btakeshi
２次関数の軸と頂点、最大最小そしてグラフを書く際に必ず必要になる「平方完成」をマスターしましょう。いよいよレベル⑥ですが、大切なことを確認しておきます。すべてのレベルで解き方は一緒です。途中で分数が出てこようが、ルートが出てこようが、平方完成の方法は変わりません。ここが分かれば平方完成は簡単だ！と感じられるはずです。きっちりと手順を理解して使えるようにしましょう。
次の２次関数を y=a(x-p)^2+q の形に変形し，グラフの軸と頂点を求めよ。
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【解答】
\begin{align*}
& \scriptsize\qquad\color{red}\Darr\bf\ ２次の係数が１以外！\\
y &= \colorbox{mistyrose}{$\displaystyle2$} x^2 -3 x +4\\
& \scriptsize\qquad\qquad\quad\color{red}\Darr\ -3 \div \left( 2 \right) = \colorbox{mistyrose}{$\displaystyle- \frac{3}{2}$}\\
&= \colorbox{white}{$2$} \left( x^2 \colorbox{mistyrose}{$\displaystyle- \frac{3}{2}$} x \right) +4\\
& \scriptsize\qquad\qquad\quad\color{orange}\Darr\ - \frac{3}{2} \times \dfrac12 = \colorbox{bisque}{$\displaystyle- \frac{3}{4}$}\\
&= \colorbox{white}{$2$}\left\{ \left( x \colorbox{bisque}{$\displaystyle- \frac{3}{4}$} \right)^2 \colorbox{palegreen}{$\displaystyle - \frac{9}{16}$} \right\} +4\\
& \scriptsize\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\color{green}\Uarr\ 2乗した\ \frac{9}{16}\ を引く\\
&= \colorbox{white}{$2$} \left( x - \frac{3}{4} \right)^2 \colorbox{violet}{$\displaystyle- \frac{9}{8}$} +4\\
& \scriptsize\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\color{magenta}\Uarr\ 2 \times \left( -\frac{9}{16} \right)\\
&= \colorbox{white}{$2$} \left( x - \frac{3}{4} \right)^2 +\frac{23}{8}\\
よって\\
& \scriptsize\color{deepskyblue}x - \frac{3}{4}=0\ を解いて\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle\frac{3}{4}$}\\
& 軸\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle\frac{3}{4}$}\\
& 頂点\ \left( \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle\frac{3}{4}$},\ \frac{23}{8} \right)
\end{align*}
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【解答】
\begin{align*}
& \scriptsize\qquad\color{red}\Darr\bf\ ２次の係数が１以外！\\
y &= \colorbox{mistyrose}{$\displaystyle3$} x^2 +2 x -1\\
& \scriptsize\qquad\qquad\quad\color{red}\Darr\ +2 \div \left( 3 \right) = \colorbox{mistyrose}{$\displaystyle+\frac{2}{3}$}\\
&= \colorbox{white}{$3$} \left( x^2 \colorbox{mistyrose}{$\displaystyle+\frac{2}{3}$} x \right) -1\\
& \scriptsize\qquad\qquad\quad\color{orange}\Darr\ +\frac{2}{3} \times \dfrac12 = \colorbox{bisque}{$\displaystyle+\frac{1}{3}$}\\
&= \colorbox{white}{$3$}\left\{ \left( x \colorbox{bisque}{$\displaystyle+\frac{1}{3}$} \right)^2 \colorbox{palegreen}{$\displaystyle - \frac{1}{9}$} \right\} -1\\
& \scriptsize\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\color{green}\Uarr\ 2乗した\ \frac{1}{9}\ を引く\\
&= \colorbox{white}{$3$} \left( x +\frac{1}{3} \right)^2 \colorbox{violet}{$\displaystyle- \frac{1}{3}$} -1\\
& \scriptsize\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\color{magenta}\Uarr\ 3 \times \left( -\frac{1}{9} \right)\\
&= \colorbox{white}{$3$} \left( x +\frac{1}{3} \right)^2 - \frac{4}{3}\\
よって\\
& \scriptsize\color{deepskyblue}x + \frac{1}{3}=0\ を解いて\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle- \frac{1}{3}$}\\
& 軸\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle- \frac{1}{3}$}\\
