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【解答】
\begin{align*} & \scriptsize\color{red}\Darr\ \sin\ から\ \cos\ を求めたいから\\ & \colorbox{mistyrose}{$\sin^2{A}+\cos^2{A}=1$}\ であるから,\\ & \quad\scriptsize\color{orange}\sin{A}=\dfrac{5}{13}\ を代入して\\ & \quad\begin{align*} \left( \colorbox{bisque}{$\dfrac{5}{13}$} \right)^2 + \cos^2{A} &= 1\\ \dfrac{25}{169} + \cos^2{A} &= 1\\ \cos^2{A} &= 1 - \dfrac{25}{169}\\\\ &= \dfrac{169}{169} - \dfrac{25}{169}\\\\ &= \dfrac{144}{169}\scriptsize\color{lightgray}= \pm\sqrt{\dfrac{144}{169}}\\ \end{align*}\\\\ & A\ が鋭角より,\ \cos{A} > 0\ であるから,\\ & \qquad\cos{A} = \sqrt{\dfrac{144}{169}} = \frac{12}{13}\\ \\ & \qquad\quad\scriptsize\color{red}\Darr\ 2\ つ求めたら最後はコレ\\ & また,\ \colorbox{mistyrose}{$\tan{A}=\dfrac{\sin{A}}{\cos{A}}$}\ より\\ & \qquad\begin{align*} \tan{A} &= \sin{A} \div \cos{A}\\ &= \frac{5}{13} \div \frac{12}{13}\\ &= \frac{5}{13} \times \frac{13}{12} = \frac{5}{12}\\ \end{align*} \end{align*}
気になるところをタップして確認しましょう。
三角比2つ \Rightarrow 残る1つを求める時に利用!
\large \tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}
\begin{align*}\\ \color{red}\scriptsize\ \sin\theta\ を求めたい & \color{red}\scriptsize\ \cos\theta\ を求めたい\\ \sin\theta = \tan\theta \times \cos\theta & \cos\theta = \dfrac{\sin\theta}{\tan\theta} \end{align*}
\sin\theta \Rightarrow \cos\theta または \sin\theta \Rightarrow \cos\theta を求める時に利用!
\large \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1
\color{red}\scriptsize\Uarr\ 分かっている値を代入\ \Uarr
\tan\theta \Rightarrow \cos\theta を求める時に利用!たまに \cos\theta \Rightarrow \tan\theta
\large 1+\tan^2\theta = \dfrac{1}{\cos^2\theta}
\color{red}\scriptsize\Uarr\ \tan\theta\ を代入\ \Uarr
(\sin\theta)^2=\sin^2\theta,(\cos\theta)^2=\cos^2\theta,(\tan\theta)^2=\tan^2\theta と書きます。
直角三角形において
\sin\theta = \dfrac{y}{r},\ \cos\theta = \dfrac{x}{r},\ \tan\theta = \dfrac{y}{x}
であるから
\colorbox{lightcyan}{$x = r\cos\theta$},\ \colorbox{lightgreen}{$y=r\sin\theta$}
である。よって
\tan\theta = \dfrac{\colorbox{lightgreen}{$y$}}{\colorbox{lightcyan}{$x$}} = \dfrac{\colorbox{lightgreen}{$r\sin\theta$}}{\colorbox{lightcyan}{$r\cos\theta$}} = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}
また,三平方の定理により
\begin{align*} \colorbox{lightcyan}{$x$}^2 + \colorbox{lightgreen}{$y$}^2 &= r^2\\ (\colorbox{lightcyan}{$r\cos\theta$})^2 + (\colorbox{lightgreen}{$r\sin\theta$})^2 &= r^2\\ r^2(\cos\theta)^2 + r^2(\sin\theta)^2 &= r^2\\ \color{red}\scriptsize\ 両辺を\ r^2\ で割って &\\ (\cos\theta)^2+(\sin\theta)^2 &= 1 \end{align*}
となります。さらに (\cos\theta)^2 で割ると
\begin{align*} \dfrac{(\cos\theta)^2}{(\cos\theta)^2}+\dfrac{(\sin\theta)^2}{(\cos\theta)^2} &= \dfrac{1}{(\cos\theta)^2}\\ \\ 1+\left(\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\right)^2 &= \dfrac{1}{(\cos\theta)^2}\\ \\ 1+(\tan\theta)^2 &= \dfrac{1}{(\cos\theta)^2} \end{align*}
何度も解いて体で覚えましょう!
