外接円の半径からの正弦定理

【解答】外接円の半径 R + 向かい合う角と辺

正三角形だから,角はすべて \colorbox{mistyrose}{$60^{\circ}$},辺はすべて \colorbox{lightcyan}{$10$}

正弦定理により

\begin{align*}
\color{orange}\sin{60^{\circ}} \times \color{black}2R &= \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$10$}}{\sin{\colorbox{mistyrose}{$60^{\circ}$}}} \color{orange}\times \sin{60^{\circ}}\\
\\
2R \times \sin{60^{\circ}} &= 10\\
\\
2R \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} &= 10\\
\\
R \times \sqrt{3} &=10\\
\\
R &= \dfrac{10}{\sqrt{3}} \color{orange}\times\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\\
\\
R &= \dfrac{10\sqrt{3}}{3}
\end{align*}

次のような \triangle{\rm ABC} において,外接円の半径 R を求めよ。

外接円の半径R ⇒ 正弦定理!

🤔 公式から考える

・分かっている・・・\colorbox{lightcyan}{$a$}\colorbox{lightcyan}{$A$}

・求めたい・・・\colorbox{mistyrose}{$R$}

\dfrac{\colorbox{lightcyan}{$a$}}{\sin{\colorbox{lightcyan}{$A$}}} = \dfrac{b}{\sin{B}} = \dfrac{c}{\sin{C}} = 2\colorbox{mistyrose}{$R$}

🤔 図を書いて「向かい合う角と辺」を探す

【解答】

正弦定理により

\def\hen{5}
\def\henN{a}
\def\kaku{45}
\def\kakuN{A}
\def\sinKaku{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}
\begin{align*}
\color{red}\scriptsize 外接円の半径は & \color{red}\scriptsize\Longrightarrow 向かい合う角\ \kakuN\ と辺\ \henN\\
2\colorbox{mistyrose}{$R$} &= \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$\hen$}}{\sin\colorbox{lightcyan}{$\kaku^{\circ}$}}\\
\color{red}\scriptsize 両辺に \sin{\kaku^{\circ}} をかけて\\
\sin{\kaku^{\circ}} \times 2R &= \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$\hen$}}{\sin{\colorbox{lightcyan}{$\kaku^{\circ}$}}} \times \sin{\kaku^{\circ}}\\
\\
2R \times \sin{\kaku^{\circ}} &= \hen\\
\\
2R \times \sinKaku &= \hen\\
%ここから手作業
\color{red}\scriptsize 両辺に \sqrt{2} かけて\\
2R &= \hen\sqrt{2}\\
\color{red}\scriptsize 両辺を 2 で割って\\
R &= \dfrac{\hen\sqrt{2}}{2}
\end{align*}

外接円の半径R ⇒ 正弦定理!

🤔 公式から考える

・分かっている・・・\colorbox{lightcyan}{$b$}\colorbox{lightcyan}{$B$}

・求めたい・・・\colorbox{mistyrose}{$R$}

\dfrac{a}{\sin{A}} = \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$b$}}{\sin{\colorbox{lightcyan}{$B$}}} = \dfrac{c}{\sin{C}} = 2\colorbox{mistyrose}{$R$}

🤔 図を書いて「向かい合う角と辺」を探す

【解答】

正弦定理により

\def\hen{\sqrt{3}}
\def\henN{b}
\def\kaku{120}
\def\kakuN{B}
\def\sinKaku{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}
\begin{align*}
\color{red}\scriptsize 外接円の半径は & \color{red}\scriptsize\Longrightarrow 向かい合う角\ \kakuN\ と辺\ \henN\\
2\colorbox{mistyrose}{$R$} &= \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$\hen$}}{\sin\colorbox{lightcyan}{$\kaku^{\circ}$}}\\
\color{red}\scriptsize 両辺に \sin{\kaku^{\circ}} をかけて\\
\sin{\kaku^{\circ}} \times 2R &= \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$\hen$}}{\sin{\colorbox{lightcyan}{$\kaku^{\circ}$}}} \times \sin{\kaku^{\circ}}\\
\\
2R \times \sin{\kaku^{\circ}} &= \hen\\
\\
2R \times \sinKaku &= \hen\\
%ここから手作業
\\
\sqrt{3} R &= \hen\\
\color{red}\scriptsize 両辺を \sqrt{3} で割って\\
R &= 1
\end{align*}

外接円の半径R ⇒ 正弦定理!

🤔 公式から考える

・分かっている・・・\colorbox{lightcyan}{$a$}\colorbox{lightcyan}{$A$}

・求めたい・・・\colorbox{mistyrose}{$R$}

\dfrac{\colorbox{lightcyan}{$a$}}{\sin{\colorbox{lightcyan}{$A$}}} = \dfrac{b}{\sin{B}} = \dfrac{c}{\sin{C}} = 2\colorbox{mistyrose}{$R$}

🤔 図を書いて「向かい合う角と辺」を探す

【解答】

正弦定理により

\def\hen{3}
\def\henN{a}
\def\kaku{30}
\def\kakuN{A}
\def\sinKaku{\dfrac{1}{2}}
\begin{align*}
\color{red}\scriptsize 外接円の半径は & \color{red}\scriptsize\Longrightarrow 向かい合う角\ \kakuN\ と辺\ \henN\\
2\colorbox{mistyrose}{$R$} &= \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$\hen$}}{\sin\colorbox{lightcyan}{$\kaku^{\circ}$}}\\
\color{red}\scriptsize 両辺に \sin{\kaku^{\circ}} をかけて\\
\sin{\kaku^{\circ}} \times 2R &= \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$\hen$}}{\sin{\colorbox{lightcyan}{$\kaku^{\circ}$}}} \times \sin{\kaku^{\circ}}\\
\\
2R \times \sin{\kaku^{\circ}} &= \hen\\
\\
2R \times \sinKaku &= \hen\\
%ここから手作業
\\
R &= \hen
\end{align*}

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