次の命題を対偶を利用して証明せよ。
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対偶の命題を作る
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{matrix}
\colFR{red}{元} & n^2\ が偶数 & \Longrightarrow & n\ は偶数\\
& \colMM{red}{\bf 前後を逆に\ \searrow} & & \colMM{red}{\bf \swarrow\ 前後を逆に} \\\
\colFR{red}{逆} & n\ が偶数 & \Longrightarrow & n^2\ は偶数\\
& \colMM{red}{\bf \Darrさらに否定}& & \colMM{red}{\bf \Darrさらに否定}\\
& n\ が偶数ではない & \Longrightarrow & n^2\ は偶数ではない\\
& \colMM{red}{\bf\Darr翻訳} & & \colMM{red}{\bf\Darr翻訳}\\
\colFR{red}{\bf 対偶} & n\ が奇数 & \Longrightarrow & n^2\ は奇数
\end{matrix}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan【解答】
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
この命 & 題の\colBX{mistyrose}{\bf 対偶}\colMM{red}{は，元の命題と真偽が一致するから}\\
& 「\colBX{bisque}{$n$\ が奇数}ならば，\colBX{palegreen}{$n^2$\ は奇数}である」\\
を証明 & すればよい。\\
\\
\colBX{bisque}{$n$\ が奇} & \colBX{bisque}{数}のとき，n\ はある整数\ k\ を用いて，\\
& n = 2k+1\ \colMM{orange}{\cdots偶数+1 and 偶数=2の倍数=2k}\\
と表せ & る。このとき，\colMM{red}{実際に\ n^2\ を計算してみると}\\
n^2 &= (2k+1)^2\\
&= 4k^2+4k+1\ \colMM{red}{奇数であることを示したいから}\\
&= 2(2k^2+2k)+1\ \colMM{red}{2 \times 〇+1\ の形に変形}\\
となる & 。2k^2+2k\ は整数であるから，\\
& \colMM{green}{ 2(2k^2+2k)\ は，2の倍数＝偶数}\\
& \colMM{green}{ 2(2k^2+2k)+1\ は，偶数+1=奇数！}\\
& \colBX{palegreen}{$n^2$\ は奇数}である。\\
\\
よって & ，\colBX{mistyrose}{\bf 対偶}が証明されたから\\
& もとの命題も真である。
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
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対偶の命題を作る
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{matrix}
\colFR{red}{元} & n^2\ が\ 3\ の倍数 & \Longrightarrow & n\ は\ 3\ の倍数\\
& \colMM{red}{\bf 前後を逆に\ \searrow} & & \colMM{red}{\bf \swarrow\ 前後を逆に} \\\
\colFR{red}{逆} & n\ が\ 3\ の倍数 & \Longrightarrow & n^2\ は\ 3\ の倍数\\
& \colMM{red}{\bf \Darrさらに否定}& & \colMM{red}{\bf \Darrさらに否定}\\
\colFR{red}{\bf対偶}& n\ が\ 3\ の倍数でない & \Longrightarrow & n^2\ は\ 3\ の倍数でない
\end{matrix}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan【解答】
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
この命 & 題の\colBX{mistyrose}{\bf 対偶}\colMM{red}{は，元の命題と真偽が一致するから}\\
& 「\colBX{bisque}{$n$\ が\ 3\ の倍数でない}ならば，\colBX{palegreen}{$n^2$\ は\ 3\ の倍数でない}」\\
を証明 & すればよい。\\
\\
\colBX{bisque}{$n$\ が\ 3} & \colBX{bisque}{の倍数でない}とき，n\ はある整数\ k\ を用いて，\\
(i)\ & n = 3k+1\ \colMM{orange}{\cdots 3\ の倍数+1 ＝ 3\ で割ると\ 1\ 余る数}\\
(ii)\ & n = 3k+2\ \colMM{orange}{\cdots 3\ の倍数+2 ＝ 3\ で割ると\ 2\ 余る数}\\
と表せ & る。\colMM{orange}{ n=3k\ は\ 3\ の倍数になるから考えない。}\\
\\
このと & き，\colMM{red}{実際に\ n^2\ を計算してみると}\\
(i)\ n &= 3k+1\ のとき\\
n^2 &= (3k+1)^2\\
&= 9k^2+6k+1\ \colMM{red}{3\ の倍数でないことを示したいから}\\
&= 3(3k^2+2k)+1\ \colMM{red}{3 \times 〇+△\ の形に変形}\\
となる & 。3k^2+2k\ は整数であるから，\\
& \colMM{green}{ 3(3k^2+2k)\ は，3\ の倍数}\\
& \colMM{green}{ 3(3k^2+2k)+1\ は，3\ の倍数+1=3\ で割り切れない！}\\
& \colBX{palegreen}{$n^2$\ は\ 3\ の倍数でない}。\\
\\
(ii)\ n &= 3k+2\ のとき\\
n^2 &= (3k+2)^2\\
&= 9k^2+12k+4\ \colMM{red}{3\ の倍数でないことを示したいから}\\
&= 9k^2+12k+3+1\\
&= 3(3k^2+4k+1)+1\ \colMM{red}{3 \times 〇+△\ の形に変形}\\
