命題の真偽（不等式）を調べよう

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ただいま作成中

私の授業で使いながら問題を増やしているため、完成するまでに時間がかかりそうです。少しずつ問題を増やしたり、ポイント解説を付けたりしていきます。無限の彼方で完成する日を、どうぞご期待ください。

Happy Math-ing!

未完成でもよければ、使ってやってください。😃

命題の真偽（不等式）

次の命題の真偽を調べよ。また，偽であるときは反例をあげよ。

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【解答】

\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
２つの集合\\
\colBX{bisque}{$P$}&= \{x \,|\, x<3\}\\
\colBX{palegreen}{$Q$}&= \{x \,|\, x<5\}\\
を考える。\\
２つの集合&を図示すると以下のようになる。
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{red}{\bf 仮定が}&\colMM{red}{\bf 　結論に含まれる}\\
\colBX{bisque}{$P$}&\subset\colBX{palegreen}{$Q$}\\
が成り立つ。よって\\
\\
\colBX{bisque}{$x<3$} & \Longrightarrow\colBX{palegreen}{$x<5$} は\ \colFR{red}{\bf 真}\ である。
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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【解答】

\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
２つの集合\\
\colBX{bisque}{$P$}&= \{x \,|\, x<5\}\\
\colBX{palegreen}{$Q$}&= \{x \,|\, x<3\}\\
を考える。\\
２つの集合&を図示すると以下のようになる。
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{red}{\bf 仮定が}&\colMM{red}{\bf 　結論に含まれない！}\\
\colBX{bisque}{$P$}&\not\subset\colBX{palegreen}{$Q$}\\
が成り立つ。よって\\
\\
\colBX{bisque}{$x<5$} & \Longrightarrow\colBX{palegreen}{$x<3$} は\ \colFR{red}{\bf 偽}\ である。\\
\\
\colMM{red}{\bf 偽\ \Rightarrow} & \ \colMM{red}{\bf はみ出たところから反例を選ぶ}\\
反例は & \ x=4\\
& \colMM{lightgray}{x=3.4　とか　x=4.7　でもOK}
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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【解答】

\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
２つの集合\\
\colBX{bisque}{$P$}&= \{x \,|\, x > 2\}\\
\colBX{palegreen}{$Q$}&= \{x \,|\, x > 0\}\\
を考える。\\
２つの集合&を図示すると以下のようになる。
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{red}{\bf 仮定が}&\colMM{red}{\bf 　結論に含まれる}\\
\colBX{bisque}{$P$}&\subset\colBX{palegreen}{$Q$}\\
が成り立つ。よって\\
\\
\colBX{bisque}{$x > 2$} & \Longrightarrow\colBX{palegreen}{$x > 0$} は\ \colFR{red}{\bf 真}\ である。
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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【解答】

\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
２つの集合\\
\colBX{bisque}{$P$}&= \{x \,|\, x > 0\}\\
\colBX{palegreen}{$Q$}&= \{x \,|\, x > 2\}\\
を考える。\\
２つの集合&を図示すると以下のようになる。
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{red}{\bf 仮定が}&\colMM{red}{\bf 　結論に含まれない！}\\
\colBX{bisque}{$P$}&\not\subset\colBX{palegreen}{$Q$}\\
が成り立つ。よって\\
\\
\colBX{bisque}{$x>0$} & \Longrightarrow\colBX{palegreen}{$x>2$} は\ \colFR{red}{\bf 偽}\ である。\\
\\
\colMM{red}{\bf 偽\ \Rightarrow} & \ \colMM{red}{\bf はみ出たところから反例を選ぶ}\\
反例は & \ x=1\\
& \colMM{lightgray}{x=0.4　とか　x=1.7　でもOK}
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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【解答】

\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
２つの集合\\
\colBX{bisque}{$P$}&= \{x \,|\, x < 2\}\\
\colBX{palegreen}{$Q$}&= \{x \,|\, x > 0\}\\
を考える。\\
２つの集合&を図示すると以下のようになる。
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{red}{\bf 仮定が}&\colMM{red}{\bf 　結論に含まれない！}\\
\colBX{bisque}{$P$}&\not\subset\colBX{palegreen}{$Q$}\\
が成り立つ。よって\\
\\
\colBX{bisque}{$x<2$} & \Longrightarrow\colBX{palegreen}{$x>0$} は\ \colFR{red}{\bf 偽}\ である。\\
\\
\colMM{red}{\bf 偽\ \Rightarrow} & \ \colMM{red}{\bf はみ出たところから反例を選ぶ}\\
反例は & \ x=-1\\
& \colMM{lightgray}{x=-0.4　とか　x=-1.7　でもOK}
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan
p を満たすもの全体の集合 P は　かけて12になる数

P = \{\colorbox{mistyrose}{$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 12$}\}
q を満たすもの全体の集合 Q は　かけて24になる数

Q = \{\colorbox{mistyrose}{$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6$},\ 8,\ \colorbox{mistyrose}{$12$},\ 24\}
\colorbox{yellow}{$P \sub Q$} であるから，命題 p \Longrightarrow q は \colorbox{yellow}{真} である。

条件 p を満たすもの全体の集合 P は　a^2=4を解いて

P = \{\colorbox{lightgreen}{$-2$},\ \colorbox{mistyrose}{$2$}\}

条件 q を満たすもの全体の集合 Q は

Q = \{\colorbox{mistyrose}{$2$}\}
a=\colorbox{lightgreen}{$-2$} が Q に\colorbox{yellow}{含まれない}から

命題 p \Longrightarrow q は \colorbox{yellow}{偽} である。反例は a=\colorbox{lightgreen}{$-2$}

条件 p を満たすもの全体の集合 Q は

P = \{\colorbox{mistyrose}{$2$}\}

条件 q を満たすもの全体の集合 Q は　a^2=4を解いて

Q = \{-2,\ \colorbox{mistyrose}{$2$}\}
\colorbox{yellow}{$P \sub Q$} であるから，命題 p \Longrightarrow q は \colorbox{yellow}{真} である。

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