
2次式の一般形 ax^2+bx+c から標準形 a(x-p)^2+q にする計算を 平方完成 といいます。2次関数の頂点や軸を求めてグラフをかいたり,最大値や最小値を求めるなど,色々なところで活躍する大切な計算です。徹底的に練習してマスターしましょう。
気になるところをタップして確認しましょう。
ax^2+bx+c を平方完成する4つのSTEP
- x^2 の係数 a で因数分解
- a(x^2+◯x)+c の形に変形する
- x^2 の係数が 1 なら次のステップへ
- x の係数 \times \dfrac12 = b'
- b' で平方完成
- a \neq 1 なら a\{(x+b')^2-b'^2\}+c
- a = 1 なら (x+b')^2-b'^2+c
- 形を整える
- a \neq 1 なら a(x-p)^2+q
- a = 1 なら (x-p)^2+q
最後に検算して確認しておこう。展開して元の式に戻ることが確認できれば完璧です。
例題をしっかりと確認してから練習問題に進みましょう!
x^2 の係数が1である
準備 不要!
さっそく平方完成をしましょう。
\def\valB{+4} \def\valBh{+2} \def\valBhp{2} \def\valC{} \def\valABh{-4} \def\valQ{-1} \begin{align*} &\textcolor{white}{=} \colorbox{lightcyan}{$x^2 \valB x$} \valC\\ & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ②\ x\ の係数\ \valB\ \times \dfrac12 = \colorbox{lightgreen}{$\valBh$}}}\\ &= (x \colorbox{lightgreen}{$\valBh$})^2 - \colorbox{lightgreen}{$\valBhp$}^2 \valC\\ & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ③\ 平方を作って,ひく2乗}}\\ &= (x \valBh)^2 \valABh \valC %\\ %& \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ④\ 形を整える}}\\ %&= (x \valBh)^2 \valQ \end{align*}
x^2+4x=(x+2)^2-4
x^2 の係数が1ではない
準備 x^2 の係数 3 の逆数 \dfrac{1}{3} をかける!
\def\valA{3} \def\valAr{\dfrac{1}{3}}%x^2の係数の逆数 \def\valB{+6} \def\valBh{+2}%因数分解後のxの係数 \begin{align*} (\colorbox{mistyrose}{$\valA$} x^2 \valB x) \times \valAr &= \frac{\valA x^2}{\colorbox{mistyrose}{$\valA$}}\ \frac{\valB x}{\colorbox{mistyrose}{$\valA$}}\\\\ &= \colorbox{lightcyan}{$x^2 \valBh x$} \end{align*}
準備が出来ました。平方完成をしましょう。
\def\valA{3} \def\valB{+6} \def\valBh{+2}%x^2の係数で因数分解したxの係数 \def\valBhn{+1}%x^2の係数を因数分解して更に平方完成した \def\valBhp{1}%x^2の係数を因数分解して更に平方完成した値の絶対値 \def\valABhn{-3}%平方完成後の展開。A *(- Bhn^2) \def\valC{+2} \def\valQ{-1} \begin{align*} &\textcolor{white}{=} \colorbox{mistyrose}{$\valA$} x^2 \valB x \valC\\ & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ①\ \colorbox{mistyrose}{$\valA$}( )\valC\ の形に変形}}\\ &= \colorbox{mistyrose}{$\valA$} (\colorbox{lightcyan}{$x^2 \valBh x$}) \valC\\ & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ②\ x\ の係数\ \valBh\ \times \frac12 = \colorbox{lightgreen}{$\valBhn$}}}\\ &= \valA\{(x \colorbox{lightgreen}{$\valBhn$})^2 - \colorbox{lightgreen}{$\valBhp$}^2\} \valC\\ & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ③\ 平方を作って,引く2乗}}\\ &= \valA (x \valBhn)^2 \valABhn \valC\\ & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ④\ 形を整える}}\\ &= \valA (x \valBhn)^2 \valQ\\ & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ これを展開すると,元の式に戻ることを確認!}} \end{align*}
3x^2+6x+2 = 3(x+1)^2-1
何度も解いて体で覚えましょう!
x^2 の係数が1である
準備 不要!