& 頂点\ \left( \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle- \frac{1}{3}$},\ - \frac{4}{3} \right)
\end{align*}
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【解答】
\begin{align*}
& \scriptsize\qquad\color{red}\Darr\bf\ ２次の係数が１以外！\\
y &= \colorbox{mistyrose}{$\displaystyle2$} x^2 -3 x +3\\
& \scriptsize\qquad\qquad\quad\color{red}\Darr\ -3 \div \left( 2 \right) = \colorbox{mistyrose}{$\displaystyle- \frac{3}{2}$}\\
&= \colorbox{white}{$2$} \left( x^2 \colorbox{mistyrose}{$\displaystyle- \frac{3}{2}$} x \right) +3\\
& \scriptsize\qquad\qquad\quad\color{orange}\Darr\ - \frac{3}{2} \times \dfrac12 = \colorbox{bisque}{$\displaystyle- \frac{3}{4}$}\\
&= \colorbox{white}{$2$}\left\{ \left( x \colorbox{bisque}{$\displaystyle- \frac{3}{4}$} \right)^2 \colorbox{palegreen}{$\displaystyle - \frac{9}{16}$} \right\} +3\\
& \scriptsize\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\color{green}\Uarr\ 2乗した\ \frac{9}{16}\ を引く\\
&= \colorbox{white}{$2$} \left( x - \frac{3}{4} \right)^2 \colorbox{violet}{$\displaystyle- \frac{9}{8}$} +3\\
& \scriptsize\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\color{magenta}\Uarr\ 2 \times \left( -\frac{9}{16} \right)\\
&= \colorbox{white}{$2$} \left( x - \frac{3}{4} \right)^2 +\frac{15}{8}\\
よって\\
& \scriptsize\color{deepskyblue}x - \frac{3}{4}=0\ を解いて\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle\frac{3}{4}$}\\
& 軸\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle\frac{3}{4}$}\\
& 頂点\ \left( \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle\frac{3}{4}$},\ \frac{15}{8} \right)
\end{align*}
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【解答】
\begin{align*}
& \scriptsize\qquad\color{red}\Darr\bf\ ２次の係数が１以外！\\
y &= \colorbox{mistyrose}{$\displaystyle-2$} x^2 +9 x +4\\
& \scriptsize\qquad\qquad\quad\color{red}\Darr\ +9 \div \left( -2 \right) = \colorbox{mistyrose}{$\displaystyle- \frac{9}{2}$}\\
&= \colorbox{white}{$-2$} \left( x^2 \colorbox{mistyrose}{$\displaystyle- \frac{9}{2}$} x \right) +4\\
& \scriptsize\qquad\qquad\quad\color{orange}\Darr\ - \frac{9}{2} \times \dfrac12 = \colorbox{bisque}{$\displaystyle- \frac{9}{4}$}\\
&= \colorbox{white}{$-2$}\left\{ \left( x \colorbox{bisque}{$\displaystyle- \frac{9}{4}$} \right)^2 \colorbox{palegreen}{$\displaystyle - \frac{81}{16}$} \right\} +4\\
& \scriptsize\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\color{green}\Uarr\ 2乗した\ \frac{81}{16}\ を引く\\
&= \colorbox{white}{$-2$} \left( x - \frac{9}{4} \right)^2 \colorbox{violet}{$\displaystyle+\frac{81}{8}$} +4\\
& \scriptsize\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\color{magenta}\Uarr\ -2 \times \left( -\frac{81}{16} \right)\\
&= \colorbox{white}{$-2$} \left( x - \frac{9}{4} \right)^2 +\frac{113}{8}\\
よって\\
& \scriptsize\color{deepskyblue}x - \frac{9}{4}=0\ を解いて\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle\frac{9}{4}$}\\
& 軸\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle\frac{9}{4}$}\\
& 頂点\ \left( \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle\frac{9}{4}$},\ \frac{113}{8} \right)
\end{align*}
