↓この問題へのリンクはこちら(右クリックで保存)
【証明】
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}} \begin{align*} & \colFB{red}{方針}\\ & \ \colMM{red}{ax+y=0\ より\ a = -\dfrac{y}{x}}\\ & \colMM{red}{ 左辺\ a\ は,問題より無理数}\\ & \colMM{red}{ 右辺\ -\dfrac{y}{x}\ は,有理数 \div 有理数だから有理数}\\ & \colMM{red}{有理数でない数が無理数だから、無理数=有理数は矛盾}\\ & \colMM{red}{最初の式変形で\ x\ で割っている・・・x \neq 0\ が必要}\\ \\ & \colFR{black}{\bf 証明}\\ & ax+y=0\ を満たす\\ & \colBX{mistyrose}{$0$\ でない有理数\ $x$\ があったと\colFR{red}{\bf 仮定}}すると,\\ \\ & \begin{align*} ax+y &= 0\\ ax &= -y\ \colMM{red}{x\ は\ 0\ ではないから両辺\ x\ で割って}\\ \colBX{bisque}{$a$} &= \colBX{palegreen}{$-\dfrac{y}{x}$}\\ \colFB{orange}{問題より\ $a$\ は無理数} & \colFB{green}{有理数\ $y \div$\ 有理数\ $x = $\ 有理数}\\ \colMM{red}{無理数は} & \colMM{red}{有理数ではないから矛盾!}\\ \end{align*}\\ & x,\ y\ は有理数であるから \colBX{palegreen}{$-\dfrac{y}{x}$も有理数}となるが,\\ & これは \colBX{bisque}{$a$が無理数}であることに\colFR{red}{\bf 矛盾}する。\\ & \colMM{red}{ しつこいけど確認・・・無理数=有理数 にはならない!}\\ & \colMM{red}{ x\ が\ 0\ ではないと仮定したことが矛盾を生んだ!から・・・}\\ & よって,\colBX{mistyrose}{$x=0$\ でなければならない}。\\ \\ & また,x=0\ を\ ax+y=0\ に代入すると\\ & \ \begin{align*} a \cdot 0 + y &= 0\\ y &= 0 \end{align*}\\ \\ & 以上より,x=y=0\ である。\colFR{black}{\bf 証明終り} \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
↓この問題へのリンクはこちら(右クリックで保存)
【証明】
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}} \begin{align*} & \colFB{red}{方針}\\ & \ \colMM{red}{\sqrt{2}x+\sqrt{3}y=0\ より\ \sqrt{6}x + 3y=0}\\ & \ \colMM{red}{ \sqrt{6}= -\dfrac{3y}{x}}\\ & \colMM{red}{ 左辺\ \sqrt{6}\ は,問題より無理数}\\ & \colMM{red}{ 右辺\ -\dfrac{3y}{x}\ は,有理数 \div 有理数だから有理数}\\ & \colMM{red}{有理数でない数が無理数だから、無理数=有理数は矛盾}\\ & \colMM{red}{最初の式変形で\ x\ で割っている・・・x \neq 0\ が必要}\\ \\ & \colFR{black}{\bf 証明}\\ & \sqrt{2}{x}+\sqrt{3}y=0\ の両辺に\ \sqrt{3}\ をかけると\ \sqrt{6}x+3y=0\\ \\ & \sqrt{6}x+3y=0\ を満たす\\ & \colBX{mistyrose}{$0$\ でない有理数\ $x$\ があったと\colFR{red}{\bf 仮定}}すると,\\ \\ & \begin{align*} \sqrt{6}x+3y &= 0\\ \sqrt{6}x &= -3y\ \colMM{red}{x\ は\ 0\ ではないから両辺\ x\ で割って}\\ \colBX{bisque}{$\sqrt{6}$} &= \colBX{palegreen}{$-\dfrac{3y}{x}$}\\ \colFB{orange}{問題より\ $\sqrt{6}$\ は無理数} & \colFB{green}{有理数\ $3y \div$\ 有理数\ $x = $\ 有理数}\\ \colMM{red}{無理数は} & \colMM{red}{有理数ではないから矛盾!}\\ \end{align*}\\ & x,\ y\ は有理数であるから \colBX{palegreen}{$-\dfrac{3y}{x}$も有理数}となるが,\\ & これは \colBX{bisque}{$a$が無理数}であることに\colFR{red}{\bf 矛盾}する。\\ & \colMM{red}{ しつこいけど確認・・・無理数=有理数 にはならない!}\\ & \colMM{red}{ x\ が\ 0\ ではないと仮定したことが矛盾を生んだ!から・・・}\\ & よって,\colBX{mistyrose}{$x=0$\ でなければならない}。\\ \\ & また,x=0\ を\ \sqrt{6}x+y=0\ に代入すると\\ & \ \begin{align*} \sqrt{6} \cdot 0 + y &= 0\\ y &= 0 \end{align*}\\ \\ & 以上より,x=y=0\ である。\colFR{black}{\bf 証明終り} \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan