気になるところをタップして確認しましょう。
方程式 ax^2+bx+c=0 を解きましょう!
解の個数はいくつですか?
イコールあり \geqq 0

\Large x \leqq \alpha,\ \ \beta \leqq x
イコールなし < 0

\Large x < \alpha,\ \ \beta < x
イコールあり \leqq 0

\Large x \leqq \alpha,\ \ \beta \leqq x
イコールなし < 0

\Large x < \alpha,\ \ \beta < x

\Large \alpha\ 以外のすべての実数

\Large すべての実数

\Large 解はない

\Large x=\alpha

\Large すべての実数

\Large 解はない
何度も解いて体で覚えましょう!
次の2次不等式を解け。
グラフを用いて考える
y=2x^2-5x+2 のグラフと x 軸の位置関係を調べるために y=0 を代入
【解答】
\def\FX{2x^2-5x+2} \begin{align*} \FX &\colorbox{pink}{$\ \geqq\ 0$} \color{red}\footnotesize\bf ・・・下!\\ \color{red}\scriptsize「不等号を等号に!」& \color{red}\tiny \ \ \Darr したように見える\\ \FX &\ \colorbox{lightgreen}{$=$}\ 0\\ (2x-1)(x-2) &\ =\ 0\\ x & = \colorbox{mistyrose}{$\dfrac12$},\ \colorbox{lightcyan}{$2$} \end{align*}

よって,この2次不等式の解は
2つの値の左と右だから
x \leqq \frac12,\ 2 \leqq x
グラフを用いて考える
y=2x^2+5x+3 のグラフと x 軸の位置関係を調べるために y=0 を代入
【解答】
\def\FX{2x^2+5x+3} \begin{align*} \FX &\colorbox{lightblue}{$\ <\ 0$} \color{blue}\footnotesize\bf ・・・下!\\ \color{red}\scriptsize「不等号を等号に!」& \color{red}\tiny \ \ \Darr したように見える\\ \FX &\ \colorbox{lightgreen}{$=$}\ 0\\ (x+1)(2x+3) &\ =\ 0 \\ x & = \colorbox{mistyrose}{$-\dfrac32$},\ \colorbox{lightcyan}{$-1$} \end{align*}

よって,この2次不等式の解は
2つの値にはさまれているから
-\dfrac32 < x < -1
グラフを用いて考える
y=x^2+2x-1 のグラフと x 軸の位置関係を調べるために y=0 を代入
【解答】
\def\FX{x^2+2x-1} \begin{align*} \FX &\colorbox{lightblue}{$\ \leqq\ 0$} \color{blue}\footnotesize\bf ・・・下!\\ \color{red}\scriptsize「不等号を等号に!」& \color{red}\tiny \ \ \Darr したように見える\\ \FX &\ \colorbox{lightgreen}{$=$}\ 0\\ & \color{red}\scriptsize \Darr 解の公式で!\\ x &\ =\ \dfrac{-2\pm\sqrt{4-4 \cdot (-1)}}{2}\\ & \color{red}\scriptsize \Darr\sqrt{4+4} \\ &\ =\ \dfrac{-2\pm\sqrt{8}}{2}\\ & \color{red}\scriptsize \Darr\sqrt{4 \cdot 2}\\ &\ =\ \dfrac{-2\pm 2\sqrt{2}}{2}\\ & \color{red}\scriptsize \Darr 分子を2で因数分解\\ &\ =\ \dfrac{2(-1\pm \sqrt{2})}{2}\\ & \color{red}\scriptsize \Darr 約分!\\ & = -1 \pm\sqrt{2}\\ \\ & = \colorbox{mistyrose}{$-1-\sqrt{2}$},\ \colorbox{lightcyan}{$-1+\sqrt{2}$} \end{align*}

よって,この2次不等式の解は
2つの値にはさまれているから
-1-\sqrt{2} \leqq x \leqq -1+\sqrt{2}
グラフを用いて考える
y=x^2-5 のグラフと x 軸の位置関係を調べるために y=0 を代入
【解答】
\def\FX{x^2-5} \begin{align*} \FX &\colorbox{pink}{$\ >\ 0$} \color{red}\footnotesize\bf ・・・上!\\ \color{red}\scriptsize「不等号を等号に!」& \color{red}\tiny \ \ \Darr したように見える\\ \FX &\ \colorbox{lightgreen}{$=$}\ 0\\ & \color{red}\scriptsize \Darr x^2=a になおす\\ x^2 &\ =\ 5\\ x &= \pm\sqrt{5}\\ & = \colorbox{mistyrose}{$-\sqrt{5}$},\ \colorbox{lightcyan}{$\sqrt{5}$} \end{align*}

