判別式の利用

SHARE

ポイントを確認！

気になるところをタップして確認しましょう。

２次方程式 \colorbox{mistyrose}{$a$}x^2\colorbox{lightcyan}{$+b$}x\colorbox{palegreen}{$+c$}=0 について

D = \colorbox{lightcyan}{$b$}^2-4 \colorbox{mistyrose}{$a$} \colorbox{palegreen}{$c$}

を 判別式 といい，記号 D で表します。

※ 判別式のことを英語で “Discriminant” といいます。この頭文字をとって判別式を D と表します。ギリシャ文字の \Delta（デルタ）を使うこともあります。 というか，\Delta が先ですが，深入りは止めておきましょう。

解の判別式 D の式 \colorbox{bisque}{$b^2-4ac$} に見覚えがありませんか。そう２次方程式の解の公式のルートの中身です。

x = \dfrac{b^2\pm\sqrt{\colorbox{bisque}{$b^2-4ac$}}}{2a}

ルートの中身が正か０か負であるかによって，２次方程式の解の種類が判別できます。

２次方程式に関する問題で，次のキーワードがあったら何する？

異なる２つの実数解をもつ ➡ 判別式 D>0

重解をもつ ➡ 判別式 D = 0

実数解をもつ ➡ 判別式 D \geqq 0

実数解をもたない ➡ 判別式 D < 0

練習問題にチャレンジ！

何度も解いて体で覚えましょう！

次の各問いに答えよ。

異なる２つの実数解をもつ　➡　判別式 D>0

【解答】

２次方程式

\def\valA{1}
\def\valB{-2}
\global\def\valC{+m}
\colorbox{bisque}{$\valA$}x^2\colorbox{lightcyan}{$\valB$}x\colorbox{palegreen}{$\valC$}=0

の判別式を D とすると

\def\valA{1}
\def\valB{-2}
\def\valC{m}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\begin{align*}
D &= (\colBX{lightcyan}{$\valB$})^2-4 \cdot \colBX{bisque}{$\valA$} \cdot \colBX{palegreen}{$\valC$}\\
%
&= 4-4m
\end{align*}

２次方程式が異なる２つの実数解をもつのは D>0 のときであるから

\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\begin{align*}
D &> 0\\
\\
4-4m & > 0\\
\\
-4m &\colBX{palegreen}{$>$} -4\\
\colMM{orange}{両辺-4で割る} & \colMM{green}{\ \ \ \Darr 不等号の向きを変える}\\
m &\colBX{palegreen}{<} 1
\end{align*}

この問題へのリンクはこちら（右クリック）

実数解をもつ　➡　判別式 D \geqq 0

【解答】

２次方程式

\def\valA{1}
\def\valB{-2}
\global\def\valC{+m}
\colorbox{bisque}{$\valA$}x^2\colorbox{lightcyan}{$\valB$}x\colorbox{palegreen}{$\valC$}=0

の判別式を D とすると

\def\valA{1}
\def\valB{-2}
\def\valC{m}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\begin{align*}
D &= (\colBX{lightcyan}{$\valB$})^2-4 \cdot \colBX{bisque}{$\valA$} \cdot \colBX{palegreen}{$\valC$}\\
%
&= 4-4m
\end{align*}

２次方程式が実数解をもつのは D \geqq 0 のときであるから

\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\begin{align*}
D &\geqq 0\\
\\
4-4m & \geqq 0\\
\\
-4m &\colBX{palegreen}{$\geqq$} -4\\
\colMM{orange}{両辺-4で割る} & \colMM{green}{\ \ \ \Darr 不等号の向きを変える}\\
m &\colBX{palegreen}{$\leqq$} 1
\end{align*}

この問題へのリンクはこちら（右クリック）

実数解をもたない　➡　判別式 D < 0

【解答】

２次方程式

\def\valA{1}
\def\valB{-2}
\global\def\valC{+m}
\colorbox{bisque}{$\valA$}x^2\colorbox{lightcyan}{$\valB$}x\colorbox{palegreen}{$\valC$}=0

の判別式を D とすると

\def\valA{1}
\def\valB{-2}
\def\valC{m}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\begin{align*}
D &= (\colBX{lightcyan}{$\valB$})^2-4 \cdot \colBX{bisque}{$\valA$} \cdot \colBX{palegreen}{$\valC$}\\
%
&= 4-4m
\end{align*}

