２次不等式を解く

ポイントを確認！

気になるところをタップして確認しましょう。

方程式 $ax^2+bx+c=0$ を解きましょう！

解の個数はいくつですか？

方程式の解が２個（

x=\alpha,\ \beta

）

不等号

>

\geqq

イコールあり $\geqq 0$

\Large x \leqq \alpha,\ \ \beta \leqq x

イコールなし $< 0$

\Large x < \alpha,\ \ \beta < x

不等号

<

\leqq

イコールあり $\leqq 0$

\Large x \leqq \alpha,\ \ \beta \leqq x

イコールなし $< 0$

\Large x < \alpha,\ \ \beta < x

方程式の解が１個（

x=\alpha

）

不等号

>

\Large \alpha\ 以外のすべての実数

不等号

\geqq

\Large すべての実数

不等号

<

\Large 解はない

不等号

\leqq

\Large x=\alpha

方程式の解が０個

不等号

>

\geqq

\Large すべての実数

不等号

<

\leqq

\Large 解はない

練習問題にチャレンジ！

何度も解いて体で覚えましょう！

次の２次不等式を解け。

2x^2-5x+2 \geqq 0

グラフを用いて考える

y=2x^2-5x+2

のグラフと

x

軸の位置関係を

調べるために $y=0$ を代入

【解答】

\def\FX{2x^2-5x+2} \begin{align*} \FX &\colorbox{pink}{$\ \geqq\ 0$}　\color{red}\footnotesize\bf ・・・下！\\ \color{red}\scriptsize「不等号を等号に！」& \color{red}\tiny \ \ \Darr したように見える\\ \FX &\ \colorbox{lightgreen}{$=$}\ 0\\ (2x-1)(x-2) &\ =\ 0\\ x & = \colorbox{mistyrose}{$\dfrac12$},\ \colorbox{lightcyan}{$2$} \end{align*}

よって，この２次不等式の解は

２つの値の左と右だから

x \leqq \frac12,\ 2 \leqq x

2x^2+5x+3 < 0

グラフを用いて考える

y=2x^2+5x+3

のグラフと

x

軸の位置関係を

調べるために $y=0$ を代入

【解答】

\def\FX{2x^2+5x+3} \begin{align*} \FX &\colorbox{lightblue}{$\ <\ 0$}　\color{blue}\footnotesize\bf ・・・下！\\ \color{red}\scriptsize「不等号を等号に！」& \color{red}\tiny \ \ \Darr したように見える\\ \FX &\ \colorbox{lightgreen}{$=$}\ 0\\ (x+1)(2x+3) &\ =\ 0 \\ x & = \colorbox{mistyrose}{$-\dfrac32$},\ \colorbox{lightcyan}{$-1$} \end{align*}

よって，この２次不等式の解は

２つの値にはさまれているから

-\dfrac32 < x < -1

x^2+2x-1 \leqq 0

グラフを用いて考える

y=x^2+2x-1

のグラフと

x

軸の位置関係を

調べるために $y=0$ を代入

【解答】

\def\FX{x^2+2x-1} \begin{align*} \FX &\colorbox{lightblue}{$\ \leqq\ 0$}　\color{blue}\footnotesize\bf ・・・下！\\ \color{red}\scriptsize「不等号を等号に！」& \color{red}\tiny \ \ \Darr したように見える\\ \FX &\ \colorbox{lightgreen}{$=$}\ 0\\ & \color{red}\scriptsize 　　\Darr 解の公式で！\\ x &\ =\ \dfrac{-2\pm\sqrt{4-4 \cdot (-1)}}{2}\\ & 　　　　\color{red}\scriptsize 　　\Darr\sqrt{4+4} \\ &\ =\ \dfrac{-2\pm\sqrt{8}}{2}\\ & 　　　\color{red}\scriptsize 　　　\Darr\sqrt{4 \cdot 2}\\ &\ =\ \dfrac{-2\pm 2\sqrt{2}}{2}\\ & 　　　\color{red}\scriptsize 　　　\Darr 分子を2で因数分解\\ &\ =\ \dfrac{2(-1\pm \sqrt{2})}{2}\\ & 　　　\color{red}\scriptsize 　　　\Darr 約分！\\ & = -1 \pm\sqrt{2}\\ \\ & = \colorbox{mistyrose}{$-1-\sqrt{2}$},\ \colorbox{lightcyan}{$-1+\sqrt{2}$} \end{align*}

