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【解答】
\begin{align*}
& \scriptsize\color{red}\Darr\ \sin\ から\ \cos\ を求めたいから\\
& \colorbox{mistyrose}{$\sin^2{A}+\cos^2{A}=1$}\ であるから,\\
& \quad\scriptsize\color{orange}\sin{A}=\dfrac{5}{13}\ を代入して\\
& \quad\begin{align*}
\left( \colorbox{bisque}{$\dfrac{5}{13}$} \right)^2 + \cos^2{A} &= 1\\
\dfrac{25}{169} + \cos^2{A} &= 1\\
\cos^2{A} &= 1 - \dfrac{25}{169}\\\\
&= \dfrac{169}{169} - \dfrac{25}{169}\\\\
&= \dfrac{144}{169}\scriptsize\color{lightgray}= \pm\sqrt{\dfrac{144}{169}}\\
\end{align*}\\\\
& A\ が鋭角より,\ \cos{A} > 0\ であるから,\\
& \qquad\cos{A} = \sqrt{\dfrac{144}{169}} = \frac{12}{13}\\
\\
& \qquad\quad\scriptsize\color{red}\Darr\ 2\ つ求めたら最後はコレ\\
& また,\ \colorbox{mistyrose}{$\tan{A}=\dfrac{\sin{A}}{\cos{A}}$}\ より\\
& \qquad\begin{align*}
\tan{A} &= \sin{A} \div \cos{A}\\
&= \frac{5}{13} \div \frac{12}{13}\\
&= \frac{5}{13} \times \frac{13}{12} = \frac{5}{12}\\
\end{align*}
\end{align*}
気になるところをタップして確認しましょう。
三角比２つ \Rightarrow 残る１つを求める時に利用！
\large
\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\begin{align*}\\
\color{red}\scriptsize\ \sin\theta\ を求めたい & \color{red}\scriptsize\ \cos\theta\ を求めたい\\
\sin\theta = \tan\theta \times \cos\theta & \cos\theta = \dfrac{\sin\theta}{\tan\theta}
\end{align*}\sin\theta \Rightarrow \cos\theta または \sin\theta \Rightarrow \cos\theta を求める時に利用！
\large \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1
\color{red}\scriptsize\Uarr\ 分かっている値を代入\ \Uarr\tan\theta \Rightarrow \cos\theta を求める時に利用！たまに \cos\theta \Rightarrow \tan\theta
\large
1+\tan^2\theta = \dfrac{1}{\cos^2\theta}\color{red}\scriptsize\Uarr\ \tan\theta\ を代入\ \Uarr
(\sin\theta)^2=\sin^2\theta，(\cos\theta)^2=\cos^2\theta，(\tan\theta)^2=\tan^2\theta と書きます。
直角三角形において
\sin\theta = \dfrac{y}{r},\ \cos\theta = \dfrac{x}{r},\ \tan\theta = \dfrac{y}{x}であるから
\colorbox{lightcyan}{$x = r\cos\theta$},\ \colorbox{lightgreen}{$y=r\sin\theta$}である。よって
\tan\theta = \dfrac{\colorbox{lightgreen}{$y$}}{\colorbox{lightcyan}{$x$}} = \dfrac{\colorbox{lightgreen}{$r\sin\theta$}}{\colorbox{lightcyan}{$r\cos\theta$}} = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}また，三平方の定理により
\begin{align*}
\colorbox{lightcyan}{$x$}^2 + \colorbox{lightgreen}{$y$}^2 &= r^2\\
(\colorbox{lightcyan}{$r\cos\theta$})^2 + (\colorbox{lightgreen}{$r\sin\theta$})^2 &= r^2\\
r^2(\cos\theta)^2 + r^2(\sin\theta)^2 &= r^2\\
\color{red}\scriptsize\ 両辺を\ r^2\ で割って &\\
(\cos\theta)^2+(\sin\theta)^2 &= 1
\end{align*}となります。さらに (\cos\theta)^2 で割ると
\begin{align*}
\dfrac{(\cos\theta)^2}{(\cos\theta)^2}+\dfrac{(\sin\theta)^2}{(\cos\theta)^2} &= \dfrac{1}{(\cos\theta)^2}\\
\\
1+\left(\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\right)^2 &= \dfrac{1}{(\cos\theta)^2}\\
\\
1+(\tan\theta)^2 &= \dfrac{1}{(\cos\theta)^2}
\end{align*}何度も解いて体で覚えましょう！
【解答】
「\sin \Longleftrightarrow \cos」は， s^2 + c^2 = 1
\sin^2\theta+\cos^2\theta=1 から \sin\theta = \dfrac{2}{3} を代入して\begin{align*}
\left(\dfrac23\right)^2 + \cos^2\theta &= 1\\
\\
\dfrac49 + \cos^2\theta &= 1\\
\color{red}\scriptsize\ 両辺に 9 をかけて\\
