気になるところをタップして確認しましょう。
2次方程式 \colorbox{mistyrose}{$a$}x^2\colorbox{lightcyan}{$+b$}x\colorbox{palegreen}{$+c$}=0 について
D = \colorbox{lightcyan}{$b$}^2-4 \colorbox{mistyrose}{$a$} \colorbox{palegreen}{$c$}
を 判別式 といい,記号 D で表します。
※ 判別式のことを英語で “Discriminant” といいます。この頭文字をとって判別式を D と表します。ギリシャ文字の \Delta(デルタ)を使うこともあります。 というか,\Delta が先ですが,深入りは止めておきましょう。
解の判別式 D の式 \colorbox{bisque}{$b^2-4ac$} に見覚えがありませんか。そう2次方程式の解の公式のルートの中身です。
x = \dfrac{b^2\pm\sqrt{\colorbox{bisque}{$b^2-4ac$}}}{2a}
ルートの中身が正か0か負であるかによって,2次方程式の解の種類が判別できます。
2次方程式に関する問題で,次のキーワードがあったら何する?
異なる2つの実数解をもつ ➡ 判別式 D>0
重解をもつ ➡ 判別式 D = 0
実数解をもつ ➡ 判別式 D \geqq 0
実数解をもたない ➡ 判別式 D < 0
何度も解いて体で覚えましょう!
次の各問いに答えよ。
異なる2つの実数解をもつ ➡ 判別式 D>0
【解答】
2次方程式
\def\valA{1} \def\valB{-2} \global\def\valC{+m} \colorbox{bisque}{$\valA$}x^2\colorbox{lightcyan}{$\valB$}x\colorbox{palegreen}{$\valC$}=0
の判別式を D とすると
\def\valA{1} \def\valB{-2} \def\valC{m} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \begin{align*} D &= (\colBX{lightcyan}{$\valB$})^2-4 \cdot \colBX{bisque}{$\valA$} \cdot \colBX{palegreen}{$\valC$}\\ % &= 4-4m \end{align*}
2次方程式が異なる2つの実数解をもつのは D>0 のときであるから
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf #2}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \begin{align*} D &> 0\\ \\ 4-4m & > 0\\ \\ -4m &\colBX{palegreen}{$>$} -4\\ \colMM{orange}{両辺-4で割る} & \colMM{green}{\ \ \ \Darr 不等号の向きを変える}\\ m &\colBX{palegreen}{<} 1 \end{align*}
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実数解をもつ ➡ 判別式 D \geqq 0
【解答】
2次方程式
\def\valA{1} \def\valB{-2} \global\def\valC{+m} \colorbox{bisque}{$\valA$}x^2\colorbox{lightcyan}{$\valB$}x\colorbox{palegreen}{$\valC$}=0
の判別式を D とすると
\def\valA{1} \def\valB{-2} \def\valC{m} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \begin{align*} D &= (\colBX{lightcyan}{$\valB$})^2-4 \cdot \colBX{bisque}{$\valA$} \cdot \colBX{palegreen}{$\valC$}\\ % &= 4-4m \end{align*}
2次方程式が実数解をもつのは D \geqq 0 のときであるから
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf #2}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \begin{align*} D &\geqq 0\\ \\ 4-4m & \geqq 0\\ \\ -4m &\colBX{palegreen}{$\geqq$} -4\\ \colMM{orange}{両辺-4で割る} & \colMM{green}{\ \ \ \Darr 不等号の向きを変える}\\ m &\colBX{palegreen}{$\leqq$} 1 \end{align*}
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実数解をもたない ➡ 判別式 D < 0
【解答】
2次方程式
\def\valA{1} \def\valB{-2} \global\def\valC{+m} \colorbox{bisque}{$\valA$}x^2\colorbox{lightcyan}{$\valB$}x\colorbox{palegreen}{$\valC$}=0
の判別式を D とすると
\def\valA{1} \def\valB{-2} \def\valC{m} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \begin{align*} D &= (\colBX{lightcyan}{$\valB$})^2-4 \cdot \colBX{bisque}{$\valA$} \cdot \colBX{palegreen}{$\valC$}\\ % &= 4-4m \end{align*}
2次方程式が実数解をもたないのは D < 0 のときであるから