よって，この２次不等式の解は

２つの値にはさまれているから

-1-\sqrt{2} \leqq x \leqq -1+\sqrt{2}

x^2-5 > 0

グラフを用いて考える

y=x^2-5

のグラフと

x

軸の位置関係を

調べるために $y=0$ を代入

【解答】

\def\FX{x^2-5} \begin{align*} \FX &\colorbox{pink}{$\ >\ 0$}　\color{red}\footnotesize\bf ・・・上！\\ \color{red}\scriptsize「不等号を等号に！」& \color{red}\tiny \ \ \Darr したように見える\\ \FX &\ \colorbox{lightgreen}{$=$}\ 0\\ & \color{red}\scriptsize 　　\Darr x^2=a になおす\\ x^2 &\ =\ 5\\ x &= \pm\sqrt{5}\\ & = \colorbox{mistyrose}{$-\sqrt{5}$},\ \colorbox{lightcyan}{$\sqrt{5}$} \end{align*}

よって，この２次不等式の解は

２つの値の左と右だから

x < -\sqrt{5},\ \sqrt{5} < x

-x^2+4x+1 \leqq 0

$x^2$ の係数をプラスにする！

両辺に $-1$ をかけて

x^2-4x-1 \geqq 0

グラフを用いて考える

y=x^2-4x-1

のグラフと

x

軸の位置関係を

調べるために $y=0$ を代入

【解答】

\def\FX{x^2-4x-1} \begin{align*} -x^2+4x+1&\ \leqq 0\\ \color{red}\scriptsize 両辺に -1をかける & \\ \FX &\colorbox{pink}{$\ \geqq\ 0$}　\color{red}\footnotesize\bf ・・・上！\\ \color{red}\scriptsize「不等号を等号に！」& \color{red}\tiny \ \ \Darr したように見える\\ \FX &\ \colorbox{lightgreen}{$=$}\ 0\\ & \color{red}\scriptsize 　　\Darr 解の公式で！\\ x &\ =\ \dfrac{4\pm\sqrt{16-4 \cdot (-1)}}{2}\\ & 　　　　\color{red}\scriptsize 　　\Darr\sqrt{16+4} \\ &\ =\ \dfrac{4\pm\sqrt{20}}{2}\\ & 　　　\color{red}\scriptsize 　　　\Darr\sqrt{4 \cdot 5}\\ &\ =\ \dfrac{4\pm 2\sqrt{5}}{2}\\ & 　　　\color{red}\scriptsize 　　　\Darr 分子を2で因数分解\\ &\ =\ \dfrac{2(2\pm \sqrt{5})}{2}\\ & 　　　\color{red}\scriptsize 　　　\Darr 約分！\\ & = 2 \pm\sqrt{5}\\ \\ & = \colorbox{mistyrose}{$2-\sqrt{5}$},\ \colorbox{lightcyan}{$2+\sqrt{5}$} \end{align*}

よって，この２次不等式の解は

２つの値の左と右だから

x \leqq 2-\sqrt{5},\ 2+\sqrt{5} \leqq x

-2x^2+x+1 < 0

$x^2$ の係数をプラスにする！

両辺に $-1$ をかけて

2x^2-x-1 > 0

グラフを用いて考える

y=2x^2-x-1

のグラフと

x

軸の位置関係を

調べるために $y=0$ を代入

【解答】

\def\FX{2x^2-x-1} \begin{align*} -2x^2+x+1&\ < 0\\ \color{red}\scriptsize 両辺に -1をかける & \\ \FX &\colorbox{pink}{$\ >\ 0$}　\color{red}\footnotesize\bf ・・・上！\\ \color{red}\scriptsize「不等号を等号に！」& \color{red}\tiny \ \ \Darr したように見える\\ \FX &\ \colorbox{lightgreen}{$=$}\ 0\\ (2x+1)(x-1) &\ =\ 0\\ x & = \colorbox{mistyrose}{$-\dfrac12$},\ \colorbox{lightcyan}{$1$} \end{align*}

よって，この２次不等式の解は

２つの値の左と右だから

x < -\dfrac12,\ 1 < x

-3x^2+5x-1 \geqq 0

$x^2$ の係数をプラスにする！

両辺に $-1$ をかけて

3x^2-5x+1 \leqq 0

グラフを用いて考える

y=3x^2-5x+1

のグラフと

x

軸の位置関係を

調べるために $y=0$ を代入

【解答】

\def\FX{3x^2-5x+1} \begin{align*} -3x^2+5x-1&\ \geqq 0\\ \color{red}\scriptsize 両辺に -1をかける & \\ \FX &\colorbox{lightblue}{$\ \leqq\ 0$}　\color{blue}\footnotesize\bf ・・・下！\\ \color{red}\scriptsize「不等号を等号に！」& \color{red}\tiny \ \ \Darr したように見える\\ \FX &\ \colorbox{lightgreen}{$=$}\ 0\\ & \color{red}\scriptsize 　　\Darr 解の公式で！\\ x &\ =\ \dfrac{5\pm\sqrt{25-4 \cdot 3}}{6}\\ & 　　　　\color{red}\scriptsize 　　\Darr\sqrt{25-12} \\ &\ =\ \dfrac{5\pm\sqrt{13}}{6}\\ \\ & = \colorbox{mistyrose}{$\dfrac{5-\sqrt{13}}{6}$},\ \colorbox{lightcyan}{$\dfrac{5+\sqrt{13}}{6}$} \end{align*}

