私の授業で使いながら問題を増やしているため、完成するまでに時間がかかりそうです。少しずつ問題を増やしたり、ポイント解説を付けたりしていきます。無限の彼方で完成する日を、どうぞご期待ください。
Happy Math-ing!
未完成でもよければ、使ってやってください。😃
次の文や式が命題であるかどうか答えよ。また，命題である場合はその真偽をいえ。
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【解説】
素数とは２以上の自然数で，１と自分自身以外に約数を持たない数です。例えば２の約数は
１・・・・１と
２・・自分自身
だから，２は素数です。ちなみに唯一の偶数の素数でもあります。問題は３以上だから，２は考える必要はありません。続いて３の約数は
１・・・・１と
３・・自分自身
だから，３は素数です。そして奇数です。続いて４の約数は
１・・・・１と
２・・・・・★
４・・自分自身
となり，１と自分自身以外に約数（２）を持っているから素数ではありません。次に５の約数は
１・・・・１と
５・・自分自身
だから，５は素数です。これも奇数です。どうやら３以上の「素数は奇数である」と言えそうです。次に６の約数は
１・・・・１と
２・・・・・★
３・・・・・・
６・・自分自身
となり，１と自分自身以外に約数（２・３）を持っているから素数ではありません。どうやら偶数は素数になれないようです。その理由を考えてみましょう。
偶数とは２の倍数のことです。２の倍数は必ず２で割り切れます。つまり，偶数の約数には必ず約数２★が含まれるというわけです。よって，３以上の偶数は素数にはならないことが分かりました。
【答え】
「３以上の素数は奇数である」は正しい。
よって真の命題である。
正しいか正しくないかが定まる文や式を命題といいます。
【証明】
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
& \colMM{orange}{\Darr 例えば\ 28\ を考えよう}\\
& m\ を\ 3\ 以上の偶数とすると\\
& \colMM{green}{ 28 \div 2 = 14\ \Darr}\\
&適当な自然数\ n\ を用いて\\
& \colMM{magenta}{ 28 = 2 \times 14\ \Darr}\\
& m=2 \times n\ と表すことができる。\\
& よって，\colMM{red}{m=1 \times m = 2 \times n\ だから}\\
& m\ は少なくとも次の約数をもつ。\\
& 1,\ 2,\ n,\ m\\
&したがって，\\
& m\ は1と自分自身以外に約数をもつから\\
& \bf 素数ではない。
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan【答え】
「３以上の素数は奇数である」は正しい。
よって真の命題である。
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【解説】
いろいろな奇数＋奇数を考えてみても
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
3+7 &=& 10\ \colMM{red}{\cdots\bf 偶数}\\
11+5 &=& 16\ \colMM{red}{\cdots\bf 偶数}\\
123+33 &=& 156\ \colMM{red}{\cdots\bf 偶数}\\
4321+111 &=&4432\ \colMM{red}{\cdots\bf 偶数}\\
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyanすべて結果は偶数になります。ご存知の通り
奇数＋奇数＝偶数
偶数＋偶数＝偶数
奇数＋偶数＝奇数
偶数＋奇数＝奇数
ですね。よって，
奇数＋奇数＝奇数
は正しくありません。
【答え】
「奇数と奇数の和は奇数である」は正しくない。
よって偽の命題である。
正しいか正しくないかが定まる文や式を命題といいます。
【証明】
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
& \colMM{orange}{ \Darr 奇数=偶数+1と表せる}\\
2\ つの & 奇数\ a,\ b\ を\ \colMM{orange}{ \Darr 偶数=2 \times \fbox{ }と表せる}\\
& a = 2m+1,\ b = 2n+1\\
とおく&。（m,\ n\ は自然数）\\
\\
a+b &= (2m+1)+(2n+1)\\
&= 2m+2n+2\\
&= 2(m+n+1)\ \colMM{red}{\ \cdots2 \times \fbox{ }と表せた！偶数！}\\
よって，\\
a+b & \ は偶数である。\\
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan【答え】
「奇数と奇数の和は奇数である」は正しくない。
よって偽の命題である。
正しいか正しくないかが定まる文や式を命題といいます。
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【解説】
「美しい多角形」は，人によって感じ方の違う言葉です。正六角形のほうが美しいと思う人にとっては正しいし，正五角形のほうが美しいと思う人にとっては正しくありません。そして，数学的に「美しい」かどうかを決めることもできません。
ちなみに管理人の私は，円を均等に分割して生み出される図形という意味で，
どちらも美しい
と思います。このように人によって意見が分かれてしまいます。
【答え】
「正六角形は正五角形よりも美しい多角形である」は
正しいか正しくないか決まらない。
よって命題ではない。
正しいか正しくないかが定まる文や式を命題といいます。
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【解説】
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
& 結論「x^2=x」を解くと\\
& \begin{align*}
x^2 &= x\\
x^2-x &= 0\\
x(x-1) &= 0\\
x &= 0,\ 1
\end{align*}\\
\\
& 仮定「x=1」を満たす\ x\ の集合をPとすれば\\
& P=\{\ 1\ \}\\
\\
& 結論「x^2=x」を満たす\ x\ の集合をQとすれば\\
& Q=\{\ 0,\ 1\ \}\\
\\
& P \subset Q\ であるから正しい
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan【答え】
「x=1 は x^2=x の解である」は正しい。
よって真の命題である。
正しいか正しくないかが定まる文や式を命題といいます。
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【解説】
まず近似値（きんじち）とは、必要とされる誤差の範囲内で、ある数を表していると思って構わない数値のことです。円周率といえば「3.14」と答える人が多いのは確かでしょう。でも人によっては
3.141592
だったり
3.14159265359
だと答える人もいるでしょう。十分に小さな円であれば円周率を 3.1 として計算しても問題ありませんが，より正確な値が欲しい場合は桁数を増やす必要があります
このように近似値とは利用シーンに合わせて適切な桁数を選ぶものです。「よく」3.14が使われますが，必ず 3.14 を使う必要はありません。
【答え】
「3.14は円周率の近似値としてよく用いられる」は
正しいか正しくないか決まらない。
よって命題ではない。
正しいか正しくないかが定まる文や式を命題といいます。
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【解説】
正方形とは何？
4\ 辺が等しい ＋ 内角が90^{\circ}ひし形とは何？
4\ 辺が等しい
定義から分かる通り，正方形であれば「4辺が等しい」から，正方形はひし形の性質を持っていることが分かります。
【答え】
「正方形はひし形である」は正しい。
よって真の命題である。
正しいか正しくないかが定まる文や式を命題といいます。
