気になるところをタップして確認しましょう。
x 軸上のすべての点の座標は，y 座標が 0 である。
例えば，２次関数 y=ax^2+bx+c のグラフが x 軸と共有点をもつとき，共有点の x 座標は，y=0 となる x の値，すなわち２次方程式 ax^2+bx+c=0 の実数解である。
x 軸との共有点 ⇒ y=0 を代入！
何度も解いて体で覚えましょう！
次の２次関数のグラフと x 軸の共有点の座標を求めよ。また，グラフが x 軸に接するものはどれか。
【解答】
このグラフと x 軸の共有点の x 座標は
y=0 を代入して
\begin{align*}
& \color{red}\scriptsize 左右入れ替えて\\
x^2-4x-5 &= 0\\
(x+1)(x-5) &= 0\\
x &= -1,\ 5\\
& \color{red}\scriptsize 小さい順がオススメ\\
\end{align*}よって，共有点の座標は
(-1,\ 0),\ (5,\ 0)
実数解が２個 ⇒ 「異なる２点を共有」
【解答】
このグラフと x 軸の共有点の x 座標は
y=0 を代入して
\begin{align*}
& \color{red}\scriptsize 左右入れ替えて\\
x^2-4x+4 &= 0\\
\colorbox{mistyrose}{$x$}^2-2 \cdot \colorbox{mistyrose}{$x$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$2$} + \colorbox{lightcyan}{$2$}^2 &= 0\\
(\colorbox{mistyrose}{$x$}-\colorbox{lightcyan}{$2$})^2 &= 0\\
x &= 2
\end{align*}よって，共有点の座標は
(2,\ 0)
２次関数のグラフと x 軸の共有点がただ１つだから，グラフは x 軸に接する。
実数解が１個 ⇒ 「１点だけ共有」「接する」
【解答】
このグラフと x 軸の共有点の x 座標は
y=0 を代入して
\begin{align*}
& \color{red}\scriptsize 左右入れ替えて\\
x^2-4x+5 &= 0\\
\color{red}\scriptsize 因数分解できないから & \color{red}\scriptsize ⇒ 解の公式\\
x &= \dfrac{8\pm\sqrt{16-4 \cdot 5}}{2}\\
x &= \dfrac{8\pm\sqrt{16-20}}{2}\\
x &= \dfrac{8\pm\sqrt{\colorbox{red}{\color{white}$-4$}}}{2}\\
& \color{red}\scriptsize ルート内がマイナス⇒実数解はない！
\end{align*}よって，y=x^2-4x+5 のグラフは x 軸と共有点をもたない。
実数解が０個 ⇒ 「共有する点なし」
次の２次関数のグラフと x 軸の共有点の座標を求めよ。また，グラフが x 軸に接するものはどれか。
【解答】
このグラフと x 軸の共有点の x 座標は
y=0 を代入して
\begin{align*}
& \color{red}\scriptsize 左右入れ替えて\\
x^2-x-6 &= 0\\
(x+2)(x-3) &= 0\\
x &= -2,\ 3\\
& \color{red}\scriptsize 小さい順がオススメ\\
\end{align*}よって，共有点の座標は
(-2,\ 0),\ (3,\ 0)
実数解が２個 ⇒ 「異なる２点を共有」
【解答】
このグラフと x 軸の共有点の x 座標は
y=0 を代入して
\begin{align*}
0 &= -x^2+3x-1\\
& \color{red}\scriptsize ↙右辺から左辺に移項\\
x^2-3x+1 &= 0\\
\color{red}\scriptsize 因数分解できないから & \color{red}\scriptsize ⇒ 解の公式\\
x &= \dfrac{3\pm\sqrt{9-4 \cdot 1}}{2}\\
&= \dfrac{3\pm\sqrt{5}}{2}
\end{align*}よって，共有点の座標は
\left(\dfrac{3-\sqrt{5}}{2},\ 0\right),\ \left(\dfrac{3+\sqrt{5}}{2},\ 0\right)実数解が２個 ⇒ 「異なる２点を共有」
【解答】
このグラフと x 軸の共有点の x 座標は
y=0 を代入して
\begin{align*}
& \color{red}\scriptsize 左右入れ替えて\\
2x^2+4x+2 &= 0\\
\color{red}\scriptsize 両辺を２で割る &\\
x^2+2x+1 &= 0\\
\colorbox{mistyrose}{$x$}^2+2 \cdot \colorbox{mistyrose}{$x$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$1$} + \colorbox{lightcyan}{$1$}^2 &= 0\\
