次の命題を対偶を利用して証明せよ。
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対偶の命題を作る
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}} \begin{matrix} \colFR{red}{元} & n^2\ が偶数 & \Longrightarrow & n\ は偶数\\ & \colMM{red}{\bf 前後を逆に\ \searrow} & & \colMM{red}{\bf \swarrow\ 前後を逆に} \\\ \colFR{red}{逆} & n\ が偶数 & \Longrightarrow & n^2\ は偶数\\ & \colMM{red}{\bf \Darrさらに否定}& & \colMM{red}{\bf \Darrさらに否定}\\ & n\ が偶数ではない & \Longrightarrow & n^2\ は偶数ではない\\ & \colMM{red}{\bf\Darr翻訳} & & \colMM{red}{\bf\Darr翻訳}\\ \colFR{red}{\bf 対偶} & n\ が奇数 & \Longrightarrow & n^2\ は奇数 \end{matrix} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
【解答】
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}} \begin{align*} この命 & 題の\colBX{mistyrose}{\bf 対偶}\colMM{red}{は,元の命題と真偽が一致するから}\\ & 「\colBX{bisque}{$n$\ が奇数}ならば,\colBX{palegreen}{$n^2$\ は奇数}である」\\ を証明 & すればよい。\\ \\ \colBX{bisque}{$n$\ が奇} & \colBX{bisque}{数}のとき,n\ はある整数\ k\ を用いて,\\ & n = 2k+1\ \colMM{orange}{\cdots偶数+1 and 偶数=2の倍数=2k}\\ と表せ & る。このとき,\colMM{red}{実際に\ n^2\ を計算してみると}\\ n^2 &= (2k+1)^2\\ &= 4k^2+4k+1\ \colMM{red}{奇数であることを示したいから}\\ &= 2(2k^2+2k)+1\ \colMM{red}{2 \times 〇+1\ の形に変形}\\ となる & 。2k^2+2k\ は整数であるから,\\ & \colMM{green}{ 2(2k^2+2k)\ は,2の倍数=偶数}\\ & \colMM{green}{ 2(2k^2+2k)+1\ は,偶数+1=奇数!}\\ & \colBX{palegreen}{$n^2$\ は奇数}である。\\ \\ よって & ,\colBX{mistyrose}{\bf 対偶}が証明されたから\\ & もとの命題も真である。 \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
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対偶の命題を作る
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}} \begin{matrix} \colFR{red}{元} & n^2\ が\ 3\ の倍数 & \Longrightarrow & n\ は\ 3\ の倍数\\ & \colMM{red}{\bf 前後を逆に\ \searrow} & & \colMM{red}{\bf \swarrow\ 前後を逆に} \\\ \colFR{red}{逆} & n\ が\ 3\ の倍数 & \Longrightarrow & n^2\ は\ 3\ の倍数\\ & \colMM{red}{\bf \Darrさらに否定}& & \colMM{red}{\bf \Darrさらに否定}\\ \colFR{red}{\bf対偶}& n\ が\ 3\ の倍数でない & \Longrightarrow & n^2\ は\ 3\ の倍数でない \end{matrix} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
【解答】
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}} \begin{align*} この命 & 題の\colBX{mistyrose}{\bf 対偶}\colMM{red}{は,元の命題と真偽が一致するから}\\ & 「\colBX{bisque}{$n$\ が\ 3\ の倍数でない}ならば,\colBX{palegreen}{$n^2$\ は\ 3\ の倍数でない}」\\ を証明 & すればよい。\\ \\ \colBX{bisque}{$n$\ が\ 3} & \colBX{bisque}{の倍数でない}とき,n\ はある整数\ k\ を用いて,\\ (i)\ & n = 3k+1\ \colMM{orange}{\cdots 3\ の倍数+1 = 3\ で割ると\ 1\ 余る数}\\ (ii)\ & n = 3k+2\ \colMM{orange}{\cdots 3\ の倍数+2 = 3\ で割ると\ 2\ 余る数}\\ と表せ & る。\colMM{orange}{ n=3k\ は\ 3\ の倍数になるから考えない。}\\ \\ このと & き,\colMM{red}{実際に\ n^2\ を計算してみると}\\ (i)\ n &= 3k+1\ のとき\\ n^2 &= (3k+1)^2\\ &= 9k^2+6k+1\ \colMM{red}{3\ の倍数でないことを示したいから}\\ &= 3(3k^2+2k)+1\ \colMM{red}{3 \times 〇+△\ の形に変形}\\ となる & 。3k^2+2k\ は整数であるから,\\ & \colMM{green}{ 3(3k^2+2k)\ は,3\ の倍数}\\ & \colMM{green}{ 3(3k^2+2k)+1\ は,3\ の倍数+1=3\ で割り切れない!}\\ & \colBX{palegreen}{$n^2$\ は\ 3\ の倍数でない}。\\ \\ (ii)\ n &= 3k+2\ のとき\\ n^2 &= (3k+2)^2\\ &= 9k^2+12k+4\ \colMM{red}{3\ の倍数でないことを示したいから}\\ &= 9k^2+12k+3+1\\ &= 3(3k^2+4k+1)+1\ \colMM{red}{3 \times 〇+△\ の形に変形}\\ となる & 。3k^2+4k+1\ は整数であるから,\\ & \colMM{green}{ 3(3k^2+4k+1)\ は,3\ の倍数}\\ & \colMM{green}{ 3(3k^2+4k+1)+1\ は,3\ の倍数+1=3\ で割り切れない!}\\ & \colBX{palegreen}{$n^2$\ は\ 3\ の倍数でない}。\\ \\ よって & ,\colBX{mistyrose}{\bf 対偶}が証明されたから\\ & もとの命題も真である。 \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