さっそく平方完成をしましょう。
\def\valB{+4} \def\valBh{+2} \def\valBhp{2} \def\valC{} \def\valABh{-4} \begin{align*} &\textcolor{white}{=} \colorbox{lightcyan}{$x^2 \valB x$} \valC\\ & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ②\ x\ の係数\ \valB\ \times \dfrac12 = \colorbox{lightgreen}{$\valBh$}}}\\ &= (x \colorbox{lightgreen}{$\valBh$})^2 - \colorbox{lightgreen}{$\valBhp$}^2 \valC\\ & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ③\ 平方を作って,ひく2乗}}\\ &= (x \valBh)^2 \valABh \valC %\\ %& \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ④\ 形を整える}}\\ %&= (x \valBh)^2 \valQ \end{align*}
x^2+4x=(x+2)^2-4
x^2 の係数が1である
準備 不要!
さっそく平方完成をしましょう。
\def\valB{-3} \def\valBh{-\dfrac32} \def\valBhp{\left(\dfrac32\right)} \def\valC{+2} \def\valABh{-\dfrac94} \def\valQ{-\dfrac14} \begin{align*} &\textcolor{white}{=} \colorbox{lightcyan}{$x^2 \valB x$} \valC\\ & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ②\ x\ の係数\ \valB\ \times \dfrac12 = \colorbox{lightgreen}{$\valBh$}}}\\ &= \left(x \colorbox{lightgreen}{$\valBh$}\right)^2 - \colorbox{lightgreen}{$\valBhp$}^2 \valC\\ & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ③\ 平方を作って,ひく2乗}}\\ &= \left(x \valBh\right)^2 \valABh \valC \\ & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ④\ 形を整える}}\\ &= \left(x \valBh\right)^2 \valQ \end{align*}
x^2-3x+2=\left(x-\dfrac32\right)^2-\dfrac14
x^2 の係数が1である
準備 不要!
さっそく平方完成をしましょう。
\def\valB{+8} \def\valBh{+4} \def\valBhp{4} \def\valC{} \def\valABh{-16} \begin{align*} &\textcolor{white}{=} \colorbox{lightcyan}{$x^2 \valB x$} \valC\\ & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ②\ x\ の係数\ \valB\ \times \dfrac12 = \colorbox{lightgreen}{$\valBh$}}}\\ &= (x \colorbox{lightgreen}{$\valBh$})^2 - \colorbox{lightgreen}{$\valBhp$}^2 \valC\\ & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ③\ 平方を作って,ひく2乗}}\\ &= (x \valBh)^2 \valABh \valC\\ %& \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ④\ 形を整える}}\\ %&= (x \valBh)^2 \valQ \end{align*}
x^2+8x=(x+4)^2-16
x^2 の係数が1である
準備 不要!
さっそく平方完成をしましょう。
\def\valB{-4} \def\valBh{-2} \def\valBhp{2} \def\valC{} \def\valABh{-4} \begin{align*} &\textcolor{white}{=} \colorbox{lightcyan}{$x^2 \valB x$} \valC\\ & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ②\ x\ の係数\ \valB\ \times \dfrac12 = \colorbox{lightgreen}{$\valBh$}}}\\ &= (x \colorbox{lightgreen}{$\valBh$})^2 - \colorbox{lightgreen}{$\valBhp$}^2 \valC\\ & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ③\ 平方を作って,ひく2乗}}\\ &= (x \valBh)^2 \valABh \valC\\ %& \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ④\ 形を整える}}\\ %&= (x \valBh)^2 \valQ \end{align*}
x^2-4x=(x-2)^2-4
x^2 の係数が1である
準備 不要!
さっそく平方完成をしましょう。
\def\valB{+6} \def\valBh{+3} \def\valBhp{3} \def\valC{+8} \def\valABh{-9} \def\valQ{-1} \begin{align*} &\textcolor{white}{=} \colorbox{lightcyan}{$x^2 \valB x$} \valC\\ & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ②\ x\ の係数\ \valB\ \times \dfrac12 = \colorbox{lightgreen}{$\valBh$}}}\\ &= (x \colorbox{lightgreen}{$\valBh$})^2 - \colorbox{lightgreen}{$\valBhp$}^2 \valC\\ & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ③\ 平方を作って,ひく2乗}}\\ &= (x \valBh)^2 \valABh \valC\\ & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ④\ 形を整える}}\\ &= (x \valBh)^2 \valQ \end{align*}
x^2+6x+8=(x+3)^2-1
x^2 の係数が1である
準備 不要!
