命題の真偽(不等式)
次の命題の真偽を調べよ。また,偽であるときは反例をあげよ。
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【解答】
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}} \begin{align*} 2つの集合\\ \colBX{bisque}{$P$}&= \{x \,|\, x<3\}\\ \colBX{palegreen}{$Q$}&= \{x \,|\, x<5\}\\ を考える。\\ 2つの集合&を図示すると以下のようになる。 \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan

\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}} \begin{align*} \colMM{red}{\bf 仮定が}&\colMM{red}{\bf 結論に含まれる}\\ \colBX{bisque}{$P$}&\subset\colBX{palegreen}{$Q$}\\ が成り立つ。よって\\ \\ \colBX{bisque}{$x<3$} & \Longrightarrow\colBX{palegreen}{$x<5$} は\ \colFR{red}{\bf 真}\ である。 \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
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【解答】
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}} \begin{align*} 2つの集合\\ \colBX{bisque}{$P$}&= \{x \,|\, x<5\}\\ \colBX{palegreen}{$Q$}&= \{x \,|\, x<3\}\\ を考える。\\ 2つの集合&を図示すると以下のようになる。 \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan

\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}} \begin{align*} \colMM{red}{\bf 仮定が}&\colMM{red}{\bf 結論に含まれない!}\\ \colBX{bisque}{$P$}&\not\subset\colBX{palegreen}{$Q$}\\ が成り立つ。よって\\ \\ \colBX{bisque}{$x<5$} & \Longrightarrow\colBX{palegreen}{$x<3$} は\ \colFR{red}{\bf 偽}\ である。\\ \\ \colMM{red}{\bf 偽\ \Rightarrow} & \ \colMM{red}{\bf はみ出たところから反例を選ぶ}\\ 反例は & \ x=4\\ & \colMM{lightgray}{x=3.4 とか x=4.7 でもOK} \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
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【解答】
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}} \begin{align*} 2つの集合\\ \colBX{bisque}{$P$}&= \{x \,|\, x > 2\}\\ \colBX{palegreen}{$Q$}&= \{x \,|\, x > 0\}\\ を考える。\\ 2つの集合&を図示すると以下のようになる。 \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan

\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}} \begin{align*} \colMM{red}{\bf 仮定が}&\colMM{red}{\bf 結論に含まれる}\\ \colBX{bisque}{$P$}&\subset\colBX{palegreen}{$Q$}\\ が成り立つ。よって\\ \\ \colBX{bisque}{$x > 2$} & \Longrightarrow\colBX{palegreen}{$x > 0$} は\ \colFR{red}{\bf 真}\ である。 \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
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【解答】
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}} \begin{align*} 2つの集合\\ \colBX{bisque}{$P$}&= \{x \,|\, x > 0\}\\ \colBX{palegreen}{$Q$}&= \{x \,|\, x > 2\}\\ を考える。\\ 2つの集合&を図示すると以下のようになる。 \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan

\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}} \begin{align*} \colMM{red}{\bf 仮定が}&\colMM{red}{\bf 結論に含まれない!}\\ \colBX{bisque}{$P$}&\not\subset\colBX{palegreen}{$Q$}\\ が成り立つ。よって\\ \\ \colBX{bisque}{$x>0$} & \Longrightarrow\colBX{palegreen}{$x>2$} は\ \colFR{red}{\bf 偽}\ である。\\ \\ \colMM{red}{\bf 偽\ \Rightarrow} & \ \colMM{red}{\bf はみ出たところから反例を選ぶ}\\ 反例は & \ x=1\\ & \colMM{lightgray}{x=0.4 とか x=1.7 でもOK} \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
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【解答】
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}} \begin{align*} 2つの集合\\ \colBX{bisque}{$P$}&= \{x \,|\, x < 2\}\\ \colBX{palegreen}{$Q$}&= \{x \,|\, x > 0\}\\ を考える。\\ 2つの集合&を図示すると以下のようになる。 \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan

\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}} \begin{align*} \colMM{red}{\bf 仮定が}&\colMM{red}{\bf 結論に含まれない!}\\ \colBX{bisque}{$P$}&\not\subset\colBX{palegreen}{$Q$}\\ が成り立つ。よって\\ \\ \colBX{bisque}{$x<2$} & \Longrightarrow\colBX{palegreen}{$x>0$} は\ \colFR{red}{\bf 偽}\ である。\\ \\ \colMM{red}{\bf 偽\ \Rightarrow} & \ \colMM{red}{\bf はみ出たところから反例を選ぶ}\\ 反例は & \ x=-1\\ & \colMM{lightgray}{x=-0.4 とか x=-1.7 でもOK} \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
p を満たすもの全体の集合 P は かけて12になる数
q を満たすもの全体の集合 Q は かけて24になる数
\colorbox{yellow}{$P \sub Q$} であるから,命題 p \Longrightarrow q は \colorbox{yellow}{真} である。
P = \{\colorbox{mistyrose}{$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 12$}\}
Q = \{\colorbox{mistyrose}{$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6$},\ 8,\ \colorbox{mistyrose}{$12$},\ 24\}
条件 p を満たすもの全体の集合 P は a^2=4を解いて
P = \{\colorbox{lightgreen}{$-2$},\ \colorbox{mistyrose}{$2$}\}
条件 q を満たすもの全体の集合 Q は
Q = \{\colorbox{mistyrose}{$2$}\}
命題 p \Longrightarrow q は \colorbox{yellow}{偽} である。反例は a=\colorbox{lightgreen}{$-2$}
条件 p を満たすもの全体の集合 Q は
P = \{\colorbox{mistyrose}{$2$}\}
条件 q を満たすもの全体の集合 Q は a^2=4を解いて
Q = \{-2,\ \colorbox{mistyrose}{$2$}\}