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf #2}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \begin{align*} D &< 0\\ \\ 4-4m & < 0\\ \\ -4m &\colBX{palegreen}{$<$} -4\\ \colMM{orange}{両辺-4で割る} & \colMM{green}{\ \ \ \Darr 不等号の向きを変える}\\ m &\colBX{palegreen}{$>$} 1 \end{align*}
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重解をもつ ➡ 判別式 D = 0
【解答】
2次方程式
\def\valA{1} \def\valB{-2} \global\def\valC{+m} \colorbox{bisque}{$\valA$}x^2\colorbox{lightcyan}{$\valB$}x\colorbox{palegreen}{$\valC$}=0
の判別式を D とすると
\def\valA{1} \def\valB{-2} \def\valC{m} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \begin{align*} D &= (\colBX{lightcyan}{$\valB$})^2-4 \cdot \colBX{bisque}{$\valA$} \cdot \colBX{palegreen}{$\valC$}\\ % &= 4-4m \end{align*}
2次方程式が重解をもつのは D = 0 のときであるから
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf #2}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \begin{align*} D &= 0\\ \\ 4-4m & = 0\\ \\ -4m &= -4\\ \colMM{orange}{両辺-4で割る} &\\ m &= 1 \end{align*}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf #2}} \begin{align*} x^2-2x+1 &= 0\\ \color{orange}x^2-2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 &\color{orange}= 0\\ (x-1)^2 &= 0\\ x &= 1 \cdots \colMM{black}{(重解)} \end{align*}
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異なる2つの実数解をもつ ➡ 判別式 D>0
【解答】
2次方程式
\def\valA{1} \def\valB{-4} \def\valC{+m} \colorbox{bisque}{$\valA$}x^2\colorbox{lightcyan}{$\valB$}x\colorbox{palegreen}{$\valC$}=0
の判別式を D とすると
\def\valA{1} \def\valB{(-4)} \def\valC{m} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \begin{align*} D &= \colBX{lightcyan}{$\valB$}^2-4 \cdot \colBX{bisque}{$\valA$} \cdot \colBX{palegreen}{$\valC$}\\ % &= 16-4m \end{align*}
2次方程式が異なる2つの実数解をもつのは D>0 のときであるから
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf #2}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \begin{align*} D &> 0\\ \\ 16-4m & > 0\\ \\ -4m &\colBX{palegreen}{$>$} -16\\ \colMM{orange}{両辺-4で割る} & \colMM{green}{\ \ \ \Darr 不等号の向きを変える}\\ m &\colBX{palegreen}{<} 4 \end{align*}
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実数解をもつ ➡ 判別式 D \geqq 0
【解答】
2次方程式
\def\valA{1} \def\valB{-4} \def\valC{+m} \colorbox{bisque}{$\valA$}x^2\colorbox{lightcyan}{$\valB$}x\colorbox{palegreen}{$\valC$}=0
の判別式を D とすると
\def\valA{1} \def\valB{(-4)} \def\valC{m} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \begin{align*} D &= \colBX{lightcyan}{$\valB$}^2-4 \cdot \colBX{bisque}{$\valA$} \cdot \colBX{palegreen}{$\valC$}\\ % &= 16-4m \end{align*}
2次方程式が実数解をもつのは D \geqq 0 のときであるから
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf #2}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \begin{align*} D &\geqq 0\\ \\ 16-4m & \geqq 0\\ \\ -4m &\colBX{palegreen}{$\geqq$} -16\\ \colMM{orange}{両辺-4で割る} & \colMM{green}{\ \ \ \Darr 不等号の向きを変える}\\ m &\colBX{palegreen}{$\leqq$} 4 \end{align*}
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実数解をもたない ➡ 判別式 D < 0
【解答】
2次方程式
\def\valA{1} \def\valB{-4} \def\valC{+m} \colorbox{bisque}{$\valA$}x^2\colorbox{lightcyan}{$\valB$}x\colorbox{palegreen}{$\valC$}=0