よって，この２次不等式の解は

２つの値にはさまれているから

\dfrac{5-\sqrt{13}}{6} \leqq x \leqq \dfrac{5+\sqrt{13}}{6}

x^2-4x+4 > 0

グラフを用いて考える

y=x^2-4x+4

のグラフと

x

軸の位置関係を

調べるために $y=0$ を代入

【解答】

\def\FX{x^2-4x+4} \begin{align*} \FX &\colorbox{pink}{$\ >\ 0$}　\color{red}\footnotesize\bf ・・・上！\\ \color{red}\scriptsize「不等号を等号に！」& \color{red}\tiny \ \ \Darr したように見える\\ \FX &\ \colorbox{lightgreen}{$=$}\ 0\\ (x-2)^2 &\ =\ 0\\ x &\ =\ \colorbox{mistyrose}{$2$} \end{align*}

よって，この２次不等式の解は

２の左と，２の右・・・でも２は含まない！

2以外のすべての実数

x^2-4x+4 \geqq 0

グラフを用いて考える

y=x^2-4x+4

のグラフと

x

軸の位置関係を

調べるために $y=0$ を代入

【解答】

\def\FX{x^2-4x+4} \begin{align*} \FX &\colorbox{pink}{$\ \geqq\ 0$}　\color{red}\footnotesize\bf ・・・上！\\ \color{red}\scriptsize「不等号を等号に！」& \color{red}\tiny \ \ \Darr したように見える\\ \FX &\ \colorbox{lightgreen}{$=$}\ 0\\ (x-2)^2 &\ =\ 0\\ x &\ =\ \colorbox{mistyrose}{$2$} \end{align*}

よって，この２次不等式の解は

２と，２の左と，２の右・・・つまり

すべての実数

x^2+8x+16< 0

グラフを用いて考える

y=x^2+8x+16

のグラフと

x

軸の位置関係を

調べるために $y=0$ を代入

【解答】

\def\FX{x^2+8x+16} \begin{align*} \FX &\colorbox{lightblue}{$\ <\ 0$}　\color{blue}\footnotesize\bf ・・・下！\\ \color{red}\scriptsize「不等号を等号に！」& \color{red}\tiny \ \ \Darr したように見える\\ \FX &\ \colorbox{lightgreen}{$=$}\ 0\\ (x+4)^2 &\ =\ 0\\ x &\ =\ \colorbox{mistyrose}{$-4$} \end{align*}

よって，この２次不等式の解は

下にグラフはない・・・ $-4$ も含まない！

解はない

x^2+8x+16 \leqq 0

グラフを用いて考える

y=x^2+8x+16

のグラフと

x

軸の位置関係を

調べるために $y=0$ を代入

【解答】

\def\FX{x^2+8x+16} \begin{align*} \FX &\colorbox{lightblue}{$\ \leqq\ 0$}　\color{blue}\footnotesize\bf ・・・下！\\ \color{red}\scriptsize「不等号を等号に！」& \color{red}\tiny \ \ \Darr したように見える\\ \FX &\ \colorbox{lightgreen}{$=$}\ 0\\ (x+4)^2 &\ =\ 0\\ x &\ =\ \colorbox{mistyrose}{$-4$} \end{align*}

よって，この２次不等式の解は

下にグラフはない・・・でも $-4$ だけは含む！

x=-4

4x^2-4x+1 > 0

グラフを用いて考える

y=4x^2-4x+1

のグラフと

x

軸の位置関係を

調べるために $y=0$ を代入

【解答】

\def\FX{4x^2-4x+1} \begin{align*} \FX &\colorbox{pink}{$\ >\ 0$}　\color{red}\footnotesize\bf ・・・上！\\ \color{red}\scriptsize「不等号を等号に！」& \color{red}\tiny \ \ \Darr したように見える\\ \FX &\ \colorbox{lightgreen}{$=$}\ 0\\ (2x-1)^2 &\ =\ 0\\ x &\ =\ \colorbox{mistyrose}{$\dfrac12$} \end{align*}