２次方程式が実数解をもたないのは D < 0 のときであるから

\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\begin{align*}
D &< 0\\
\\
4-4m & < 0\\
\\
-4m &\colBX{palegreen}{$<$} -4\\
\colMM{orange}{両辺-4で割る} & \colMM{green}{\ \ \ \Darr 不等号の向きを変える}\\
m &\colBX{palegreen}{$>$} 1
\end{align*}

この問題へのリンクはこちら（右クリック）

重解をもつ　➡　判別式 D = 0

【解答】

２次方程式

\def\valA{1}
\def\valB{-2}
\global\def\valC{+m}
\colorbox{bisque}{$\valA$}x^2\colorbox{lightcyan}{$\valB$}x\colorbox{palegreen}{$\valC$}=0

の判別式を D とすると

\def\valA{1}
\def\valB{-2}
\def\valC{m}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\begin{align*}
D &= (\colBX{lightcyan}{$\valB$})^2-4 \cdot \colBX{bisque}{$\valA$} \cdot \colBX{palegreen}{$\valC$}\\
%
&= 4-4m
\end{align*}

２次方程式が重解をもつのは D = 0 のときであるから

\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\begin{align*}
D &= 0\\
\\
4-4m & = 0\\
\\
-4m &= -4\\
\colMM{orange}{両辺-4で割る} &\\
m &= 1
\end{align*}
m=1 のとき，方程式に代入して

\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf #2}}
\begin{align*}
x^2-2x+1 &= 0\\
\color{orange}x^2-2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 &\color{orange}= 0\\
(x-1)^2 &= 0\\
x &= 1 \cdots \colMM{black}{（重解）}
\end{align*}

この問題へのリンクはこちら（右クリック）

異なる２つの実数解をもつ　➡　判別式 D>0

【解答】

２次方程式

\def\valA{1}
\def\valB{-4}
\def\valC{+m}
\colorbox{bisque}{$\valA$}x^2\colorbox{lightcyan}{$\valB$}x\colorbox{palegreen}{$\valC$}=0

の判別式を D とすると

\def\valA{1}
\def\valB{(-4)}
\def\valC{m}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\begin{align*}
D &= \colBX{lightcyan}{$\valB$}^2-4 \cdot \colBX{bisque}{$\valA$} \cdot \colBX{palegreen}{$\valC$}\\
%
&= 16-4m
\end{align*}

２次方程式が異なる２つの実数解をもつのは D>0 のときであるから

\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\begin{align*}
D &> 0\\
\\
16-4m & > 0\\
\\
-4m &\colBX{palegreen}{$>$} -16\\
\colMM{orange}{両辺-4で割る} & \colMM{green}{\ \ \ \Darr 不等号の向きを変える}\\
m &\colBX{palegreen}{<} 4
\end{align*}

この問題へのリンクはこちら（右クリック）

実数解をもつ　➡　判別式 D \geqq 0

【解答】

２次方程式

\def\valA{1}
\def\valB{-4}
\def\valC{+m}
\colorbox{bisque}{$\valA$}x^2\colorbox{lightcyan}{$\valB$}x\colorbox{palegreen}{$\valC$}=0

の判別式を D とすると

\def\valA{1}
\def\valB{(-4)}
\def\valC{m}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\begin{align*}
D &= \colBX{lightcyan}{$\valB$}^2-4 \cdot \colBX{bisque}{$\valA$} \cdot \colBX{palegreen}{$\valC$}\\
%
&= 16-4m
\end{align*}

２次方程式が実数解をもつのは D \geqq 0 のときであるから

\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\begin{align*}
D &\geqq 0\\
\\
16-4m & \geqq 0\\
\\
-4m &\colBX{palegreen}{$\geqq$} -16\\
\colMM{orange}{両辺-4で割る} & \colMM{green}{\ \ \ \Darr 不等号の向きを変える}\\
m &\colBX{palegreen}{$\leqq$} 4
\end{align*}

この問題へのリンクはこちら（右クリック）

実数解をもたない　➡　判別式 D < 0

【解答】

２次方程式

\def\valA{1}
\def\valB{-4}
\def\valC{+m}
\colorbox{bisque}{$\valA$}x^2\colorbox{lightcyan}{$\valB$}x\colorbox{palegreen}{$\valC$}=0