よって,この2次不等式の解は
2つの値の左と右だから
x < -\sqrt{5},\ \sqrt{5} < x
x^2 の係数をプラスにする!
両辺に -1 をかけて
x^2-4x-1 \geqq 0
グラフを用いて考える
y=x^2-4x-1 のグラフと x 軸の位置関係を調べるために y=0 を代入
【解答】
\def\FX{x^2-4x-1} \begin{align*} -x^2+4x+1&\ \leqq 0\\ \color{red}\scriptsize 両辺に -1をかける & \\ \FX &\colorbox{pink}{$\ \geqq\ 0$} \color{red}\footnotesize\bf ・・・上!\\ \color{red}\scriptsize「不等号を等号に!」& \color{red}\tiny \ \ \Darr したように見える\\ \FX &\ \colorbox{lightgreen}{$=$}\ 0\\ & \color{red}\scriptsize \Darr 解の公式で!\\ x &\ =\ \dfrac{4\pm\sqrt{16-4 \cdot (-1)}}{2}\\ & \color{red}\scriptsize \Darr\sqrt{16+4} \\ &\ =\ \dfrac{4\pm\sqrt{20}}{2}\\ & \color{red}\scriptsize \Darr\sqrt{4 \cdot 5}\\ &\ =\ \dfrac{4\pm 2\sqrt{5}}{2}\\ & \color{red}\scriptsize \Darr 分子を2で因数分解\\ &\ =\ \dfrac{2(2\pm \sqrt{5})}{2}\\ & \color{red}\scriptsize \Darr 約分!\\ & = 2 \pm\sqrt{5}\\ \\ & = \colorbox{mistyrose}{$2-\sqrt{5}$},\ \colorbox{lightcyan}{$2+\sqrt{5}$} \end{align*}

よって,この2次不等式の解は
2つの値の左と右だから
x \leqq 2-\sqrt{5},\ 2+\sqrt{5} \leqq x
x^2 の係数をプラスにする!
両辺に -1 をかけて
2x^2-x-1 > 0
グラフを用いて考える
y=2x^2-x-1 のグラフと x 軸の位置関係を調べるために y=0 を代入
【解答】
\def\FX{2x^2-x-1} \begin{align*} -2x^2+x+1&\ < 0\\ \color{red}\scriptsize 両辺に -1をかける & \\ \FX &\colorbox{pink}{$\ >\ 0$} \color{red}\footnotesize\bf ・・・上!\\ \color{red}\scriptsize「不等号を等号に!」& \color{red}\tiny \ \ \Darr したように見える\\ \FX &\ \colorbox{lightgreen}{$=$}\ 0\\ (2x+1)(x-1) &\ =\ 0\\ x & = \colorbox{mistyrose}{$-\dfrac12$},\ \colorbox{lightcyan}{$1$} \end{align*}

よって,この2次不等式の解は
2つの値の左と右だから
x < -\dfrac12,\ 1 < x
x^2 の係数をプラスにする!
両辺に -1 をかけて
3x^2-5x+1 \leqq 0
グラフを用いて考える
y=3x^2-5x+1 のグラフと x 軸の位置関係を調べるために y=0 を代入
【解答】
\def\FX{3x^2-5x+1} \begin{align*} -3x^2+5x-1&\ \geqq 0\\ \color{red}\scriptsize 両辺に -1をかける & \\ \FX &\colorbox{lightblue}{$\ \leqq\ 0$} \color{blue}\footnotesize\bf ・・・下!\\ \color{red}\scriptsize「不等号を等号に!」& \color{red}\tiny \ \ \Darr したように見える\\ \FX &\ \colorbox{lightgreen}{$=$}\ 0\\ & \color{red}\scriptsize \Darr 解の公式で!\\ x &\ =\ \dfrac{5\pm\sqrt{25-4 \cdot 3}}{6}\\ & \color{red}\scriptsize \Darr\sqrt{25-12} \\ &\ =\ \dfrac{5\pm\sqrt{13}}{6}\\ \\ & = \colorbox{mistyrose}{$\dfrac{5-\sqrt{13}}{6}$},\ \colorbox{lightcyan}{$\dfrac{5+\sqrt{13}}{6}$} \end{align*}