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\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}} \begin{matrix} \colFR{red}{元} & a^2\ が奇数 & \Longrightarrow & a\ は奇数\\ & \colMM{red}{\bf 前後を逆に\ \searrow} & & \colMM{red}{\bf \swarrow\ 前後を逆に} \\\ \colFR{red}{逆} & a\ が奇数 & \Longrightarrow & a^2\ は奇数\\ & \colMM{red}{\bf \Darrさらに否定}& & \colMM{red}{\bf \Darrさらに否定}\\ & a\ が奇数ではない & \Longrightarrow & a^2\ は奇数ではない\\ & \colMM{red}{\bf\Darr翻訳} & & \colMM{red}{\bf\Darr翻訳}\\ \colFR{red}{\bf 対偶} & a\ が偶数 & \Longrightarrow & a^2\ は偶数 \end{matrix} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
【解答】
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}} \begin{align*} この命 & 題の\colBX{mistyrose}{\bf 対偶}\colMM{red}{は,元の命題と真偽が一致するから}\\ & 「\colBX{bisque}{$a$\ が偶数}ならば,\colBX{palegreen}{$a^2$\ は偶数}である」\\ を証明 & すればよい。\\ \\ \colBX{bisque}{$a$\ が偶} & \colBX{bisque}{数}のとき,a\ はある整数\ k\ を用いて,\\ & a = 2k\ \colMM{orange}{\cdots 偶数=2の倍数=2k}\\ と表せ & る。このとき,\colMM{red}{実際に\ a^2\ を計算してみると}\\ a^2 &= (2k)^2\\ &= 4k^2\ \colMM{red}{偶数であることを示したいから}\\ &= 2(2k^2)\ \colMM{red}{2 \times 〇\ の形に変形}\\ となる & 。2k^2\ は整数であるから,\\ & \colMM{green}{ 2(2k^2)\ は,2の倍数=偶数}\\ & \colBX{palegreen}{$a^2$\ は偶数}である。\\ \\ よって & ,\colBX{mistyrose}{\bf 対偶}が証明されたから\\ & もとの命題も真である。 \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
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対偶の命題を作る
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}} \begin{matrix} \colFR{red}{元} & n^2+4n+1\ が奇数 & \Longrightarrow & n\ は偶数\\ & \colMM{red}{\bf 前後を逆に\ \searrow} & & \colMM{red}{\bf \swarrow\ 前後を逆に} \\\ \colFR{red}{逆} & n\ が偶数 & \Longrightarrow & n^2+4n+1\ は奇数\\ & \colMM{red}{\bf \Darrさらに否定}& & \colMM{red}{\bf \Darrさらに否定}\\ & n\ が偶数ではない & \Longrightarrow & n^2+4n+1\ は奇数ではない\\ & \colMM{red}{\bf\Darr翻訳} & & \colMM{red}{\bf\Darr翻訳}\\ \colFR{red}{\bf 対偶} & n\ が奇数 & \Longrightarrow & n^2+4n+1\ は偶数 \end{matrix} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
【解答】
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}} \begin{align*} この命 & 題の\colBX{mistyrose}{\bf 対偶}\colMM{red}{は,元の命題と真偽が一致するから}\\ & 「\colBX{bisque}{$n$\ が奇数}ならば,\colBX{palegreen}{$n^2+4n+1$\ は偶数}である」\\ を証明 & すればよい。\\ \\ \colBX{bisque}{$n$\ が奇} & \colBX{bisque}{数}のとき,n\ はある整数\ k\ を用いて,\\ & n = 2k+1\ \colMM{orange}{\cdots 偶数+1}\\ と表せ & る。このとき,\colMM{red}{実際に\ n^2+4n+1\ を計算してみると}\\ n^2+4n+1 &= (2k+1)^2+4(2k+1)+1\\ &= 4k^2+4k+1+8k+4+1\\ &= 4k^2+12k+6\ \colMM{red}{偶数であることを示したいから}\\ &= 2(2k^2+6k+3)\ \colMM{red}{2 \times 〇\ の形に変形}\\ となる & 。2k^2+6k+3\ は整数であるから,\\ & \colMM{green}{ 2(2k^2+6k+3)\ は,2の倍数=偶数}\\ & \colBX{palegreen}{$n^2+4n+1$\ は偶数}である。\\ \\ よって & ,\colBX{mistyrose}{\bf 対偶}が証明されたから\\ & もとの命題も真である。 \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan