2次不等式を解く

ポイントを確認!

気になるところをタップして確認しましょう。

方程式 ax^2+bx+c=0 を解きましょう!

解の個数はいくつですか?

イコールあり \geqq 0

\Large x \leqq \alpha,\ \ \beta \leqq x

イコールなし < 0

\Large x < \alpha,\ \ \beta < x

イコールあり \leqq 0

\Large x \leqq \alpha,\ \ \beta \leqq x

イコールなし < 0

\Large x < \alpha,\ \ \beta < x
\Large \alpha\ 以外のすべての実数
\Large すべての実数
\Large 解はない
\Large x=\alpha
\Large すべての実数
\Large 解はない

練習問題にチャレンジ!

何度も解いて体で覚えましょう!

次の2次不等式を解け。

グラフを用いて考える

y=2x^2-5x+2グラフと xの位置関係を

調べるために y=0 を代入

【解答】

\def\FX{2x^2-5x+2}
\begin{align*}
\FX &\colorbox{pink}{$\ \geqq\ 0$} \color{red}\footnotesize\bf ・・・下!\\
\color{red}\scriptsize「不等号を等号に!」& \color{red}\tiny \ \ \Darr したように見える\\
\FX &\ \colorbox{lightgreen}{$=$}\ 0\\
(2x-1)(x-2) &\ =\ 0\\
x & = \colorbox{mistyrose}{$\dfrac12$},\ \colorbox{lightcyan}{$2$}
\end{align*}

よって,この2次不等式の解は

2つの値の左と右だから

x \leqq \frac12,\ 2 \leqq x

グラフを用いて考える

y=2x^2+5x+3グラフと xの位置関係を

調べるために y=0 を代入

【解答】

\def\FX{2x^2+5x+3}
\begin{align*}
\FX &\colorbox{lightblue}{$\ <\ 0$} \color{blue}\footnotesize\bf ・・・下!\\
\color{red}\scriptsize「不等号を等号に!」& \color{red}\tiny \ \ \Darr したように見える\\
\FX &\ \colorbox{lightgreen}{$=$}\ 0\\
(x+1)(2x+3) &\ =\ 0
\\
x & = \colorbox{mistyrose}{$-\dfrac32$},\ \colorbox{lightcyan}{$-1$}
\end{align*}

よって,この2次不等式の解は

2つの値にはさまれているから

-\dfrac32 < x < -1

グラフを用いて考える

y=x^2+2x-1グラフと xの位置関係を

調べるために y=0 を代入

【解答】

\def\FX{x^2+2x-1}
\begin{align*}
\FX &\colorbox{lightblue}{$\ \leqq\ 0$} \color{blue}\footnotesize\bf ・・・下!\\
\color{red}\scriptsize「不等号を等号に!」& \color{red}\tiny \ \ \Darr したように見える\\
\FX &\ \colorbox{lightgreen}{$=$}\ 0\\
& \color{red}\scriptsize   \Darr 解の公式で!\\
x &\ =\ \dfrac{-2\pm\sqrt{4-4 \cdot (-1)}}{2}\\
&     \color{red}\scriptsize   \Darr\sqrt{4+4}
\\
&\ =\ \dfrac{-2\pm\sqrt{8}}{2}\\
&    \color{red}\scriptsize    \Darr\sqrt{4 \cdot 2}\\
&\ =\ \dfrac{-2\pm 2\sqrt{2}}{2}\\
&    \color{red}\scriptsize    \Darr 分子を2で因数分解\\
&\ =\ \dfrac{2(-1\pm \sqrt{2})}{2}\\
&    \color{red}\scriptsize    \Darr 約分!\\
& = -1 \pm\sqrt{2}\\
\\
& = \colorbox{mistyrose}{$-1-\sqrt{2}$},\ \colorbox{lightcyan}{$-1+\sqrt{2}$}
\end{align*}