よって，この２次不等式の解は

$\frac12$ の左と， $\frac12$ の右・・・でも $\frac12$ は含まない！

\dfrac12\ 以外のすべての実数

4x^2-4x+1 \geqq 0

グラフを用いて考える

y=4x^2-4x+1

のグラフと

x

軸の位置関係を

調べるために $y=0$ を代入

【解答】

\def\FX{4x^2-4x+1} \begin{align*} \FX &\colorbox{pink}{$\ \geqq\ 0$}　\color{red}\footnotesize\bf ・・・上！\\ \color{red}\scriptsize「不等号を等号に！」& \color{red}\tiny \ \ \Darr したように見える\\ \FX &\ \colorbox{lightgreen}{$=$}\ 0\\ (2x-1)^2 &\ =\ 0\\ x &\ =\ \colorbox{mistyrose}{$\dfrac12$} \end{align*}

よって，この２次不等式の解は

$\frac12$ と， $\frac12$ の左と， $\frac12$ の右・・・つまり

すべての実数

x^2-4x+6 > 0

グラフを用いて考える

y=x^2-4x+6

のグラフと

x

軸の位置関係を

調べるために $y=0$ を代入

【解答】

\def\FX{x^2-4x+6} \begin{align*} \FX &\colorbox{pink}{$\ >\ 0$}　\color{red}\footnotesize\bf ・・・上！\\ \color{red}\scriptsize「不等号を等号に！」& \color{red}\tiny \ \ \Darr したように見える\\ \FX &\ \colorbox{lightgreen}{$=$}\ 0\\ & \color{red}\scriptsize 　　\Darr 解の公式で！\\ x &\ =\ \dfrac{4\pm\sqrt{16-4 \cdot 6}}{2}\\ & 　　　　\color{red}\scriptsize 　　\Darr\sqrt{16-24} \\ &\ =\ \dfrac{4\pm\sqrt{-8}}{2}\\ \\ \color{red}\small\sqrt{マイナス}であるから,\ & \color{red}\small x軸と共有点をもたない \end{align*}

よって，この２次不等式の解は

グラフすべてが $x$ 軸より上にあるから

すべての実数

x^2-4x+6 \geqq 0

グラフを用いて考える

y=x^2-4x+6

のグラフと

x

軸の位置関係を

調べるために $y=0$ を代入

【解答】

\def\FX{x^2-4x+6} \begin{align*} \FX &\colorbox{pink}{$\ \geqq\ 0$}　\color{red}\footnotesize\bf ・・・上！\\ \color{red}\scriptsize「不等号を等号に！」& \color{red}\tiny \ \ \Darr したように見える\\ \FX &\ \colorbox{lightgreen}{$=$}\ 0\\ & \color{red}\scriptsize 　　\Darr 解の公式で！\\ x &\ =\ \dfrac{4\pm\sqrt{16-4 \cdot 6}}{2}\\ & 　　　　\color{red}\scriptsize 　　\Darr\sqrt{16-24} \\ &\ =\ \dfrac{4\pm\sqrt{-8}}{2}\\ \\ \color{red}\small\sqrt{マイナス}であるから,\ & \color{red}\small x軸と共有点をもたない \end{align*}

よって，この２次不等式の解は

グラフすべてが $x$ 軸より上にあるから

すべての実数

2x^2+4x+3 < 0

グラフを用いて考える

y=2x^2+4x+3

のグラフと

x

軸の位置関係を

調べるために $y=0$ を代入

【解答】

\def\FX{2x^2+4x+3} \begin{align*} \FX &\colorbox{lightblue}{$\ <\ 0$}　\color{blue}\footnotesize\bf ・・・下！\\ \color{red}\scriptsize「不等号を等号に！」& \color{red}\tiny \ \ \Darr したように見える\\ \FX &\ \colorbox{lightgreen}{$=$}\ 0\\ & \color{red}\scriptsize 　　\Darr 解の公式で！\\ x &\ =\ \dfrac{-4\pm\sqrt{16-4 \cdot 6}}{4}\\ & 　　　　\color{red}\scriptsize 　　\Darr\sqrt{16-24} \\ &\ =\ \dfrac{-4\pm\sqrt{-8}}{4}\\ \\ \color{red}\small\sqrt{マイナス}であるから,\ & \color{red}\small x軸と共有点をもたない \end{align*}

