2次関数のグラフと x 軸の共有点の個数を求める

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D=b^2-4acD>0D=0D<0
x軸との
位置関係
異なる2点で交わる接する共有点をもたない
x軸との
共有点の個数
2個1個0個
ax^2+bx+c=0
の実数解
x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}x=-\dfrac{b}{2a}実数解はない

練習問題にチャレンジ!

何度も解いて体で覚えましょう!

次の2次関数のグラフと x 軸の共有点の個数を求めよ。

【解答】

x軸の共有点 ⇒ y=0 を代入して整理!

\begin{align*}
\colorbox{mistyrose}{$0$} &= x^2+5x+3\\
& \color{red}\scriptsize\swarrow 左辺と右辺を入れ替えて\\
x^2+5x+3 &= 0
\end{align*}

共有点の個数 ⇒ 判別式を求める!

2次方程式 x^2+5x+3 = 0 の判別式を \colorbox{lightcyan}{$D$} とすると

\begin{align*}
D &\color{orange}= b^2-4ac\\
&\color{orange}= 5^2 -4 \cdot 1 \cdot 3\\
&= 25-4 \cdot 3\\
&= 25-12\\
&= 13 \colorbox{lightgreen}{$> 0$}
\end{align*}

よって,グラフと x 軸の共有点の個数は 2である。

【解答】

x軸の共有点 ⇒ y=0 を代入して整理!

\begin{align*}
\colorbox{mistyrose}{$0$} &= -2x^2+x-1\\
& \color{red}\scriptsize\swarrow 左辺に移項して\\
2x^2-x+1 &= 0
\end{align*}

共有点の個数 ⇒ 判別式を求める!

2次方程式 2x^2-x+1 = 0 の判別式を \colorbox{lightcyan}{$D$} とすると

\begin{align*}
D &\color{orange}= b^2-4ac\\
&\color{orange}= (-1)^2 -4 \cdot 2 \cdot 1\\
&= 1-4 \cdot 2\\
&= 1-8\\
&= -7 \colorbox{lightgreen}{$< 0$}
\end{align*}

よって,グラフと x 軸の共有点の個数は 0である。

【解答】

x軸の共有点 ⇒ y=0 を代入して整理!

\begin{align*}
\colorbox{mistyrose}{$0$} &= x^2+3x+3\\
& \color{red}\scriptsize\swarrow 左辺と右辺を入れ替えて\\
x^2+3x+3 &= 0
\end{align*}

共有点の個数 ⇒ 判別式を求める!

2次方程式 x^2+3x+3 = 0 の判別式を \colorbox{lightcyan}{$D$} とすると

\begin{align*}
D &\color{orange}= b^2-4ac\\
&\color{orange}= 3^2 -4 \cdot 1 \cdot 3\\
&= 9-4 \cdot 3\\
&= 9-12\\
&= -3 \colorbox{lightgreen}{$< 0$}
\end{align*}

よって,グラフと x 軸の共有点の個数は 0である。

【解答】

x軸の共有点 ⇒ y=0 を代入してac整理!

\begin{align*}
\colorbox{mistyrose}{$0$} &= -2x^2+5x+1\\
& \color{red}\scriptsize\swarrow 左辺に移項して\\
2x^2-5x-1 &= 0
\end{align*}

共有点の個数 ⇒ 判別式を求める!

2次方程式 2x^2-5x-1 = 0 の判別式を \colorbox{lightcyan}{$D$} とすると

\begin{align*}
D &\color{orange}= b^2-4ac\\
&\color{orange}= (-5)^2 -4 \cdot 2 \cdot (-1)\\
&= 25-4 \cdot (-2)\\
&= 25+8\\
&= 33 \colorbox{lightgreen}{$> 0$}
\end{align*}

よって,グラフと x 軸の共有点の個数は 2である。

【解答】

共有点の個数 ⇒ 判別式を求める!

\begin{align*}
\colorbox{mistyrose}{$0$} &= \dfrac{1}{2}x^2-2x+2\\
& \color{red}\scriptsize\swarrow 左辺と右辺を入れ替えて\\
\dfrac{1}{2}x^2-2x+2 &= 0\\
\color{red}\scriptsize 分数消すために & \color{red}\scriptsize 両辺 \times2\\
x^2-4x+4 &= 0
\end{align*}

2次方程式 x^2-4x+4 = 0 の判別式を \colorbox{lightcyan}{$D$} とすると

\begin{align*}
D &\color{orange}= b^2-4ac\\
&\color{orange}= (-4)^2 -4 \cdot 1 \cdot 4\\
&= 16-4 \cdot 4\\
&= 16-16\\
&\colorbox{lightgreen}{$= 0$}
\end{align*}

よって,グラフと x 軸の共有点の個数は 1である。

  • 20210922…初版公開。

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