の判別式を D とすると

\def\valA{1}
\def\valB{(-4)}
\def\valC{m}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\begin{align*}
D &= \colBX{lightcyan}{$\valB$}^2-4 \cdot \colBX{bisque}{$\valA$} \cdot \colBX{palegreen}{$\valC$}\\
%
&= 16-4m
\end{align*}

２次方程式が実数解をもたないのは D < 0 のときであるから

\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\begin{align*}
D & < 0\\
\\
16-4m & < 0\\
\\
-4m &\colBX{palegreen}{$<$} -16\\
\colMM{orange}{両辺-4で割る} & \colMM{green}{\ \ \ \Darr 不等号の向きを変える}\\
m &\colBX{palegreen}{$>$} 4
\end{align*}

この問題へのリンクはこちら（右クリック）

重解をもつ　➡　判別式 D = 0

【解答】

２次方程式

\def\valA{1}
\def\valB{-4}
\def\valC{+m}
\colorbox{bisque}{$\valA$}x^2\colorbox{lightcyan}{$\valB$}x\colorbox{palegreen}{$\valC$}=0

の判別式を D とすると

\def\valA{1}
\def\valB{(-4)}
\def\valC{m}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\begin{align*}
D &= \colBX{lightcyan}{$\valB$}^2-4 \cdot \colBX{bisque}{$\valA$} \cdot \colBX{palegreen}{$\valC$}\\
%
&= 16-4m
\end{align*}

２次方程式が重解をもつのは D = 0 のときであるから

\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\begin{align*}
D & = 0\\
\\
16-4m & = 0\\
\\
-4m &\colBX{palegreen}{$=$} -16\\
\colMM{orange}{両辺-4で割る}\\
m &\colBX{palegreen}{$=$} 4
\end{align*}
m=4 のとき，方程式に代入して

\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf #2}}
\begin{align*}
x^2-4x+4 &= 0\\
\color{orange}x^2-2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 & \color{orange}= 0\\
(x-2)^2 &= 0\\
x &= 2 \cdots\colMM{black}{（重解）}
\end{align*}

この問題へのリンクはこちら（右クリック）

異なる２つの実数解をもつ　➡　判別式 D>0

【解答】

２次方程式

\def\valA{1}
\def\valB{-8}
\global\def\valC{+k^2}
\colorbox{bisque}{$\valA$}x^2\colorbox{lightcyan}{$\valB$}x\colorbox{palegreen}{$\valC$}=0

の判別式を D とすると

\def\valA{1}
\def\valB{-8}
\def\valC{k^2}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\begin{align*}
D &= (\colBX{lightcyan}{$\valB$})^2-4 \cdot \colBX{bisque}{$\valA$} \cdot \colBX{palegreen}{$\valC$}\\
%
&= 64-4k^2
\end{align*}

２次方程式が異なる２つの実数解をもつのは D>0 のときであるから

\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\begin{align*}
D &> 0\\
\\
64-4k^2 & \colBX{palegreen}{>} 0\\
\colMM{orange}{両辺-4で割る} & \colMM{green}{\ \ \ \Darr 不等号の向きを変える}\\
k^2-16 &\colBX{palegreen}{<} 0\\
\colMM{purple}{因数分解 \Darr　}\\
(k+4)(k-4) &\colBX{lightcyan}{< 0}\\
& \colMM{deepskyblue}{解が２個＜０}\\
-4 \colBX{lightcyan}{$< k$} & \colBX{lightcyan}{$<$} 4
\end{align*}

この問題へのリンクはこちら（右クリック）

実数解をもつ　➡　判別式 D \geqq 0

【解答】

２次方程式

\def\valA{1}
\def\valB{-8}
\global\def\valC{+k^2}
\colorbox{bisque}{$\valA$}x^2\colorbox{lightcyan}{$\valB$}x\colorbox{palegreen}{$\valC$}=0

の判別式を D とすると

\def\valA{1}
\def\valB{-8}
\def\valC{k^2}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\begin{align*}
D &= (\colBX{lightcyan}{$\valB$})^2-4 \cdot \colBX{bisque}{$\valA$} \cdot \colBX{palegreen}{$\valC$}\\
%
&= 64-4k^2
\end{align*}