よって,この2次不等式の解は
2つの値にはさまれているから
\dfrac{5-\sqrt{13}}{6} \leqq x \leqq \dfrac{5+\sqrt{13}}{6}
グラフを用いて考える
y=x^2-4x+4 のグラフと x 軸の位置関係を調べるために y=0 を代入
【解答】
\def\FX{x^2-4x+4} \begin{align*} \FX &\colorbox{pink}{$\ >\ 0$} \color{red}\footnotesize\bf ・・・上!\\ \color{red}\scriptsize「不等号を等号に!」& \color{red}\tiny \ \ \Darr したように見える\\ \FX &\ \colorbox{lightgreen}{$=$}\ 0\\ (x-2)^2 &\ =\ 0\\ x &\ =\ \colorbox{mistyrose}{$2$} \end{align*}

よって,この2次不等式の解は
2の左と,2の右・・・でも2は含まない!
2以外のすべての実数
グラフを用いて考える
y=x^2-4x+4 のグラフと x 軸の位置関係を調べるために y=0 を代入
【解答】
\def\FX{x^2-4x+4} \begin{align*} \FX &\colorbox{pink}{$\ \geqq\ 0$} \color{red}\footnotesize\bf ・・・上!\\ \color{red}\scriptsize「不等号を等号に!」& \color{red}\tiny \ \ \Darr したように見える\\ \FX &\ \colorbox{lightgreen}{$=$}\ 0\\ (x-2)^2 &\ =\ 0\\ x &\ =\ \colorbox{mistyrose}{$2$} \end{align*}

よって,この2次不等式の解は
2と,2の左と,2の右・・・つまり
すべての実数
グラフを用いて考える
y=x^2+8x+16 のグラフと x 軸の位置関係を調べるために y=0 を代入
【解答】
\def\FX{x^2+8x+16} \begin{align*} \FX &\colorbox{lightblue}{$\ <\ 0$} \color{blue}\footnotesize\bf ・・・下!\\ \color{red}\scriptsize「不等号を等号に!」& \color{red}\tiny \ \ \Darr したように見える\\ \FX &\ \colorbox{lightgreen}{$=$}\ 0\\ (x+4)^2 &\ =\ 0\\ x &\ =\ \colorbox{mistyrose}{$-4$} \end{align*}

よって,この2次不等式の解は
下にグラフはない・・・-4 も含まない!
解はない
グラフを用いて考える
y=x^2+8x+16 のグラフと x 軸の位置関係を調べるために y=0 を代入
【解答】
\def\FX{x^2+8x+16} \begin{align*} \FX &\colorbox{lightblue}{$\ \leqq\ 0$} \color{blue}\footnotesize\bf ・・・下!\\ \color{red}\scriptsize「不等号を等号に!」& \color{red}\tiny \ \ \Darr したように見える\\ \FX &\ \colorbox{lightgreen}{$=$}\ 0\\ (x+4)^2 &\ =\ 0\\ x &\ =\ \colorbox{mistyrose}{$-4$} \end{align*}

よって,この2次不等式の解は
下にグラフはない・・・でも -4 だけは含む!
x=-4
グラフを用いて考える
y=4x^2-4x+1 のグラフと x 軸の位置関係を調べるために y=0 を代入
【解答】
\def\FX{4x^2-4x+1} \begin{align*} \FX &\colorbox{pink}{$\ >\ 0$} \color{red}\footnotesize\bf ・・・上!\\ \color{red}\scriptsize「不等号を等号に!」& \color{red}\tiny \ \ \Darr したように見える\\ \FX &\ \colorbox{lightgreen}{$=$}\ 0\\ (2x-1)^2 &\ =\ 0\\ x &\ =\ \colorbox{mistyrose}{$\dfrac12$} \end{align*}