よって,この2次不等式の解は

2つの値にはさまれているから

-1-\sqrt{2} \leqq x \leqq -1+\sqrt{2}

グラフを用いて考える

y=x^2-5グラフと xの位置関係を

調べるために y=0 を代入

【解答】

\def\FX{x^2-5}
\begin{align*}
\FX &\colorbox{pink}{$\ >\ 0$} \color{red}\footnotesize\bf ・・・上!\\
\color{red}\scriptsize「不等号を等号に!」& \color{red}\tiny \ \ \Darr したように見える\\
\FX &\ \colorbox{lightgreen}{$=$}\ 0\\
& \color{red}\scriptsize   \Darr x^2=a になおす\\
x^2 &\ =\ 5\\
x &= \pm\sqrt{5}\\
& = \colorbox{mistyrose}{$-\sqrt{5}$},\ \colorbox{lightcyan}{$\sqrt{5}$}
\end{align*}

よって,この2次不等式の解は

2つの値の左と右だから

x < -\sqrt{5},\ \sqrt{5} < x

x^2 の係数をプラスにする!

両辺に -1 をかけて

x^2-4x-1 \geqq 0

グラフを用いて考える

y=x^2-4x-1グラフと xの位置関係を

調べるために y=0 を代入

【解答】

\def\FX{x^2-4x-1}
\begin{align*}
-x^2+4x+1&\ \leqq 0\\
\color{red}\scriptsize 両辺に -1をかける & \\
\FX &\colorbox{pink}{$\ \geqq\ 0$} \color{red}\footnotesize\bf ・・・上!\\
\color{red}\scriptsize「不等号を等号に!」& \color{red}\tiny \ \ \Darr したように見える\\
\FX &\ \colorbox{lightgreen}{$=$}\ 0\\
& \color{red}\scriptsize   \Darr 解の公式で!\\
x &\ =\ \dfrac{4\pm\sqrt{16-4 \cdot (-1)}}{2}\\
&     \color{red}\scriptsize   \Darr\sqrt{16+4}
\\
&\ =\ \dfrac{4\pm\sqrt{20}}{2}\\
&    \color{red}\scriptsize    \Darr\sqrt{4 \cdot 5}\\
&\ =\ \dfrac{4\pm 2\sqrt{5}}{2}\\
&    \color{red}\scriptsize    \Darr 分子を2で因数分解\\
&\ =\ \dfrac{2(2\pm \sqrt{5})}{2}\\
&    \color{red}\scriptsize    \Darr 約分!\\
& = 2 \pm\sqrt{5}\\
\\
& = \colorbox{mistyrose}{$2-\sqrt{5}$},\ \colorbox{lightcyan}{$2+\sqrt{5}$}
\end{align*}

よって,この2次不等式の解は

2つの値の左と右だから

x \leqq 2-\sqrt{5},\ 2+\sqrt{5} \leqq x

x^2 の係数をプラスにする!

両辺に -1 をかけて

2x^2-x-1 > 0

グラフを用いて考える

y=2x^2-x-1グラフと xの位置関係を

調べるために y=0 を代入

【解答】

\def\FX{2x^2-x-1}
\begin{align*}
-2x^2+x+1&\ < 0\\
\color{red}\scriptsize 両辺に -1をかける & \\
\FX &\colorbox{pink}{$\ >\ 0$} \color{red}\footnotesize\bf ・・・上!\\
\color{red}\scriptsize「不等号を等号に!」& \color{red}\tiny \ \ \Darr したように見える\\
\FX &\ \colorbox{lightgreen}{$=$}\ 0\\
(2x+1)(x-1) &\ =\ 0\\
x & = \colorbox{mistyrose}{$-\dfrac12$},\ \colorbox{lightcyan}{$1$}
\end{align*}

よって,この2次不等式の解は

2つの値の左と右だから

x < -\dfrac12,\ 1 < x

x^2 の係数をプラスにする!

両辺に -1 をかけて

3x^2-5x+1 \leqq 0

グラフを用いて考える

y=3x^2-5x+1グラフと xの位置関係を

調べるために y=0 を代入

【解答】

\def\FX{3x^2-5x+1}
\begin{align*}
-3x^2+5x-1&\ \geqq 0\\
\color{red}\scriptsize 両辺に -1をかける & \\
\FX &\colorbox{lightblue}{$\ \leqq\ 0$} \color{blue}\footnotesize\bf ・・・下!\\
\color{red}\scriptsize「不等号を等号に!」& \color{red}\tiny \ \ \Darr したように見える\\
\FX &\ \colorbox{lightgreen}{$=$}\ 0\\
& \color{red}\scriptsize   \Darr 解の公式で!\\
x &\ =\ \dfrac{5\pm\sqrt{25-4 \cdot 3}}{6}\\
&     \color{red}\scriptsize   \Darr\sqrt{25-12}
\\
&\ =\ \dfrac{5\pm\sqrt{13}}{6}\\
\\
& = \colorbox{mistyrose}{$\dfrac{5-\sqrt{13}}{6}$},\ \colorbox{lightcyan}{$\dfrac{5+\sqrt{13}}{6}$}
\end{align*}

よって,この2次不等式の解は

2つの値にはさまれているから

\dfrac{5-\sqrt{13}}{6} \leqq x \leqq \dfrac{5+\sqrt{13}}{6}

グラフを用いて考える

y=x^2-4x+4グラフと xの位置関係を

調べるために y=0 を代入

【解答】

\def\FX{x^2-4x+4}
\begin{align*}
\FX &\colorbox{pink}{$\ >\ 0$} \color{red}\footnotesize\bf ・・・上!\\
\color{red}\scriptsize「不等号を等号に!」& \color{red}\tiny \ \ \Darr したように見える\\
\FX &\ \colorbox{lightgreen}{$=$}\ 0\\
(x-2)^2 &\ =\ 0\\
x &\ =\ \colorbox{mistyrose}{$2$}
\end{align*}

よって,この2次不等式の解は

2の左と,2の右・・・でも2は含まない!

2以外のすべての実数

グラフを用いて考える

y=x^2-4x+4グラフと xの位置関係を

調べるために y=0 を代入

【解答】

\def\FX{x^2-4x+4}
\begin{align*}
\FX &\colorbox{pink}{$\ \geqq\ 0$} \color{red}\footnotesize\bf ・・・上!\\
\color{red}\scriptsize「不等号を等号に!」& \color{red}\tiny \ \ \Darr したように見える\\
\FX &\ \colorbox{lightgreen}{$=$}\ 0\\
(x-2)^2 &\ =\ 0\\
x &\ =\ \colorbox{mistyrose}{$2$}
\end{align*}

よって,この2次不等式の解は

2と,2の左と,2の右・・・つまり

すべての実数

グラフを用いて考える

y=x^2+8x+16グラフと xの位置関係を

調べるために y=0 を代入

【解答】

\def\FX{x^2+8x+16}
\begin{align*}
\FX &\colorbox{lightblue}{$\ <\ 0$} \color{blue}\footnotesize\bf ・・・下!\\
\color{red}\scriptsize「不等号を等号に!」& \color{red}\tiny \ \ \Darr したように見える\\
\FX &\ \colorbox{lightgreen}{$=$}\ 0\\
(x+4)^2 &\ =\ 0\\
x &\ =\ \colorbox{mistyrose}{$-4$}
\end{align*}

よって,この2次不等式の解は

下にグラフはない・・・-4 も含まない!

解はない

グラフを用いて考える

y=x^2+8x+16グラフと xの位置関係を

調べるために y=0 を代入

【解答】

\def\FX{x^2+8x+16}
\begin{align*}
\FX &\colorbox{lightblue}{$\ \leqq\ 0$} \color{blue}\footnotesize\bf ・・・下!\\
\color{red}\scriptsize「不等号を等号に!」& \color{red}\tiny \ \ \Darr したように見える\\
\FX &\ \colorbox{lightgreen}{$=$}\ 0\\
(x+4)^2 &\ =\ 0\\
x &\ =\ \colorbox{mistyrose}{$-4$}
\end{align*}

よって,この2次不等式の解は

下にグラフはない・・・でも -4 だけは含む!

x=-4

グラフを用いて考える

y=4x^2-4x+1グラフと xの位置関係を

調べるために y=0 を代入

【解答】

\def\FX{4x^2-4x+1}
\begin{align*}
\FX &\colorbox{pink}{$\ >\ 0$} \color{red}\footnotesize\bf ・・・上!\\
\color{red}\scriptsize「不等号を等号に!」& \color{red}\tiny \ \ \Darr したように見える\\
\FX &\ \colorbox{lightgreen}{$=$}\ 0\\
(2x-1)^2 &\ =\ 0\\
x &\ =\ \colorbox{mistyrose}{$\dfrac12$}
\end{align*}

よって,この2次不等式の解は

\frac12 の左と,\frac12の右・・・でも \frac12は含まない!

\dfrac12\  以外のすべての実数

グラフを用いて考える

y=4x^2-4x+1グラフと xの位置関係を

調べるために y=0 を代入

【解答】

\def\FX{4x^2-4x+1}
\begin{align*}
\FX &\colorbox{pink}{$\ \geqq\ 0$} \color{red}\footnotesize\bf ・・・上!\\
\color{red}\scriptsize「不等号を等号に!」& \color{red}\tiny \ \ \Darr したように見える\\
\FX &\ \colorbox{lightgreen}{$=$}\ 0\\
(2x-1)^2 &\ =\ 0\\
x &\ =\ \colorbox{mistyrose}{$\dfrac12$}
\end{align*}

よって,この2次不等式の解は

\frac12と,\frac12 の左と,\frac12 の右・・・つまり

すべての実数

グラフを用いて考える

y=x^2-4x+6グラフと xの位置関係を

調べるために y=0 を代入

【解答】

\def\FX{x^2-4x+6}
\begin{align*}
\FX &\colorbox{pink}{$\ >\ 0$} \color{red}\footnotesize\bf ・・・上!\\
\color{red}\scriptsize「不等号を等号に!」& \color{red}\tiny \ \ \Darr したように見える\\
\FX &\ \colorbox{lightgreen}{$=$}\ 0\\
& \color{red}\scriptsize   \Darr 解の公式で!\\
x &\ =\ \dfrac{4\pm\sqrt{16-4 \cdot 6}}{2}\\
&     \color{red}\scriptsize   \Darr\sqrt{16-24}
\\
&\ =\ \dfrac{4\pm\sqrt{-8}}{2}\\
\\
\color{red}\small\sqrt{マイナス}であるから,\ & \color{red}\small x軸と共有点をもたない
\end{align*}

よって,この2次不等式の解は

グラフすべてが x 軸より上にあるから

すべての実数

グラフを用いて考える

y=x^2-4x+6グラフと xの位置関係を

調べるために y=0 を代入

【解答】

\def\FX{x^2-4x+6}
\begin{align*}
\FX &\colorbox{pink}{$\ \geqq\ 0$} \color{red}\footnotesize\bf ・・・上!\\
\color{red}\scriptsize「不等号を等号に!」& \color{red}\tiny \ \ \Darr したように見える\\
\FX &\ \colorbox{lightgreen}{$=$}\ 0\\
& \color{red}\scriptsize   \Darr 解の公式で!\\
x &\ =\ \dfrac{4\pm\sqrt{16-4 \cdot 6}}{2}\\
&     \color{red}\scriptsize   \Darr\sqrt{16-24}
\\
&\ =\ \dfrac{4\pm\sqrt{-8}}{2}\\
\\
\color{red}\small\sqrt{マイナス}であるから,\ & \color{red}\small x軸と共有点をもたない
\end{align*}

よって,この2次不等式の解は

グラフすべてが x 軸より上にあるから

すべての実数

グラフを用いて考える

y=2x^2+4x+3グラフと xの位置関係を

調べるために y=0 を代入

【解答】

\def\FX{2x^2+4x+3}
\begin{align*}
\FX &\colorbox{lightblue}{$\ <\ 0$} \color{blue}\footnotesize\bf ・・・下!\\
\color{red}\scriptsize「不等号を等号に!」& \color{red}\tiny \ \ \Darr したように見える\\
\FX &\ \colorbox{lightgreen}{$=$}\ 0\\
& \color{red}\scriptsize   \Darr 解の公式で!\\
x &\ =\ \dfrac{-4\pm\sqrt{16-4 \cdot 6}}{4}\\
&     \color{red}\scriptsize   \Darr\sqrt{16-24}
\\
&\ =\ \dfrac{-4\pm\sqrt{-8}}{4}\\
\\
\color{red}\small\sqrt{マイナス}であるから,\ & \color{red}\small x軸と共有点をもたない
\end{align*}