さっそく平方完成をしましょう。
\def\valB{-8} \def\valBh{-4} \def\valBhp{4} \def\valC{+10} \def\valABh{-16} \def\valQ{-6} \begin{align*} &\textcolor{white}{=} \colorbox{lightcyan}{$x^2 \valB x$} \valC\\ & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ②\ x\ の係数\ \valB\ \times \dfrac12 = \colorbox{lightgreen}{$\valBh$}}}\\ &= (x \colorbox{lightgreen}{$\valBh$})^2 - \colorbox{lightgreen}{$\valBhp$}^2 \valC\\ & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ③\ 平方を作って,ひく2乗}}\\ &= (x \valBh)^2 \valABh \valC\\ & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ④\ 形を整える}}\\ &= (x \valBh)^2 \valQ \end{align*}
x^2-8x+10=(x-4)^2-6
x^2 の係数が1である
準備 不要!
さっそく平方完成をしましょう。
\def\valB{+5} \def\valBh{+\dfrac52} \def\valBhp{\left(\dfrac52\right)} \def\valC{} \def\valABh{-\dfrac{25}{4}} \def\valQ{-\dfrac14} \begin{align*} &\textcolor{white}{=} \colorbox{lightcyan}{$x^2 \valB x$} \valC\\ & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ②\ x\ の係数\ \valB\ \times \dfrac12 = \colorbox{lightgreen}{$\valBh$}}}\\ &= \left(x \colorbox{lightgreen}{$\valBh$}\right)^2 - \colorbox{lightgreen}{$\valBhp$}^2 \valC\\ & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ③\ 平方を作って,ひく2乗}}\\ &= \left(x \valBh\right)^2 \valABh \valC %\\ %& \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ④\ 形を整える}}\\ %&= \left(x \valBh\right)^2 \valQ \end{align*}
x^2+5x=\left(x+\dfrac52\right)^2-\dfrac{25}{4}
x^2 の係数が1である
準備 不要!
さっそく平方完成をしましょう。
\def\valB{-1} \def\valBh{-\dfrac12} \def\valBhp{\left(\dfrac12\right)} \def\valC{+1} \def\valABh{-\dfrac{1}{4}} \def\valQ{+\dfrac34} \begin{align*} &\textcolor{white}{=} \colorbox{lightcyan}{$x^2 \valB x$} \valC\\ & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ②\ x\ の係数\ \valB\ \times \dfrac12 = \colorbox{lightgreen}{$\valBh$}}}\\ &= \left(x \colorbox{lightgreen}{$\valBh$}\right)^2 - \colorbox{lightgreen}{$\valBhp$}^2 \valC\\ & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ③\ 平方を作って,ひく2乗}}\\ &= \left(x \valBh\right)^2 \valABh \valC \\ & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ④\ 形を整える}}\\ &= \left(x \valBh\right)^2 \valQ \end{align*}
x^2-x+1=\left(x-\dfrac12\right)^2+\dfrac{3}{4}
x^2 の係数が1である
準備 不要!
さっそく平方完成をしましょう。
\def\valB{+1} \def\valBh{+\dfrac12} \def\valBhp{\left(\dfrac12\right)} \def\valC{-2} \def\valABh{-\dfrac{1}{4}} \def\valQ{-\dfrac94} \begin{align*} &\textcolor{white}{=} \colorbox{lightcyan}{$x^2 \valB x$} \valC\\ & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ②\ x\ の係数\ \valB\ \times \dfrac12 = \colorbox{lightgreen}{$\valBh$}}}\\ &= \left(x \colorbox{lightgreen}{$\valBh$}\right)^2 - \colorbox{lightgreen}{$\valBhp$}^2 \valC\\ & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ③\ 平方を作って,ひく2乗}}\\ &= \left(x \valBh\right)^2 \valABh \valC \\ & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ④\ 形を整える}}\\ &= \left(x \valBh\right)^2 \valQ \end{align*}
x^2+x-2=\left(x+\dfrac12\right)^2-\dfrac{9}{4}
x^2 の係数が1である
準備 不要!