よって,この2次不等式の解は
\frac12 の左と,\frac12の右・・・でも \frac12は含まない!
\dfrac12\ 以外のすべての実数
グラフを用いて考える
y=4x^2-4x+1 のグラフと x 軸の位置関係を調べるために y=0 を代入
【解答】
\def\FX{4x^2-4x+1} \begin{align*} \FX &\colorbox{pink}{$\ \geqq\ 0$} \color{red}\footnotesize\bf ・・・上!\\ \color{red}\scriptsize「不等号を等号に!」& \color{red}\tiny \ \ \Darr したように見える\\ \FX &\ \colorbox{lightgreen}{$=$}\ 0\\ (2x-1)^2 &\ =\ 0\\ x &\ =\ \colorbox{mistyrose}{$\dfrac12$} \end{align*}

よって,この2次不等式の解は
\frac12と,\frac12 の左と,\frac12 の右・・・つまり
すべての実数
グラフを用いて考える
y=x^2-4x+6 のグラフと x 軸の位置関係を調べるために y=0 を代入
【解答】
\def\FX{x^2-4x+6} \begin{align*} \FX &\colorbox{pink}{$\ >\ 0$} \color{red}\footnotesize\bf ・・・上!\\ \color{red}\scriptsize「不等号を等号に!」& \color{red}\tiny \ \ \Darr したように見える\\ \FX &\ \colorbox{lightgreen}{$=$}\ 0\\ & \color{red}\scriptsize \Darr 解の公式で!\\ x &\ =\ \dfrac{4\pm\sqrt{16-4 \cdot 6}}{2}\\ & \color{red}\scriptsize \Darr\sqrt{16-24} \\ &\ =\ \dfrac{4\pm\sqrt{-8}}{2}\\ \\ \color{red}\small\sqrt{マイナス}であるから,\ & \color{red}\small x軸と共有点をもたない \end{align*}

よって,この2次不等式の解は
グラフすべてが x 軸より上にあるから
すべての実数
グラフを用いて考える
y=x^2-4x+6 のグラフと x 軸の位置関係を調べるために y=0 を代入
【解答】
\def\FX{x^2-4x+6} \begin{align*} \FX &\colorbox{pink}{$\ \geqq\ 0$} \color{red}\footnotesize\bf ・・・上!\\ \color{red}\scriptsize「不等号を等号に!」& \color{red}\tiny \ \ \Darr したように見える\\ \FX &\ \colorbox{lightgreen}{$=$}\ 0\\ & \color{red}\scriptsize \Darr 解の公式で!\\ x &\ =\ \dfrac{4\pm\sqrt{16-4 \cdot 6}}{2}\\ & \color{red}\scriptsize \Darr\sqrt{16-24} \\ &\ =\ \dfrac{4\pm\sqrt{-8}}{2}\\ \\ \color{red}\small\sqrt{マイナス}であるから,\ & \color{red}\small x軸と共有点をもたない \end{align*}

よって,この2次不等式の解は
グラフすべてが x 軸より上にあるから
すべての実数
グラフを用いて考える
y=2x^2+4x+3 のグラフと x 軸の位置関係を調べるために y=0 を代入
【解答】
\def\FX{2x^2+4x+3} \begin{align*} \FX &\colorbox{lightblue}{$\ <\ 0$} \color{blue}\footnotesize\bf ・・・下!\\ \color{red}\scriptsize「不等号を等号に!」& \color{red}\tiny \ \ \Darr したように見える\\ \FX &\ \colorbox{lightgreen}{$=$}\ 0\\ & \color{red}\scriptsize \Darr 解の公式で!\\ x &\ =\ \dfrac{-4\pm\sqrt{16-4 \cdot 6}}{4}\\ & \color{red}\scriptsize \Darr\sqrt{16-24} \\ &\ =\ \dfrac{-4\pm\sqrt{-8}}{4}\\ \\ \color{red}\small\sqrt{マイナス}であるから,\ & \color{red}\small x軸と共有点をもたない \end{align*}