4 + 9 \cos^2\theta &= 9\\
\\
9\cos^2\theta &= 5\\
\\
\cos^2\theta &= \dfrac59 \color{red}\scriptsize\ \Longrightarrow\cos\theta = \pm\sqrt{\dfrac59}\\
\cos\theta > 0\ であるから\\
\cos\theta &= \textcolor{orange}{+}\sqrt{\dfrac59} = \dfrac{\sqrt{5}}{3}
\end{align*}「2つの三角比 \Longrightarrow 残る1つ」は，t = \dfrac{s}{c}
また
\begin{align*}
\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} & \color{orange}=\sin\theta \div \cos\theta\\
\\
&= \dfrac{2}{3} \div \dfrac{\sqrt{5}}{3}\\
\\
&= \dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{\sqrt{5}} = \dfrac{2}{\sqrt{5}}
\end{align*}【解答】
「\sin \Longleftrightarrow \cos」は， s^2 + c^2 = 1
\sin^2\theta+\cos^2\theta=1 から \cos\theta = \dfrac{1}{3} を代入して\begin{align*}
\sin^2\theta + \left(\dfrac13\right)^2 &= 1\\
\\
\sin^2\theta + \dfrac19 &= 1\\
\color{red}\scriptsize\ 両辺に 9 をかけて\\
9 \sin^2\theta +1&= 9\\
\\
9\sin^2\theta &= 8\\
\\
\sin^2\theta &= \dfrac89 \color{red}\scriptsize\ \Longrightarrow\sin\theta = \pm\sqrt{\dfrac89}\\
\sin\theta > 0\ であるから\\
\sin\theta &= \textcolor{orange}{+}\sqrt{\dfrac89} = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}
\end{align*}「2つの三角比 \Longrightarrow 残る1つ」は，t = \dfrac{s}{c}
また
\begin{align*}
\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} & \color{orange}=\sin\theta \div \cos\theta\\
\\
&= \dfrac{2\sqrt{2}}{3} \div \dfrac{1}{3}\\
\\
&= \dfrac{2\sqrt{2}}{3} \times \dfrac{3}{1} = 2\sqrt{2}
\end{align*}【解答】
「\tanスタート」は， 1 + t^2 = \dfrac{1}{c^2}
1+\tan^2\theta = \dfrac{1}{\cos^2\theta} から \tan\theta = 2 を代入して\begin{align*}
1 + 2^2 &= \dfrac{1}{\cos^2\theta}\\
\\
5 &= \dfrac{1}{\cos^2\theta}\\
\color{red}\scriptsize\ 両辺に \cos^2\theta\ をかけて\\
5 \cos^2\theta &= 1\\
\\
\cos^2\theta &= \dfrac{1}{5}\color{red}\scriptsize\ \Longrightarrow\cos\theta = \pm\sqrt{\dfrac15}\\
\cos\theta > 0\ であるから\\
\cos\theta &= \textcolor{orange}{+}\sqrt{\dfrac15} = \dfrac{1}{\sqrt{5}}
\end{align*}「2つの三角比 \Longrightarrow 残る1つ」は，t = \dfrac{s}{c}
また
\begin{align*}
\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} & = \tan\theta\\
\color{red}\scriptsize\ 両辺に\ \cos\theta\ をかけて\\
\sin\theta&= \tan\theta \times \cos\theta\\
\\
&=2 \times \dfrac{1}{\sqrt{5}} = \dfrac{2}{\sqrt{5}}
\end{align*}【解答】
「\tanスタート」は， 1 + t^2 = \dfrac{1}{c^2}
1+\tan^2\theta = \dfrac{1}{\cos^2\theta} から \tan\theta = \sqrt{2} を代入して\begin{align*}
1 + (\sqrt{2})^2 &= \dfrac{1}{\cos^2\theta}\\
\\
3 &= \dfrac{1}{\cos^2\theta}\\
\color{red}\scriptsize\ 両辺に \cos^2\theta\ をかけて\\
3 \cos^2\theta &= 1\\
\\
\cos^2\theta &= \dfrac{1}{3}\color{red}\scriptsize\ \Longrightarrow\cos\theta = \pm\sqrt{\dfrac13}\\
\cos\theta > 0\ であるから\\
\cos\theta &= \textcolor{orange}{+}\sqrt{\dfrac13} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}
\end{align*}「2つの三角比 \Longrightarrow 残る1つ」は，t = \dfrac{s}{c}
また
\begin{align*}
\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} & = \tan\theta\\
\color{red}\scriptsize\ 両辺に\ \cos\theta\ をかけて\\
\sin\theta&= \tan\theta \times \cos\theta\\
\\
&=\sqrt{2} \times \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{6}}{3}
\end{align*}- 20211013…初版公開。問題数４。
