鈍角の三角比（有名角）を求める

btakeshi

直角三角形で定義した三角比では，鋭角（ $0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}$ ）しか扱えません。そこで鈍角（ $0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$ ）まで扱えるように三角比を 再定義 しましょう。

ポイントを確認！

気になるところをタップして確認しましょう。

【公式１】鈍角⇒鋭角の公式

鈍角の $\sin$

\Large \begin{align*} \color{red}\small 鈍角\Darr\ & \color{red}\small 　　　　\Darr180^{\circ}-\alpha\\ \sin{\alpha} &= \sin{\beta} \end{align*}

$\alpha + \beta = 180^{\circ}$

鈍角の $\cos$

\Large \begin{align*} \color{red}\small 鈍角\Darr\ & \color{red}\small 　　　　　　　\Darr180^{\circ}-\alpha\\ \cos{\alpha} &= \colorbox{red}{$-$}\cos{\beta}\\ & \color{red}\small 　　　\Uarr 鈍角の \cos はマイナス！ \end{align*}

$\alpha + \beta = 180^{\circ}$

鈍角の $\tan$

\Large \begin{align*} \color{red}\small 鈍角\Darr & \color{red}\small 　　　　　　　\Darr180^{\circ}-\alpha\\ \tan{\alpha} &= \colorbox{red}{$-$}\tan{\beta}\\ & \color{red}\small 　　\ \Uarr 鈍角の \tan はマイナス！ \end{align*}

$\alpha + \beta = 180^{\circ}$

何度も解いて体で覚えましょう！

次の三角比の値を求めよ。

\sin{120^{\circ}}

【解答】

\begin{align*} \color{red}\scriptsize 鈍角\Darr　& \color{red}\scriptsize 　　　　\Darr180^{\circ}-120^{\circ}\\ \sin{120^{\circ}} &= \sin{60^{\circ}}\\ \\ &= \dfrac{\colorbox{mistyrose}{$\sqrt{3}$}}{\colorbox{mistyrose}{$2$}} \end{align*}

\sin{135^{\circ}}

【解答】

\begin{align*} \color{red}\scriptsize 鈍角\Darr　& \color{red}\scriptsize 　　　　\Darr180^{\circ}-135^{\circ}\\ \sin{135^{\circ}} &= \sin{45^{\circ}}\\ \\ &= \dfrac{\colorbox{mistyrose}{$1$}}{\colorbox{mistyrose}{$\sqrt{2}$}} \end{align*}

\sin{150^{\circ}}

【解答】

\begin{align*} \color{red}\scriptsize 鈍角\Darr　& \color{red}\scriptsize 　　　　\Darr180^{\circ}-150^{\circ}\\ \sin{150^{\circ}} &= \sin{30^{\circ}}\\ \\ &= \dfrac{\colorbox{mistyrose}{$1$}}{\colorbox{mistyrose}{$2$}} \end{align*}

\cos{120^{\circ}}

【解答】

\begin{align*} \color{red}\scriptsize 鈍角\Darr　& \color{red}\scriptsize 　　　　　　\Darr180^{\circ}-120^{\circ}\\ \cos{120^{\circ}} &= \colorbox{red}{$-$}\cos{60^{\circ}}\\ & \color{red}\scriptsize 　　\Uarr 鈍角の \cos はマイナス！\\ &= - \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$1$}}{\colorbox{lightcyan}{$2$}} \end{align*}

\cos{135^{\circ}}

【解答】

\begin{align*} \color{red}\scriptsize 鈍角\Darr　& \color{red}\scriptsize 　　　　　　\Darr180^{\circ}-135^{\circ}\\ \cos{135^{\circ}} &= \colorbox{red}{$-$}\cos{45^{\circ}}\\ & \color{red}\scriptsize 　　\Uarr 鈍角の \cos はマイナス！\\ &= - \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$1$}}{\colorbox{lightcyan}{$\sqrt{2}$}} \end{align*}

\cos{150^{\circ}}

【解答】

\begin{align*} \color{red}\scriptsize 鈍角\Darr　& \color{red}\scriptsize 　　　　　　\Darr180^{\circ}-150^{\circ}\\ \cos{150^{\circ}} &= \colorbox{red}{$-$}\cos{30^{\circ}}\\ & \color{red}\scriptsize 　　\Uarr 鈍角の \cos はマイナス！\\ &= - \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$\sqrt{3}$}}{\colorbox{lightcyan}{$2$}} \end{align*}

\tan{120^{\circ}}

【解答】

\begin{align*} \color{red}\scriptsize 鈍角\Darr　& \color{red}\scriptsize 　　　　　　\Darr180^{\circ}-120^{\circ}\\ \tan{120^{\circ}} &= \colorbox{red}{$-$}\tan{60^{\circ}}\\ & \color{red}\scriptsize 　　\Uarr 鈍角の \tan はマイナス！\\ &= - \dfrac{\colorbox{lightgreen}{$\sqrt{3}$}}{\colorbox{lightgreen}{$1$}}\\ \\ &= -\sqrt{3} \end{align*}

\tan{135^{\circ}}

【解答】

\begin{align*} \color{red}\scriptsize 鈍角\Darr　& \color{red}\scriptsize 　　　　　　\Darr180^{\circ}-135^{\circ}\\ \tan{135^{\circ}} &= \colorbox{red}{$-$}\tan{45^{\circ}}\\ & \color{red}\scriptsize 　　\Uarr 鈍角の \tan はマイナス！\\ &= - \dfrac{\colorbox{lightgreen}{$1$}}{\colorbox{lightgreen}{$1$}}\\ \\ &= -1 \end{align*}

\tan{150^{\circ}}

【解答】

\begin{align*} \color{red}\scriptsize 鈍角\Darr　& \color{red}\scriptsize 　　　　　　\Darr180^{\circ}-150^{\circ}\\ \tan{150^{\circ}} &= \colorbox{red}{$-$}\tan{30^{\circ}}\\ & \color{red}\scriptsize 　　\Uarr 鈍角の \tan はマイナス！\\ &= - \dfrac{\colorbox{lightgreen}{$1$}}{\colorbox{lightgreen}{$\sqrt{3}$}}\\ \\ &= -\dfrac{1}{\sqrt{3}} \end{align*}

次の三角比の値を求めよ。

\sin{0^{\circ}}

【解答】 $0^{\circ}$ は覚えよう！

\sin{0^{\circ}} = 0

\cos{0^{\circ}}

【解答】 $0^{\circ}$ は覚えよう！

\cos{0^{\circ}} = 1

\tan{0^{\circ}}

【解答】 $0^{\circ}$ は覚えよう！

\tan{0^{\circ}} = 0

\sin{90^{\circ}}

【解答】 $0^{\circ}$ は覚えよう！

\begin{align*} \color{red}\scriptsize 45^{\circ} 〜 90^{\circ} \Darr 　 & \color{red}\scriptsize 　　　　\Darr 90^{\circ}-90^{\circ}\\ \sin{90^{\circ}} &= \cos{0^{\circ}}\color{red}\scriptsize 　\cdots\ \sin は \cos に\\ & \color{red}\scriptsize 　　\Darr 0^{\circ} は覚える！\\ &= 1 \end{align*}

\cos{90^{\circ}}

【解答】 $0^{\circ}$ は覚えよう！

\begin{align*} \color{red}\scriptsize 45^{\circ} 〜 90^{\circ} \Darr 　 & \color{red}\scriptsize 　　　　\Darr 90^{\circ}-90^{\circ}\\ \cos{90^{\circ}} &= \sin{0^{\circ}}\color{red}\scriptsize 　\cdots\ \cos は \sin に\\ & \color{red}\scriptsize 　　\Darr 0^{\circ} は覚える！\\ &= 0 \end{align*}

\tan{90^{\circ}}

【解答】 $0^{\circ}$ は覚えよう！

\begin{align*} \color{red}\scriptsize 45^{\circ} 〜 90^{\circ} \Darr 　 & \color{red}\scriptsize 　　　　\Darr 90^{\circ}-90^{\circ}\\ \tan{90^{\circ}} &= \dfrac{1}{\tan{0^{\circ}}}\color{red}\scriptsize 　\cdots\ \tan は \frac{1}{\tan} に\\ & \color{red}\scriptsize 　　\Uarr \tan 0^{\circ} = 0\\ & なし \color{red}\scriptsize\cdots 分母が 0 になる値は存在しない \end{align*}

\sin{180^{\circ}}

【解答】

\begin{align*} \color{red}\scriptsize 鈍角\Darr　& \color{red}\scriptsize 　　　　\Darr180^{\circ}-180^{\circ}\\ \sin{180^{\circ}} &= \sin{0^{\circ}}\\ \\ &= \colorbox{mistyrose}{$0$} \end{align*}

\cos{180^{\circ}}

【解答】

\begin{align*} \color{red}\scriptsize 鈍角\Darr　& \color{red}\scriptsize 　　　　　　\Darr180^{\circ}-180^{\circ}\\ \cos{180^{\circ}} &= \colorbox{red}{$-$}\cos{0^{\circ}}\\ & \color{red}\scriptsize 　　\Uarr 鈍角の \cos はマイナス！\\ &= - \colorbox{lightcyan}{$1$} \end{align*}

\tan{180^{\circ}}

【解答】 $0^{\circ}$ は覚えよう！

\begin{align*} \color{red}\scriptsize 鈍角\Darr　& \color{red}\scriptsize 　　　　　　\Darr180^{\circ}-180^{\circ}\\ \tan{180^{\circ}} &= \colorbox{red}{$-$}\tan{0^{\circ}}\\ & \color{red}\scriptsize 　　\Uarr 鈍角の \tan はマイナス！だけど\cdots\\ &= - \colorbox{lightgreen}{$0$}\\ \\ &= 0 \end{align*}

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