よって,この2次不等式の解は
x 軸より下にグラフがないから
解はない
グラフを用いて考える
y=2x^2+4x+3 のグラフと x 軸の位置関係を調べるために y=0 を代入
【解答】
\def\FX{2x^2+4x+3} \begin{align*} \FX &\colorbox{lightblue}{$\ \leqq\ 0$} \color{blue}\footnotesize\bf ・・・下!\\ \color{red}\scriptsize「不等号を等号に!」& \color{red}\tiny \ \ \Darr したように見える\\ \FX &\ \colorbox{lightgreen}{$=$}\ 0\\ & \color{red}\scriptsize \Darr 解の公式で!\\ x &\ =\ \dfrac{-4\pm\sqrt{16-4 \cdot 6}}{4}\\ & \color{red}\scriptsize \Darr\sqrt{16-24} \\ &\ =\ \dfrac{-4\pm\sqrt{-8}}{4}\\ \\ \color{red}\small\sqrt{マイナス}であるから,\ & \color{red}\small x軸と共有点をもたない \end{align*}

よって,この2次不等式の解は
x 軸より下にグラフがないから
解はない
グラフを用いて考える
y=2x^2-3x+4 のグラフと x 軸の位置関係を調べるために y=0 を代入
【解答】
\def\FX{2x^2-3x+4} \begin{align*} \FX &\colorbox{pink}{$\ >\ 0$} \color{red}\footnotesize\bf ・・・上!\\ \color{red}\scriptsize「不等号を等号に!」& \color{red}\tiny \ \ \Darr したように見える\\ \FX &\ \colorbox{lightgreen}{$=$}\ 0\\ & \color{red}\scriptsize \Darr 解の公式で!\\ x &\ =\ \dfrac{3\pm\sqrt{9-4 \cdot 8}}{4}\\ & \color{red}\scriptsize \Darr\sqrt{9-32} \\ &\ =\ \dfrac{3\pm\sqrt{-23}}{4}\\ \\ \color{red}\small\sqrt{マイナス}であるから,\ & \color{red}\small x軸と共有点をもたない \end{align*}

よって,この2次不等式の解は
グラフすべてが x 軸より上にあるから
すべての実数
グラフを用いて考える
y=x^2-3x+5 のグラフと x 軸の位置関係を調べるために y=0 を代入
【解答】
\def\FX{x^2-3x+5} \begin{align*} \FX &\colorbox{pink}{$\ >\ 0$} \color{red}\footnotesize\bf ・・・上!\\ \color{red}\scriptsize「不等号を等号に!」& \color{red}\tiny \ \ \Darr したように見える\\ \FX &\ \colorbox{lightgreen}{$=$}\ 0\\ & \color{red}\scriptsize \Darr 解の公式で!\\ x &\ =\ \dfrac{3\pm\sqrt{9-4 \cdot 5}}{2}\\ & \color{red}\scriptsize \Darr\sqrt{9-20} \\ &\ =\ \dfrac{3\pm\sqrt{-11}}{2}\\ \\ \color{red}\small\sqrt{マイナス}であるから,\ & \color{red}\small x軸と共有点をもたない \end{align*}

よって,この2次不等式の解は
グラフすべてが x 軸より上にあるから
すべての実数
x^2 の係数をプラスにする!
両辺に -1 をかけて
x^2-x+1 \leqq 0
グラフを用いて考える
y=x^2-x+1 のグラフと x 軸の位置関係を調べるために y=0 を代入
【解答】
\def\FX{x^2-x+1} \begin{align*} -x^2+x-1&\ \geqq 0\\ \color{red}\scriptsize 両辺に -1をかける & \\ \FX &\colorbox{lightblue}{$\ \leqq\ 0$} \color{blue}\footnotesize\bf ・・・下!\\ \color{red}\scriptsize「不等号を等号に!」& \color{red}\tiny \ \ \Darr したように見える\\ \FX &\ \colorbox{lightgreen}{$=$}\ 0\\ & \color{red}\scriptsize \Darr 解の公式で!\\ x &\ =\ \dfrac{1\pm\sqrt{1-4 \cdot 1}}{2}\\ & \color{red}\scriptsize \Darr\sqrt{1-4} \\ &\ =\ \dfrac{1\pm\sqrt{-3}}{2} \\ \color{red}\small\sqrt{マイナス}であるから,\ & \color{red}\small x軸と共有点をもたない \end{align*}

よって,この2次不等式の解は
x 軸より下にグラフがないから
解はない
- 20210929…初版公開。問題数13。