２次方程式が実数解をもつのは D \geqq 0 のときであるから

\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\begin{align*}
D &\geqq 0\\
\\
64-4k^2 & \colBX{palegreen}{$\geqq$} 0\\
\colMM{orange}{両辺-4で割る} & \colMM{green}{\ \ \ \Darr 不等号の向きを変える}\\
k^2-16 &\colBX{palegreen}{$\leqq$} 0\\
\colMM{purple}{因数分解 \Darr　}\\
(k+4)(k-4) &\colBX{lightcyan}{$\leqq 0$}\\
& \colMM{deepskyblue}{解が２個≦０}\\
-4 \colBX{lightcyan}{$\leqq k$} & \colBX{lightcyan}{$\leqq$} 4
\end{align*}

この問題へのリンクはこちら（右クリック）

実数解をもたない　➡　判別式 D < 0

【解答】

２次方程式

\def\valA{1}
\def\valB{-8}
\global\def\valC{+k^2}
\colorbox{bisque}{$\valA$}x^2\colorbox{lightcyan}{$\valB$}x\colorbox{palegreen}{$\valC$}=0

の判別式を D とすると

\def\valA{1}
\def\valB{-8}
\def\valC{k^2}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\begin{align*}
D &= (\colBX{lightcyan}{$\valB$})^2-4 \cdot \colBX{bisque}{$\valA$} \cdot \colBX{palegreen}{$\valC$}\\
%
&= 64-4k^2
\end{align*}

２次方程式が実数解をもたないのは D < 0 のときであるから

\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\begin{align*}
D &< 0\\
\\
64-4k^2 & \colBX{palegreen}{$<$} 0\\
\colMM{orange}{両辺-4で割る} & \colMM{green}{\ \ \ \Darr 不等号の向きを変える}\\
k^2-16 &\colBX{palegreen}{$>$} 0\\
\colMM{purple}{因数分解 \Darr　}\\
(k+4)(k-4) &\colBX{lightcyan}{$> 0$}\\
& \colMM{deepskyblue}{解が２個＞０}\\
\colBX{lightcyan}{$k <$} -4,\ 4\ & \colBX{lightcyan}{$< k$}
\end{align*}

この問題へのリンクはこちら（右クリック）

重解をもつ　➡　判別式 D = 0

【解答】

２次方程式

\def\valA{1}
\def\valB{-8}
\global\def\valC{+k^2}
\colorbox{bisque}{$\valA$}x^2\colorbox{lightcyan}{$\valB$}x\colorbox{palegreen}{$\valC$}=0

の判別式を D とすると

\def\valA{1}
\def\valB{-8}
\def\valC{k^2}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\begin{align*}
D &= (\colBX{lightcyan}{$\valB$})^2-4 \cdot \colBX{bisque}{$\valA$} \cdot \colBX{palegreen}{$\valC$}\\
%
&= 64-4k^2
\end{align*}

２次方程式が重解をもつのは D = 0 のときであるから

\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\begin{align*}
D &= 0\\
\\
64-4k^2 & \colBX{palegreen}{$=$} 0\\
\colMM{orange}{両辺-4で割る} & \\
k^2-16 &\colBX{palegreen}{$=$} 0\\
\\
k^2 &= 16\\
\\
k &= \pm\sqrt{16} = \pm4
\end{align*}
k=-4 のとき，方程式に代入して

\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf #2}}
\begin{align*}
x^2-8x+(-4)^2 &= 0\\
x^2-8x+16 &= 0\\
(x-4)^2 &= 0\\
x &= 4 　\cdots\colMM{black}{（重解）}
\end{align*}
k=-4 のとき，方程式に代入して

\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf #2}}
\begin{align*}
x^2-8x+4^2 &= 0\\
x^2-8x+16 &= 0\\
(x-4)^2 &= 0\\
x &= 4 　\cdots\colMM{black}{（重解）}
\end{align*}

この問題へのリンクはこちら（右クリック）

  • 2022.01.01…初版公開。問題数１２。

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 ※ が付いている欄は必須項目です

前の記事

整式の加減乗除（色々パック）

次の記事

指数関数のグラフをかくコツ