よって,この2次不等式の解は

x 軸より下にグラフがないから

解はない

グラフを用いて考える

y=2x^2+4x+3グラフと xの位置関係を

調べるために y=0 を代入

【解答】

\def\FX{2x^2+4x+3}
\begin{align*}
\FX &\colorbox{lightblue}{$\ \leqq\ 0$} \color{blue}\footnotesize\bf ・・・下!\\
\color{red}\scriptsize「不等号を等号に!」& \color{red}\tiny \ \ \Darr したように見える\\
\FX &\ \colorbox{lightgreen}{$=$}\ 0\\
& \color{red}\scriptsize   \Darr 解の公式で!\\
x &\ =\ \dfrac{-4\pm\sqrt{16-4 \cdot 6}}{4}\\
&     \color{red}\scriptsize   \Darr\sqrt{16-24}
\\
&\ =\ \dfrac{-4\pm\sqrt{-8}}{4}\\
\\
\color{red}\small\sqrt{マイナス}であるから,\ & \color{red}\small x軸と共有点をもたない
\end{align*}

よって,この2次不等式の解は

x 軸より下にグラフがないから

解はない

グラフを用いて考える

y=2x^2-3x+4グラフと xの位置関係を

調べるために y=0 を代入

【解答】

\def\FX{2x^2-3x+4}
\begin{align*}
\FX &\colorbox{pink}{$\ >\ 0$} \color{red}\footnotesize\bf ・・・上!\\
\color{red}\scriptsize「不等号を等号に!」& \color{red}\tiny \ \ \Darr したように見える\\
\FX &\ \colorbox{lightgreen}{$=$}\ 0\\
& \color{red}\scriptsize   \Darr 解の公式で!\\
x &\ =\ \dfrac{3\pm\sqrt{9-4 \cdot 8}}{4}\\
&     \color{red}\scriptsize   \Darr\sqrt{9-32}
\\
&\ =\ \dfrac{3\pm\sqrt{-23}}{4}\\
\\
\color{red}\small\sqrt{マイナス}であるから,\ & \color{red}\small x軸と共有点をもたない
\end{align*}

よって,この2次不等式の解は

グラフすべてが x 軸より上にあるから

すべての実数

グラフを用いて考える

y=x^2-3x+5グラフと xの位置関係を

調べるために y=0 を代入

【解答】

\def\FX{x^2-3x+5}
\begin{align*}
\FX &\colorbox{pink}{$\ >\ 0$} \color{red}\footnotesize\bf ・・・上!\\
\color{red}\scriptsize「不等号を等号に!」& \color{red}\tiny \ \ \Darr したように見える\\
\FX &\ \colorbox{lightgreen}{$=$}\ 0\\
& \color{red}\scriptsize   \Darr 解の公式で!\\
x &\ =\ \dfrac{3\pm\sqrt{9-4 \cdot 5}}{2}\\
&     \color{red}\scriptsize   \Darr\sqrt{9-20}
\\
&\ =\ \dfrac{3\pm\sqrt{-11}}{2}\\
\\
\color{red}\small\sqrt{マイナス}であるから,\ & \color{red}\small x軸と共有点をもたない
\end{align*}

よって,この2次不等式の解は

グラフすべてが x 軸より上にあるから

すべての実数

x^2 の係数をプラスにする!

両辺に -1 をかけて

x^2-x+1 \leqq 0

グラフを用いて考える

y=x^2-x+1グラフと xの位置関係を

調べるために y=0 を代入

【解答】

\def\FX{x^2-x+1}
\begin{align*}
-x^2+x-1&\ \geqq 0\\
\color{red}\scriptsize 両辺に -1をかける & \\
\FX &\colorbox{lightblue}{$\ \leqq\ 0$} \color{blue}\footnotesize\bf ・・・下!\\
\color{red}\scriptsize「不等号を等号に!」& \color{red}\tiny \ \ \Darr したように見える\\
\FX &\ \colorbox{lightgreen}{$=$}\ 0\\
& \color{red}\scriptsize   \Darr 解の公式で!\\
x &\ =\ \dfrac{1\pm\sqrt{1-4 \cdot 1}}{2}\\
&     \color{red}\scriptsize   \Darr\sqrt{1-4}
\\
&\ =\ \dfrac{1\pm\sqrt{-3}}{2}
\\
\color{red}\small\sqrt{マイナス}であるから,\ & \color{red}\small x軸と共有点をもたない
\end{align*}

よって,この2次不等式の解は

x 軸より下にグラフがないから

解はない
  • 20210929…初版公開。問題数13。

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