となる & 。3k^2+4k+1\ は整数であるから，\\
& \colMM{green}{ 3(3k^2+4k+1)\ は，3\ の倍数}\\
& \colMM{green}{ 3(3k^2+4k+1)+1\ は，3\ の倍数+1=3\ で割り切れない！}\\
& \colBX{palegreen}{$n^2$\ は\ 3\ の倍数でない}。\\
\\
よって & ，\colBX{mistyrose}{\bf 対偶}が証明されたから\\
& もとの命題も真である。
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
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対偶の命題を作る
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{matrix}
\colFR{red}{元} & a^2\ が奇数 & \Longrightarrow & a\ は奇数\\
& \colMM{red}{\bf 前後を逆に\ \searrow} & & \colMM{red}{\bf \swarrow\ 前後を逆に} \\\
\colFR{red}{逆} & a\ が奇数 & \Longrightarrow & a^2\ は奇数\\
& \colMM{red}{\bf \Darrさらに否定}& & \colMM{red}{\bf \Darrさらに否定}\\
& a\ が奇数ではない & \Longrightarrow & a^2\ は奇数ではない\\
& \colMM{red}{\bf\Darr翻訳} & & \colMM{red}{\bf\Darr翻訳}\\
\colFR{red}{\bf 対偶} & a\ が偶数 & \Longrightarrow & a^2\ は偶数
\end{matrix}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan【解答】
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
この命 & 題の\colBX{mistyrose}{\bf 対偶}\colMM{red}{は，元の命題と真偽が一致するから}\\
& 「\colBX{bisque}{$a$\ が偶数}ならば，\colBX{palegreen}{$a^2$\ は偶数}である」\\
を証明 & すればよい。\\
\\
\colBX{bisque}{$a$\ が偶} & \colBX{bisque}{数}のとき，a\ はある整数\ k\ を用いて，\\
& a = 2k\ \colMM{orange}{\cdots 偶数=2の倍数=2k}\\
と表せ & る。このとき，\colMM{red}{実際に\ a^2\ を計算してみると}\\
a^2 &= (2k)^2\\
&= 4k^2\ \colMM{red}{偶数であることを示したいから}\\
&= 2(2k^2)\ \colMM{red}{2 \times 〇\ の形に変形}\\
となる & 。2k^2\ は整数であるから，\\
& \colMM{green}{ 2(2k^2)\ は，2の倍数＝偶数}\\
& \colBX{palegreen}{$a^2$\ は偶数}である。\\
\\
よって & ，\colBX{mistyrose}{\bf 対偶}が証明されたから\\
& もとの命題も真である。
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan↓この問題へのリンクはこちら（右クリックで保存）
対偶の命題を作る
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{matrix}
\colFR{red}{元} & n^2+4n+1\ が奇数 & \Longrightarrow & n\ は偶数\\
& \colMM{red}{\bf 前後を逆に\ \searrow} & & \colMM{red}{\bf \swarrow\ 前後を逆に} \\\
\colFR{red}{逆} & n\ が偶数 & \Longrightarrow & n^2+4n+1\ は奇数\\
& \colMM{red}{\bf \Darrさらに否定}& & \colMM{red}{\bf \Darrさらに否定}\\
& n\ が偶数ではない & \Longrightarrow & n^2+4n+1\ は奇数ではない\\
& \colMM{red}{\bf\Darr翻訳} & & \colMM{red}{\bf\Darr翻訳}\\
\colFR{red}{\bf 対偶} & n\ が奇数 & \Longrightarrow & n^2+4n+1\ は偶数
\end{matrix}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan【解答】
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
この命 & 題の\colBX{mistyrose}{\bf 対偶}\colMM{red}{は，元の命題と真偽が一致するから}\\
& 「\colBX{bisque}{$n$\ が奇数}ならば，\colBX{palegreen}{$n^2+4n+1$\ は偶数}である」\\
を証明 & すればよい。\\
\\
\colBX{bisque}{$n$\ が奇} & \colBX{bisque}{数}のとき，n\ はある整数\ k\ を用いて，\\
& n = 2k+1\ \colMM{orange}{\cdots 偶数+1}\\
と表せ & る。このとき，\colMM{red}{実際に\ n^2+4n+1\ を計算してみると}\\
n^2+4n+1 &= (2k+1)^2+4(2k+1)+1\\
&= 4k^2+4k+1+8k+4+1\\
&= 4k^2+12k+6\ \colMM{red}{偶数であることを示したいから}\\
&= 2(2k^2+6k+3)\ \colMM{red}{2 \times 〇\ の形に変形}\\
となる & 。2k^2+6k+3\ は整数であるから，\\
& \colMM{green}{ 2(2k^2+6k+3)\ は，2の倍数＝偶数}\\
& \colBX{palegreen}{$n^2+4n+1$\ は偶数}である。\\
\\
よって & ，\colBX{mistyrose}{\bf 対偶}が証明されたから\\
& もとの命題も真である。
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan
