鈍角の三角比(有名角)を求める

btakeshi
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直角三角形で定義した三角比では,鋭角(0^{\circ} < \theta < 90^{\circ})しか扱えません。そこで鈍角(0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ})まで扱えるように三角比を 再定義 しましょう。

ポイントを確認!

気になるところをタップして確認しましょう。

鈍角の \sin

\Large
\begin{align*}
\color{red}\small 鈍角\Darr\  & \color{red}\small     \Darr180^{\circ}-\alpha\\
\sin{\alpha} &= \sin{\beta}
\end{align*}

\alpha + \beta = 180^{\circ}

鈍角の \cos

\Large
\begin{align*}
\color{red}\small 鈍角\Darr\  & \color{red}\small        \Darr180^{\circ}-\alpha\\
\cos{\alpha} &= \colorbox{red}{$-$}\cos{\beta}\\
& \color{red}\small    \Uarr 鈍角の \cos はマイナス!
\end{align*}

\alpha + \beta = 180^{\circ}

鈍角の \tan

\Large
\begin{align*}
\color{red}\small 鈍角\Darr & \color{red}\small        \Darr180^{\circ}-\alpha\\
\tan{\alpha} &= \colorbox{red}{$-$}\tan{\beta}\\
& \color{red}\small   \ \Uarr 鈍角の \tan はマイナス!
\end{align*}

\alpha + \beta = 180^{\circ}

練習問題にチャレンジ!

何度も解いて体で覚えましょう!

次の三角比の値を求めよ。

【解答】

\begin{align*}
\color{red}\scriptsize 鈍角\Darr & \color{red}\scriptsize     \Darr180^{\circ}-120^{\circ}\\
\sin{120^{\circ}} &= \sin{60^{\circ}}\\
\\
&= \dfrac{\colorbox{mistyrose}{$\sqrt{3}$}}{\colorbox{mistyrose}{$2$}}
\end{align*}

【解答】

\begin{align*}
\color{red}\scriptsize 鈍角\Darr & \color{red}\scriptsize     \Darr180^{\circ}-135^{\circ}\\
\sin{135^{\circ}} &= \sin{45^{\circ}}\\
\\
&= \dfrac{\colorbox{mistyrose}{$1$}}{\colorbox{mistyrose}{$\sqrt{2}$}}
\end{align*}

【解答】

\begin{align*}
\color{red}\scriptsize 鈍角\Darr & \color{red}\scriptsize     \Darr180^{\circ}-150^{\circ}\\
\sin{150^{\circ}} &= \sin{30^{\circ}}\\
\\
&= \dfrac{\colorbox{mistyrose}{$1$}}{\colorbox{mistyrose}{$2$}}
\end{align*}

【解答】

\begin{align*}
\color{red}\scriptsize 鈍角\Darr & \color{red}\scriptsize       \Darr180^{\circ}-120^{\circ}\\
\cos{120^{\circ}} &= \colorbox{red}{$-$}\cos{60^{\circ}}\\
& \color{red}\scriptsize   \Uarr 鈍角の \cos はマイナス!\\
&= - \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$1$}}{\colorbox{lightcyan}{$2$}}
\end{align*}

【解答】

\begin{align*}
\color{red}\scriptsize 鈍角\Darr & \color{red}\scriptsize       \Darr180^{\circ}-135^{\circ}\\
\cos{135^{\circ}} &= \colorbox{red}{$-$}\cos{45^{\circ}}\\
& \color{red}\scriptsize   \Uarr 鈍角の \cos はマイナス!\\
&= - \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$1$}}{\colorbox{lightcyan}{$\sqrt{2}$}}
\end{align*}

【解答】

\begin{align*}
\color{red}\scriptsize 鈍角\Darr & \color{red}\scriptsize       \Darr180^{\circ}-150^{\circ}\\
\cos{150^{\circ}} &= \colorbox{red}{$-$}\cos{30^{\circ}}\\
& \color{red}\scriptsize   \Uarr 鈍角の \cos はマイナス!\\
&= - \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$\sqrt{3}$}}{\colorbox{lightcyan}{$2$}}
\end{align*}

【解答】

\begin{align*}
\color{red}\scriptsize 鈍角\Darr & \color{red}\scriptsize       \Darr180^{\circ}-120^{\circ}\\
\tan{120^{\circ}} &= \colorbox{red}{$-$}\tan{60^{\circ}}\\
& \color{red}\scriptsize   \Uarr 鈍角の \tan はマイナス!\\
&= - \dfrac{\colorbox{lightgreen}{$\sqrt{3}$}}{\colorbox{lightgreen}{$1$}}\\
\\
&= -\sqrt{3}
\end{align*}

【解答】

\begin{align*}
\color{red}\scriptsize 鈍角\Darr & \color{red}\scriptsize       \Darr180^{\circ}-135^{\circ}\\
\tan{135^{\circ}} &= \colorbox{red}{$-$}\tan{45^{\circ}}\\
& \color{red}\scriptsize   \Uarr 鈍角の \tan はマイナス!\\
&= - \dfrac{\colorbox{lightgreen}{$1$}}{\colorbox{lightgreen}{$1$}}\\
\\
&= -1
\end{align*}

【解答】

\begin{align*}
\color{red}\scriptsize 鈍角\Darr & \color{red}\scriptsize       \Darr180^{\circ}-150^{\circ}\\
\tan{150^{\circ}} &= \colorbox{red}{$-$}\tan{30^{\circ}}\\
& \color{red}\scriptsize   \Uarr 鈍角の \tan はマイナス!\\
&= - \dfrac{\colorbox{lightgreen}{$1$}}{\colorbox{lightgreen}{$\sqrt{3}$}}\\
\\
&= -\dfrac{1}{\sqrt{3}}
\end{align*}

次の三角比の値を求めよ。

【解答】 0^{\circ} は覚えよう!

\sin{0^{\circ}} = 0

【解答】 0^{\circ} は覚えよう!

\cos{0^{\circ}} = 1

【解答】 0^{\circ} は覚えよう!

\tan{0^{\circ}} = 0

【解答】 0^{\circ} は覚えよう!

\begin{align*}
\color{red}\scriptsize 45^{\circ} 〜 90^{\circ} \Darr   & \color{red}\scriptsize     \Darr 90^{\circ}-90^{\circ}\\
\sin{90^{\circ}} &= \cos{0^{\circ}}\color{red}\scriptsize  \cdots\ \sin は \cos に\\
& \color{red}\scriptsize   \Darr 0^{\circ} は覚える!\\
&= 1
\end{align*}

【解答】 0^{\circ} は覚えよう!

\begin{align*}
\color{red}\scriptsize 45^{\circ} 〜 90^{\circ} \Darr   & \color{red}\scriptsize     \Darr 90^{\circ}-90^{\circ}\\
\cos{90^{\circ}} &= \sin{0^{\circ}}\color{red}\scriptsize  \cdots\ \cos は \sin に\\
& \color{red}\scriptsize   \Darr 0^{\circ} は覚える!\\
&= 0
\end{align*}

【解答】 0^{\circ} は覚えよう!

\begin{align*}
\color{red}\scriptsize 45^{\circ} 〜 90^{\circ} \Darr   & \color{red}\scriptsize     \Darr 90^{\circ}-90^{\circ}\\
\tan{90^{\circ}} &= \dfrac{1}{\tan{0^{\circ}}}\color{red}\scriptsize  \cdots\ \tan は \frac{1}{\tan} に\\
& \color{red}\scriptsize   \Uarr \tan 0^{\circ} = 0\\
& なし \color{red}\scriptsize\cdots 分母が 0 になる値は存在しない
\end{align*}

【解答】

\begin{align*}
\color{red}\scriptsize 鈍角\Darr & \color{red}\scriptsize     \Darr180^{\circ}-180^{\circ}\\
\sin{180^{\circ}} &= \sin{0^{\circ}}\\
\\
&= \colorbox{mistyrose}{$0$}
\end{align*}

【解答】

\begin{align*}
\color{red}\scriptsize 鈍角\Darr & \color{red}\scriptsize       \Darr180^{\circ}-180^{\circ}\\
\cos{180^{\circ}} &= \colorbox{red}{$-$}\cos{0^{\circ}}\\
& \color{red}\scriptsize   \Uarr 鈍角の \cos はマイナス!\\
&= - \colorbox{lightcyan}{$1$}
\end{align*}

【解答】 0^{\circ} は覚えよう!

\begin{align*}
\color{red}\scriptsize 鈍角\Darr & \color{red}\scriptsize       \Darr180^{\circ}-180^{\circ}\\
\tan{180^{\circ}} &= \colorbox{red}{$-$}\tan{0^{\circ}}\\
& \color{red}\scriptsize   \Uarr 鈍角の \tan はマイナス!だけど\cdots\\
&= - \colorbox{lightgreen}{$0$}\\
\\
&= 0
\end{align*}
  • 20211103…初版公開。問題数18。

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