よって，この２次不等式の解は

$x$ 軸より下にグラフがないから

解はない

2x^2+4x+3 \leqq 0

グラフを用いて考える

y=2x^2+4x+3

のグラフと

x

軸の位置関係を

調べるために $y=0$ を代入

【解答】

\def\FX{2x^2+4x+3} \begin{align*} \FX &\colorbox{lightblue}{$\ \leqq\ 0$}　\color{blue}\footnotesize\bf ・・・下！\\ \color{red}\scriptsize「不等号を等号に！」& \color{red}\tiny \ \ \Darr したように見える\\ \FX &\ \colorbox{lightgreen}{$=$}\ 0\\ & \color{red}\scriptsize 　　\Darr 解の公式で！\\ x &\ =\ \dfrac{-4\pm\sqrt{16-4 \cdot 6}}{4}\\ & 　　　　\color{red}\scriptsize 　　\Darr\sqrt{16-24} \\ &\ =\ \dfrac{-4\pm\sqrt{-8}}{4}\\ \\ \color{red}\small\sqrt{マイナス}であるから,\ & \color{red}\small x軸と共有点をもたない \end{align*}

よって，この２次不等式の解は

$x$ 軸より下にグラフがないから

解はない

2x^2-3x+4 > 0

グラフを用いて考える

y=2x^2-3x+4

のグラフと

x

軸の位置関係を

調べるために $y=0$ を代入

【解答】

\def\FX{2x^2-3x+4} \begin{align*} \FX &\colorbox{pink}{$\ >\ 0$}　\color{red}\footnotesize\bf ・・・上！\\ \color{red}\scriptsize「不等号を等号に！」& \color{red}\tiny \ \ \Darr したように見える\\ \FX &\ \colorbox{lightgreen}{$=$}\ 0\\ & \color{red}\scriptsize 　　\Darr 解の公式で！\\ x &\ =\ \dfrac{3\pm\sqrt{9-4 \cdot 8}}{4}\\ & 　　　　\color{red}\scriptsize 　　\Darr\sqrt{9-32} \\ &\ =\ \dfrac{3\pm\sqrt{-23}}{4}\\ \\ \color{red}\small\sqrt{マイナス}であるから,\ & \color{red}\small x軸と共有点をもたない \end{align*}

よって，この２次不等式の解は

グラフすべてが $x$ 軸より上にあるから

すべての実数

x^2-3x+5 > 0

グラフを用いて考える

y=x^2-3x+5

のグラフと

x

軸の位置関係を

調べるために $y=0$ を代入

【解答】

\def\FX{x^2-3x+5} \begin{align*} \FX &\colorbox{pink}{$\ >\ 0$}　\color{red}\footnotesize\bf ・・・上！\\ \color{red}\scriptsize「不等号を等号に！」& \color{red}\tiny \ \ \Darr したように見える\\ \FX &\ \colorbox{lightgreen}{$=$}\ 0\\ & \color{red}\scriptsize 　　\Darr 解の公式で！\\ x &\ =\ \dfrac{3\pm\sqrt{9-4 \cdot 5}}{2}\\ & 　　　　\color{red}\scriptsize 　　\Darr\sqrt{9-20} \\ &\ =\ \dfrac{3\pm\sqrt{-11}}{2}\\ \\ \color{red}\small\sqrt{マイナス}であるから,\ & \color{red}\small x軸と共有点をもたない \end{align*}

よって，この２次不等式の解は

グラフすべてが $x$ 軸より上にあるから

すべての実数

-x^2+x-1 \geqq 0

$x^2$ の係数をプラスにする！

両辺に $-1$ をかけて

x^2-x+1 \leqq 0

グラフを用いて考える

y=x^2-x+1

のグラフと

x

軸の位置関係を

調べるために $y=0$ を代入

【解答】

\def\FX{x^2-x+1} \begin{align*} -x^2+x-1&\ \geqq 0\\ \color{red}\scriptsize 両辺に -1をかける & \\ \FX &\colorbox{lightblue}{$\ \leqq\ 0$}　\color{blue}\footnotesize\bf ・・・下！\\ \color{red}\scriptsize「不等号を等号に！」& \color{red}\tiny \ \ \Darr したように見える\\ \FX &\ \colorbox{lightgreen}{$=$}\ 0\\ & \color{red}\scriptsize 　　\Darr 解の公式で！\\ x &\ =\ \dfrac{1\pm\sqrt{1-4 \cdot 1}}{2}\\ & 　　　　\color{red}\scriptsize 　　\Darr\sqrt{1-4} \\ &\ =\ \dfrac{1\pm\sqrt{-3}}{2} \\ \color{red}\small\sqrt{マイナス}であるから,\ & \color{red}\small x軸と共有点をもたない \end{align*}

よって，この２次不等式の解は

$x$ 軸より下にグラフがないから

解はない

編集ログ

20210929…初版公開。問題数13。

ポイントを確認！

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