の判別式を D とすると
\def\valA{1} \def\valB{(-4)} \def\valC{m} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \begin{align*} D &= \colBX{lightcyan}{$\valB$}^2-4 \cdot \colBX{bisque}{$\valA$} \cdot \colBX{palegreen}{$\valC$}\\ % &= 16-4m \end{align*}
2次方程式が実数解をもたないのは D < 0 のときであるから
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf #2}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \begin{align*} D & < 0\\ \\ 16-4m & < 0\\ \\ -4m &\colBX{palegreen}{$<$} -16\\ \colMM{orange}{両辺-4で割る} & \colMM{green}{\ \ \ \Darr 不等号の向きを変える}\\ m &\colBX{palegreen}{$>$} 4 \end{align*}
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重解をもつ ➡ 判別式 D = 0
【解答】
2次方程式
\def\valA{1} \def\valB{-4} \def\valC{+m} \colorbox{bisque}{$\valA$}x^2\colorbox{lightcyan}{$\valB$}x\colorbox{palegreen}{$\valC$}=0
の判別式を D とすると
\def\valA{1} \def\valB{(-4)} \def\valC{m} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \begin{align*} D &= \colBX{lightcyan}{$\valB$}^2-4 \cdot \colBX{bisque}{$\valA$} \cdot \colBX{palegreen}{$\valC$}\\ % &= 16-4m \end{align*}
2次方程式が重解をもつのは D = 0 のときであるから
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf #2}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \begin{align*} D & = 0\\ \\ 16-4m & = 0\\ \\ -4m &\colBX{palegreen}{$=$} -16\\ \colMM{orange}{両辺-4で割る}\\ m &\colBX{palegreen}{$=$} 4 \end{align*}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf #2}} \begin{align*} x^2-4x+4 &= 0\\ \color{orange}x^2-2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 & \color{orange}= 0\\ (x-2)^2 &= 0\\ x &= 2 \cdots\colMM{black}{(重解)} \end{align*}
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異なる2つの実数解をもつ ➡ 判別式 D>0
【解答】
2次方程式
\def\valA{1} \def\valB{-8} \global\def\valC{+k^2} \colorbox{bisque}{$\valA$}x^2\colorbox{lightcyan}{$\valB$}x\colorbox{palegreen}{$\valC$}=0
の判別式を D とすると
\def\valA{1} \def\valB{-8} \def\valC{k^2} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \begin{align*} D &= (\colBX{lightcyan}{$\valB$})^2-4 \cdot \colBX{bisque}{$\valA$} \cdot \colBX{palegreen}{$\valC$}\\ % &= 64-4k^2 \end{align*}
2次方程式が異なる2つの実数解をもつのは D>0 のときであるから
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf #2}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \begin{align*} D &> 0\\ \\ 64-4k^2 & \colBX{palegreen}{>} 0\\ \colMM{orange}{両辺-4で割る} & \colMM{green}{\ \ \ \Darr 不等号の向きを変える}\\ k^2-16 &\colBX{palegreen}{<} 0\\ \colMM{purple}{因数分解 \Darr }\\ (k+4)(k-4) &\colBX{lightcyan}{< 0}\\ & \colMM{deepskyblue}{解が2個<0}\\ -4 \colBX{lightcyan}{$< k$} & \colBX{lightcyan}{$<$} 4 \end{align*}
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実数解をもつ ➡ 判別式 D \geqq 0
【解答】
2次方程式
\def\valA{1} \def\valB{-8} \global\def\valC{+k^2} \colorbox{bisque}{$\valA$}x^2\colorbox{lightcyan}{$\valB$}x\colorbox{palegreen}{$\valC$}=0
の判別式を D とすると