さっそく平方完成をしましょう。
\def\valB{-7} \def\valBh{-\dfrac72} \def\valBhp{\left(\dfrac72\right)} \def\valC{+12} \def\valABh{-\dfrac{49}{4}} \def\valQ{-\dfrac{1}{4}} \begin{align*} &\textcolor{white}{=} \colorbox{lightcyan}{$x^2 \valB x$} \valC\\ & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ②\ x\ の係数\ \valB\ \times \dfrac12 = \colorbox{lightgreen}{$\valBh$}}}\\ &= \left(x \colorbox{lightgreen}{$\valBh$}\right)^2 - \colorbox{lightgreen}{$\valBhp$}^2 \valC\\ & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ③\ 平方を作って,ひく2乗}}\\ &= \left(x \valBh\right)^2 \valABh \valC \\ & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ④\ 形を整える}}\\ &= \left(x \valBh\right)^2 \valQ \end{align*}
x^2-7x+12=\left(x-\dfrac72\right)^2-\dfrac{1}{4}
x^2 の係数が1ではない
準備 x^2 の係数 3 の逆数 \dfrac{1}{3} をかける!
\def\valA{3} \def\valAr{\dfrac{1}{3}}%x^2の係数の逆数 \def\valB{+6} \def\valBh{+2}%因数分解後のxの係数 \begin{align*} (\colorbox{mistyrose}{$\valA$} x^2 \valB x) \times \valAr &= \frac{\valA x^2}{\colorbox{mistyrose}{$\valA$}}\ \frac{\valB x}{\colorbox{mistyrose}{$\valA$}}\\\\ &= \colorbox{lightcyan}{$x^2 \valBh x$} \end{align*}
準備が出来ました。平方完成をしましょう。
\def\valA{3} \def\valB{+6} \def\valBh{+2}%x^2の係数で因数分解したxの係数 \def\valBhn{+1}%x^2の係数を因数分解して更に平方完成した \def\valBhp{1}%x^2の係数を因数分解して更に平方完成した値の絶対値 \def\valABhn{-3}%平方完成後の展開。A *(- Bhn^2) \def\valC{+2} \def\valQ{-1} \begin{align*} &\textcolor{white}{=} \colorbox{mistyrose}{$\valA$} x^2 \valB x \valC\\ & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ①\ \colorbox{mistyrose}{$\valA$}( )\valC\ の形に変形}}\\ &= \colorbox{mistyrose}{$\valA$} (\colorbox{lightcyan}{$x^2 \valBh x$}) \valC\\ & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ②\ x\ の係数\ \valBh\ \times \frac12 = \colorbox{lightgreen}{$\valBhn$}}}\\ &= \valA\{(x \colorbox{lightgreen}{$\valBhn$})^2 - \colorbox{lightgreen}{$\valBhp$}^2\} \valC\\ & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ③\ 平方を作って,引く2乗}}\\ &= \valA (x \valBhn)^2 \valABhn \valC\\ & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ④\ 形を整える}}\\ &= \valA (x \valBhn)^2 \valQ\\ & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ これを展開すると,元の式に戻ることを確認!}} \end{align*}
3x^2+6x+2 = 3(x+1)^2-1
x^2 の係数が1ではない
準備 x^2 の係数 2 の逆数 \dfrac{1}{2} をかける!