(\colorbox{mistyrose}{$x$}+\colorbox{lightcyan}{$1$})^2 &= 0\\
x &= -1
\end{align*}よって，共有点の座標は
(-1,\ 0)
２次関数のグラフと x 軸の共有点がただ１つだから，グラフは x 軸に接する。
実数解が１個 ⇒ 「１点だけ共有」「接する」
【解答】
このグラフと x 軸の共有点の x 座標は
y=0 を代入して
\begin{align*}
& \color{red}\scriptsize 左右入れ替えて\\
2x^2-5x-3 &= 0\\
(2x+1)(x-3) &= 0\\
x &= -\dfrac12,\ 3\\
& \color{red}\scriptsize 小さい順がオススメ\\
\end{align*}よって，共有点の座標は
\left(-\dfrac12,\ 0\right),\ (3,\ 0)
実数解が２個 ⇒ 「異なる２点を共有」
次の２次関数のグラフと x 軸との共有点の座標を求めよ。
【解答】 x軸との共有点⇒y=0
２次関数 \colorbox{oldlace}{$y=$}x^2-8x+11 のグラフと x 軸の共有点の x座標は，
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\begin{align*}
\colBX{palegreen}{$1$} x^2\colBX{thistle}{$-8$}x\,\colBX{lightcyan}{$+11$} & \colBX{oldlace}{$= 0$}
\end{align*}これを解いて
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\begin{align*}
& \ \colMM{purple}{真ん中２乗 \Darr} \colMM{green}{\Darr 先頭} \times \colMM{deepskyblue}{最後}\\
x &= \dfrac{\colBX{thistle}{$8$} \pm \sqrt{\colBX{thistle}{$64$}-4 \cdot \colBX{lightcyan}{11}}}{\colBX{palegreen}{$2$}}\\
& \colMM{green}{ \Uarr 先頭２倍}\\
&= \dfrac{8 \pm \sqrt{64-44}}{2}\\
\\
&= \dfrac{8 \pm \sqrt{20}}{2}\\
\\
&= \dfrac{8 \pm \sqrt{4 \cdot 5}}{2}\\
\\
&= \dfrac{8 \pm 2\sqrt{5}}{2}\\
\\
&= \dfrac{2(4 \pm \sqrt{5})}{2} = 4 \pm \sqrt{5}
\end{align*}よって，共有点の座標は y=0 だから
(4+\sqrt{5},\ 0) (4-\sqrt{5},\ 0)【解答】 x軸との共有点⇒y=0
２次関数 \colorbox{oldlace}{$y=$}2x^2+4x-5 のグラフと x 軸の共有点の x座標は，
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\begin{align*}
\colBX{palegreen}{$2$} x^2\colBX{thistle}{$+4$}x\,\colBX{lightcyan}{$-5$} & \colBX{oldlace}{$= 0$}
\end{align*}これを解いて
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\begin{align*}
& \ \colMM{purple}{真ん中２乗 \Darr} \colMM{green}{\Darr 先頭} \times \colMM{deepskyblue}{最後}\\
x &= \dfrac{\colBX{thistle}{$-4$} \pm \sqrt{\colBX{thistle}{$16$}-4 \cdot \colBX{lightcyan}{$(-10)$}}}{\colBX{palegreen}{$4$}}\\
& \colMM{green}{ \Uarr 先頭２倍}\\
&= \dfrac{-4 \pm \sqrt{16+40}}{4}\\
\\
&= \dfrac{-4 \pm \sqrt{56}}{4}\\
\\
&= \dfrac{-4 \pm \sqrt{4 \cdot 14}}{4}\\
\\
&= \dfrac{-4 \pm 2\sqrt{14}}{4}\\
\\
&= \dfrac{2(-2 \pm \sqrt{14})}{4} = \dfrac{-2 \pm \sqrt{14}}{2}
\end{align*}よって，共有点の座標は y=0 だから
\left(\dfrac{-2 - \sqrt{14}}{2},\ 0\right)， \left(\dfrac{-2 + \sqrt{14}}{2},\ 0\right)- 20210921…初版公開。問題数７。