【解答】
「\sin \Longleftrightarrow \cos」は, s^2 + c^2 = 1
\sin^2\theta+\cos^2\theta=1 から \sin\theta = \dfrac{2}{3} を代入して\begin{align*} \left(\dfrac23\right)^2 + \cos^2\theta &= 1\\ \\ \dfrac49 + \cos^2\theta &= 1\\ \color{red}\scriptsize\ 両辺に 9 をかけて\\ 4 + 9 \cos^2\theta &= 9\\ \\ 9\cos^2\theta &= 5\\ \\ \cos^2\theta &= \dfrac59 \color{red}\scriptsize\ \Longrightarrow\cos\theta = \pm\sqrt{\dfrac59}\\ \cos\theta > 0\ であるから\\ \cos\theta &= \textcolor{orange}{+}\sqrt{\dfrac59} = \dfrac{\sqrt{5}}{3} \end{align*}
「2つの三角比 \Longrightarrow 残る1つ」は,t = \dfrac{s}{c}
また
\begin{align*} \tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} & \color{orange}=\sin\theta \div \cos\theta\\ \\ &= \dfrac{2}{3} \div \dfrac{\sqrt{5}}{3}\\ \\ &= \dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{\sqrt{5}} = \dfrac{2}{\sqrt{5}} \end{align*}
【解答】
「\sin \Longleftrightarrow \cos」は, s^2 + c^2 = 1
\sin^2\theta+\cos^2\theta=1 から \cos\theta = \dfrac{1}{3} を代入して\begin{align*} \sin^2\theta + \left(\dfrac13\right)^2 &= 1\\ \\ \sin^2\theta + \dfrac19 &= 1\\ \color{red}\scriptsize\ 両辺に 9 をかけて\\ 9 \sin^2\theta +1&= 9\\ \\ 9\sin^2\theta &= 8\\ \\ \sin^2\theta &= \dfrac89 \color{red}\scriptsize\ \Longrightarrow\sin\theta = \pm\sqrt{\dfrac89}\\ \sin\theta > 0\ であるから\\ \sin\theta &= \textcolor{orange}{+}\sqrt{\dfrac89} = \dfrac{2\sqrt{2}}{3} \end{align*}
「2つの三角比 \Longrightarrow 残る1つ」は,t = \dfrac{s}{c}
また
\begin{align*} \tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} & \color{orange}=\sin\theta \div \cos\theta\\ \\ &= \dfrac{2\sqrt{2}}{3} \div \dfrac{1}{3}\\ \\ &= \dfrac{2\sqrt{2}}{3} \times \dfrac{3}{1} = 2\sqrt{2} \end{align*}
【解答】
「\tanスタート」は, 1 + t^2 = \dfrac{1}{c^2}
1+\tan^2\theta = \dfrac{1}{\cos^2\theta} から \tan\theta = 2 を代入して\begin{align*} 1 + 2^2 &= \dfrac{1}{\cos^2\theta}\\ \\ 5 &= \dfrac{1}{\cos^2\theta}\\ \color{red}\scriptsize\ 両辺に \cos^2\theta\ をかけて\\ 5 \cos^2\theta &= 1\\ \\ \cos^2\theta &= \dfrac{1}{5}\color{red}\scriptsize\ \Longrightarrow\cos\theta = \pm\sqrt{\dfrac15}\\ \cos\theta > 0\ であるから\\ \cos\theta &= \textcolor{orange}{+}\sqrt{\dfrac15} = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \end{align*}
「2つの三角比 \Longrightarrow 残る1つ」は,t = \dfrac{s}{c}
また
\begin{align*} \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} & = \tan\theta\\ \color{red}\scriptsize\ 両辺に\ \cos\theta\ をかけて\\ \sin\theta&= \tan\theta \times \cos\theta\\ \\ &=2 \times \dfrac{1}{\sqrt{5}} = \dfrac{2}{\sqrt{5}} \end{align*}
【解答】
「\tanスタート」は, 1 + t^2 = \dfrac{1}{c^2}
1+\tan^2\theta = \dfrac{1}{\cos^2\theta} から \tan\theta = \sqrt{2} を代入して\begin{align*} 1 + (\sqrt{2})^2 &= \dfrac{1}{\cos^2\theta}\\ \\ 3 &= \dfrac{1}{\cos^2\theta}\\ \color{red}\scriptsize\ 両辺に \cos^2\theta\ をかけて\\ 3 \cos^2\theta &= 1\\ \\ \cos^2\theta &= \dfrac{1}{3}\color{red}\scriptsize\ \Longrightarrow\cos\theta = \pm\sqrt{\dfrac13}\\ \cos\theta > 0\ であるから\\ \cos\theta &= \textcolor{orange}{+}\sqrt{\dfrac13} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \end{align*}
「2つの三角比 \Longrightarrow 残る1つ」は,t = \dfrac{s}{c}
また
\begin{align*} \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} & = \tan\theta\\ \color{red}\scriptsize\ 両辺に\ \cos\theta\ をかけて\\ \sin\theta&= \tan\theta \times \cos\theta\\ \\ &=\sqrt{2} \times \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{6}}{3} \end{align*}
- 20211013…初版公開。問題数4。