\def\valA{1} \def\valB{-8} \def\valC{k^2} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \begin{align*} D &= (\colBX{lightcyan}{$\valB$})^2-4 \cdot \colBX{bisque}{$\valA$} \cdot \colBX{palegreen}{$\valC$}\\ % &= 64-4k^2 \end{align*}
2次方程式が実数解をもつのは D \geqq 0 のときであるから
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf #2}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \begin{align*} D &\geqq 0\\ \\ 64-4k^2 & \colBX{palegreen}{$\geqq$} 0\\ \colMM{orange}{両辺-4で割る} & \colMM{green}{\ \ \ \Darr 不等号の向きを変える}\\ k^2-16 &\colBX{palegreen}{$\leqq$} 0\\ \colMM{purple}{因数分解 \Darr }\\ (k+4)(k-4) &\colBX{lightcyan}{$\leqq 0$}\\ & \colMM{deepskyblue}{解が2個≦0}\\ -4 \colBX{lightcyan}{$\leqq k$} & \colBX{lightcyan}{$\leqq$} 4 \end{align*}
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実数解をもたない ➡ 判別式 D < 0
【解答】
2次方程式
\def\valA{1} \def\valB{-8} \global\def\valC{+k^2} \colorbox{bisque}{$\valA$}x^2\colorbox{lightcyan}{$\valB$}x\colorbox{palegreen}{$\valC$}=0
の判別式を D とすると
\def\valA{1} \def\valB{-8} \def\valC{k^2} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \begin{align*} D &= (\colBX{lightcyan}{$\valB$})^2-4 \cdot \colBX{bisque}{$\valA$} \cdot \colBX{palegreen}{$\valC$}\\ % &= 64-4k^2 \end{align*}
2次方程式が実数解をもたないのは D < 0 のときであるから
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf #2}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \begin{align*} D &< 0\\ \\ 64-4k^2 & \colBX{palegreen}{$<$} 0\\ \colMM{orange}{両辺-4で割る} & \colMM{green}{\ \ \ \Darr 不等号の向きを変える}\\ k^2-16 &\colBX{palegreen}{$>$} 0\\ \colMM{purple}{因数分解 \Darr }\\ (k+4)(k-4) &\colBX{lightcyan}{$> 0$}\\ & \colMM{deepskyblue}{解が2個>0}\\ \colBX{lightcyan}{$k <$} -4,\ 4\ & \colBX{lightcyan}{$< k$} \end{align*}
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重解をもつ ➡ 判別式 D = 0
【解答】
2次方程式
\def\valA{1} \def\valB{-8} \global\def\valC{+k^2} \colorbox{bisque}{$\valA$}x^2\colorbox{lightcyan}{$\valB$}x\colorbox{palegreen}{$\valC$}=0
の判別式を D とすると
\def\valA{1} \def\valB{-8} \def\valC{k^2} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \begin{align*} D &= (\colBX{lightcyan}{$\valB$})^2-4 \cdot \colBX{bisque}{$\valA$} \cdot \colBX{palegreen}{$\valC$}\\ % &= 64-4k^2 \end{align*}
2次方程式が重解をもつのは D = 0 のときであるから
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf #2}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \begin{align*} D &= 0\\ \\ 64-4k^2 & \colBX{palegreen}{$=$} 0\\ \colMM{orange}{両辺-4で割る} & \\ k^2-16 &\colBX{palegreen}{$=$} 0\\ \\ k^2 &= 16\\ \\ k &= \pm\sqrt{16} = \pm4 \end{align*}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf #2}} \begin{align*} x^2-8x+(-4)^2 &= 0\\ x^2-8x+16 &= 0\\ (x-4)^2 &= 0\\ x &= 4 \cdots\colMM{black}{(重解)} \end{align*}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf #2}} \begin{align*} x^2-8x+4^2 &= 0\\ x^2-8x+16 &= 0\\ (x-4)^2 &= 0\\ x &= 4 \cdots\colMM{black}{(重解)} \end{align*}
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- 2022.01.01…初版公開。問題数12。