\def\valA{2} \def\valAr{\dfrac{1}{2}}%x^2の係数の逆数 \def\valB{-8} \def\valBh{-4}%因数分解後のxの係数 \begin{align*} (\colorbox{mistyrose}{$\valA$} x^2 \valB x) \times \valAr &= \frac{\valA x^2}{\colorbox{mistyrose}{$\valA$}}\ \frac{\valB x}{\colorbox{mistyrose}{$\valA$}}\\\\ &= \colorbox{lightcyan}{$x^2 \valBh x$} \end{align*}
準備が出来ました。平方完成をしましょう。
\def\valA{2} \def\valB{-8} \def\valBh{-4}%x^2の係数で因数分解したxの係数 \def\valBhn{-2}%x^2の係数を因数分解して更に平方完成した \def\valBhp{2}%x^2の係数を因数分解して更に平方完成した値の絶対値 \def\valABhn{-8}%平方完成後の展開。A *(- Bhn^2) \def\valC{-3} \def\valQ{-11} \begin{align*} &\textcolor{white}{=} \colorbox{mistyrose}{$\valA$} x^2 \valB x \valC\\ & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ①\ \colorbox{mistyrose}{$\valA$}( )\valC\ の形に変形}}\\ &= \colorbox{mistyrose}{$\valA$} (\colorbox{lightcyan}{$x^2 \valBh x$}) \valC\\ & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ②\ x\ の係数\ \valBh\ \times \frac12 = \colorbox{lightgreen}{$\valBhn$}}}\\ &= \valA\{(x \colorbox{lightgreen}{$\valBhn$})^2 - \colorbox{lightgreen}{$\valBhp$}^2\} \valC\\ & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ③\ 平方を作って,引く2乗}}\\ &= \valA (x \valBhn)^2 \valABhn \valC\\ & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ④\ 形を整える}}\\ &= \valA (x \valBhn)^2 \valQ\\ & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ これを展開すると,元の式に戻ることを確認!}} \end{align*}
2x^2-8x-3 = 2(x-2)^2-11
x^2 の係数が1ではない
準備 x^2 の係数 3 の逆数 \dfrac{1}{3} をかける!
\def\valA{3} \def\valAr{\dfrac{1}{3}}%x^2の係数の逆数 \def\valB{+9} \def\valBh{+3}%因数分解後のxの係数 \begin{align*} (\colorbox{mistyrose}{$\valA$} x^2 \valB x) \times \valAr &= \frac{\valA x^2}{\colorbox{mistyrose}{$\valA$}}\ \frac{\valB x}{\colorbox{mistyrose}{$\valA$}}\\\\ &= \colorbox{lightcyan}{$x^2 \valBh x$} \end{align*}
準備が出来ました。平方完成をしましょう。
\def\valA{3} \def\valB{+9} \def\valBh{+3}%x^2の係数で因数分解したxの係数 \def\valBhn{+\dfrac32}%x^2の係数を因数分解して更に平方完成した \def\valBhp{\left(\dfrac32\right)}%x^2の係数を因数分解して更に平方完成した値の絶対値 \def\valABhn{-\dfrac{27}{4}}%平方完成後の展開。A *(- Bhn^2) \def\valC{+4} \def\valQ{-\dfrac{11}{4}} \begin{align*} &\textcolor{white}{=} \colorbox{mistyrose}{$\valA$} x^2 \valB x \valC\\ & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ①\ \colorbox{mistyrose}{$\valA$}( )\valC\ の形に変形}}\\ &= \colorbox{mistyrose}{$\valA$} (\colorbox{lightcyan}{$x^2 \valBh x$}) \valC\\ & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ②\ x\ の係数\ \valBh\ \times \frac12 = \colorbox{lightgreen}{$\valBhn$}}}\\ &= \valA\left\{\left(x \colorbox{lightgreen}{$\valBhn$}\right)^2 - \colorbox{lightgreen}{$\valBhp$}^2\right\} \valC\\ & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ③\ 平方を作って,引く2乗}}\\ &= \valA \left(x \valBhn\right)^2 \valABhn \valC\\ & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ④\ 形を整える}}\\ &= \valA \left(x \valBhn\right)^2 \valQ\\ & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ これを展開すると,元の式に戻ることを確認!}} \end{align*}
3x^2+9x+4 = 3\left(x+\dfrac32\right)^2-\dfrac{11}{4}
x^2 の係数が1ではない
準備 x^2 の係数 -2 の逆数 \dfrac{1}{-2} をかける!
