &= \dfrac{10\sqrt{3}}{3} \end{align*}

次のような $\triangle{\rm ABC}$ において，外接円の半径 $R$ を求めよ。

a=5,\ A=45^{\circ}

外接円の半径 $R$ ⇒ 正弦定理！

🤔 公式から考える

・分かっている・・・ $\colorbox{lightcyan}{$a$}$ ， $\colorbox{lightcyan}{$A$}$

・求めたい・・・ $\colorbox{mistyrose}{$R$}$

\dfrac{\colorbox{lightcyan}{$a$}}{\sin{\colorbox{lightcyan}{$A$}}} = \dfrac{b}{\sin{B}} = \dfrac{c}{\sin{C}} = 2\colorbox{mistyrose}{$R$}

🤔 図を書いて「向かい合う角と辺」を探す

【解答】

正弦定理により

\def\hen{5} \def\henN{a} \def\kaku{45} \def\kakuN{A} \def\sinKaku{\dfrac{1}{\sqrt{2}}} \begin{align*} \color{red}\scriptsize 外接円の半径は & \color{red}\scriptsize\Longrightarrow 向かい合う角\ \kakuN\ と辺\ \henN\\ 2\colorbox{mistyrose}{$R$} &= \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$\hen$}}{\sin\colorbox{lightcyan}{$\kaku^{\circ}$}}\\ \color{red}\scriptsize 両辺に \sin{\kaku^{\circ}} をかけて\\ \sin{\kaku^{\circ}} \times 2R &= \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$\hen$}}{\sin{\colorbox{lightcyan}{$\kaku^{\circ}$}}} \times \sin{\kaku^{\circ}}\\ \\ 2R \times \sin{\kaku^{\circ}} &= \hen\\ \\ 2R \times \sinKaku &= \hen\\ %ここから手作業 \color{red}\scriptsize 両辺に \sqrt{2} かけて\\ 2R &= \hen\sqrt{2}\\ \color{red}\scriptsize 両辺を 2 で割って\\ R &= \dfrac{\hen\sqrt{2}}{2} \end{align*}

b=\sqrt{3},\ B=120^{\circ}

外接円の半径 $R$ ⇒ 正弦定理！

🤔 公式から考える

・分かっている・・・ $\colorbox{lightcyan}{$b$}$ ， $\colorbox{lightcyan}{$B$}$

・求めたい・・・ $\colorbox{mistyrose}{$R$}$

\dfrac{a}{\sin{A}} = \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$b$}}{\sin{\colorbox{lightcyan}{$B$}}} = \dfrac{c}{\sin{C}} = 2\colorbox{mistyrose}{$R$}

🤔 図を書いて「向かい合う角と辺」を探す

【解答】

正弦定理により

\def\hen{\sqrt{3}} \def\henN{b} \def\kaku{120} \def\kakuN{B} \def\sinKaku{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \begin{align*} \color{red}\scriptsize 外接円の半径は & \color{red}\scriptsize\Longrightarrow 向かい合う角\ \kakuN\ と辺\ \henN\\ 2\colorbox{mistyrose}{$R$} &= \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$\hen$}}{\sin\colorbox{lightcyan}{$\kaku^{\circ}$}}\\ \color{red}\scriptsize 両辺に \sin{\kaku^{\circ}} をかけて\\ \sin{\kaku^{\circ}} \times 2R &= \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$\hen$}}{\sin{\colorbox{lightcyan}{$\kaku^{\circ}$}}} \times \sin{\kaku^{\circ}}\\ \\ 2R \times \sin{\kaku^{\circ}} &= \hen\\ \\ 2R \times \sinKaku &= \hen\\ %ここから手作業 \\ \sqrt{3} R &= \hen\\ \color{red}\scriptsize 両辺を \sqrt{3} で割って\\ R &= 1 \end{align*}

a=3,\ A=30^{\circ}

外接円の半径 $R$ ⇒ 正弦定理！

🤔 公式から考える

・分かっている・・・ $\colorbox{lightcyan}{$a$}$ ， $\colorbox{lightcyan}{$A$}$

・求めたい・・・ $\colorbox{mistyrose}{$R$}$

\dfrac{\colorbox{lightcyan}{$a$}}{\sin{\colorbox{lightcyan}{$A$}}} = \dfrac{b}{\sin{B}} = \dfrac{c}{\sin{C}} = 2\colorbox{mistyrose}{$R$}

🤔 図を書いて「向かい合う角と辺」を探す

【解答】

正弦定理により

\def\hen{3} \def\henN{a} \def\kaku{30} \def\kakuN{A} \def\sinKaku{\dfrac{1}{2}} \begin{align*} \color{red}\scriptsize 外接円の半径は & \color{red}\scriptsize\Longrightarrow 向かい合う角\ \kakuN\ と辺\ \henN\\ 2\colorbox{mistyrose}{$R$} &= \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$\hen$}}{\sin\colorbox{lightcyan}{$\kaku^{\circ}$}}\\ \color{red}\scriptsize 両辺に \sin{\kaku^{\circ}} をかけて\\ \sin{\kaku^{\circ}} \times 2R &= \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$\hen$}}{\sin{\colorbox{lightcyan}{$\kaku^{\circ}$}}} \times \sin{\kaku^{\circ}}\\ \\ 2R \times \sin{\kaku^{\circ}} &= \hen\\ \\ 2R \times \sinKaku &= \hen\\ %ここから手作業 \\ R &= \hen \end{align*}