\def\valA{-2} \def\valAr{\dfrac{1}{-2}}%x^2の係数の逆数 \def\valB{+4} \def\valBh{-2}%因数分解後のxの係数 \begin{align*} (\colorbox{mistyrose}{$\valA$} x^2 \valB x) \times \valAr &= \frac{\valA x^2}{\colorbox{mistyrose}{$\valA$}}\ \frac{\valB x}{\colorbox{mistyrose}{$\valA$}}\\\\ &= \colorbox{lightcyan}{$x^2 \valBh x$} \end{align*}
準備が出来ました。平方完成をしましょう。
\def\valA{-2} \def\valB{+4} \def\valBh{-2}%x^2の係数で因数分解したxの係数 \def\valBhn{-1}%x^2の係数を因数分解して更に平方完成した \def\valBhp{1}%x^2の係数を因数分解して更に平方完成した値の絶対値 \def\valABhn{+2}%平方完成後の展開。A *(- Bhn^2) \def\valC{+3} \def\valQ{+5} \begin{align*} &\textcolor{white}{=} \colorbox{mistyrose}{$\valA$} x^2 \valB x \valC\\ & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ①\ \colorbox{mistyrose}{$\valA$}( )\valC\ の形に変形}}\\ &= \colorbox{mistyrose}{$\valA$} (\colorbox{lightcyan}{$x^2 \valBh x$}) \valC\\ & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ②\ x\ の係数\ \valBh\ \times \frac12 = \colorbox{lightgreen}{$\valBhn$}}}\\ &= \valA\{(x \colorbox{lightgreen}{$\valBhn$})^2 - \colorbox{lightgreen}{$\valBhp$}^2\} \valC\\ & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ③\ 平方を作って,引く2乗}}\\ &= \valA (x \valBhn)^2 \valABhn \valC\\ & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ④\ 形を整える}}\\ &= \valA (x \valBhn)^2 \valQ\\ & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ これを展開すると,元の式に戻ることを確認!}} \end{align*}
-2x^2+4x+3 = -2(x-1)^2+5
x^2 の係数が1ではない
準備 x^2 の係数 -2 の逆数 \dfrac{1}{-2} をかける!
\def\valA{-2} \def\valB{-6} \def\valAr{\dfrac{1}{-2}}%x^2の係数の逆数 \def\valBh{+3}%因数分解後のxの係数 \begin{align*} (\colorbox{mistyrose}{$\valA$} x^2 \valB x) \times \valAr &= \frac{\valA x^2}{\colorbox{mistyrose}{$\valA$}}\ \frac{\valB x}{\colorbox{mistyrose}{$\valA$}}\\\\ &= \colorbox{lightcyan}{$x^2 \valBh x$} \end{align*}
準備が出来ました。平方完成をしましょう。
\def\valA{-2} \def\valB{-6} \def\valC{+1} \def\valBh{+3}%x^2の係数で因数分解したxの係数 \def\valBhn{+\dfrac32}%x^2の係数を因数分解して更に平方完成した \def\valBhp{\left(\dfrac32\right)}%x^2の係数を因数分解して更に平方完成した値の絶対値 \def\valABhn{+\dfrac{9}{2}}%平方完成後の展開。A *(- Bhn^2) \def\valQ{+\dfrac{11}{2}} \begin{align*} &\textcolor{white}{=} \colorbox{mistyrose}{$\valA$} x^2 \valB x \valC\\ & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ①\ \colorbox{mistyrose}{$\valA$}( )\valC\ の形に変形}}\\ &= \colorbox{mistyrose}{$\valA$} (\colorbox{lightcyan}{$x^2 \valBh x$}) \valC\\ & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ②\ x\ の係数\ \valBh\ \times \frac12 = \colorbox{lightgreen}{$\valBhn$}}}\\ &= \valA\left\{\left(x \colorbox{lightgreen}{$\valBhn$}\right)^2 - \colorbox{lightgreen}{$\valBhp$}^2\right\} \valC\\ & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ③\ 平方を作って,引く2乗}}\\ &= \valA \left(x \valBhn\right)^2 \valABhn \valC\\ & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ④\ 形を整える}}\\ &= \valA \left(x \valBhn\right)^2 \valQ\\ & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ これを展開すると,元の式に戻ることを確認!}} \end{align*}
-2x^2-6x+1 = -2\left(x+\dfrac32\right)^2+\dfrac{11}{2}
- 20210718…初版公開。例題2問題8。
「平方完成して頂点と軸を求める」ページをコピーして貼って作成。コピーできるのは便利。分数が出る問題にも挑戦せねば。 - 20210728…第2版公開。例題2問題15。分数が出る問題にも対応。次は練習問題おかわりを追加する。