２次式を平方完成する

２次式を平方完成する

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btakeshi
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２次式の一般形 ax^2+bx+c から標準形 a(x-p)^2+q にする計算を 平方完成 といいます。２次関数の頂点や軸を求めてグラフをかいたり，最大値や最小値を求めるなど，色々なところで活躍する大切な計算です。徹底的に練習してマスターしましょう。

ポイントを確認！

気になるところをタップして確認しましょう。

ax^2+bx+c を平方完成する４つのSTEP

  1. x^2 の係数 a で因数分解
    • a(x^2+◯x)+c の形に変形する
    • x^2 の係数が 1 なら次のステップへ
      　
  2. x の係数 \times \dfrac12 = b'
    　
  3. b' で平方完成
    • a \neq 1 なら a\{(x+b')^2-b'^2\}+c
    • a = 1 なら (x+b')^2-b'^2+c
      　
  4. 形を整える
    • a \neq 1 なら a(x-p)^2+q
    • a = 1 なら (x-p)^2+q
      　

最後に検算して確認しておこう。展開して元の式に戻ることが確認できれば完璧です。

例題を確認！

例題をしっかりと確認してから練習問題に進みましょう！

x^2+4x を平方完成しなさい。

x^2 の係数が１である

準備 不要！

さっそく平方完成をしましょう。

\def\valB{+4}
\def\valBh{+2}
\def\valBhp{2}
\def\valC{}
\def\valABh{-4}
\def\valQ{-1}

\begin{align*}
&\textcolor{white}{=} \colorbox{lightcyan}{$x^2 \valB x$} \valC\\
& 　　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ②\ x\ の係数\ \valB\ \times \dfrac12 = \colorbox{lightgreen}{$\valBh$}}}\\
&= (x \colorbox{lightgreen}{$\valBh$})^2 - \colorbox{lightgreen}{$\valBhp$}^2 \valC\\
& 　　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ③\ 平方を作って，ひく２乗}}\\
&= (x \valBh)^2 \valABh \valC
%\\
%& 　　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ④\ 形を整える}}\\
%&= (x \valBh)^2 \valQ
\end{align*}

x^2+4x=(x+2)^2-4

3x^2+6x+2 を平方完成しなさい。

x^2 の係数が１ではない

準備 x^2 の係数 3 の逆数 \dfrac{1}{3} をかける！

\def\valA{3}
\def\valAr{\dfrac{1}{3}}%x^2の係数の逆数
\def\valB{+6}
\def\valBh{+2}%因数分解後のxの係数

\begin{align*}
(\colorbox{mistyrose}{$\valA$} x^2 \valB x) \times \valAr &= \frac{\valA x^2}{\colorbox{mistyrose}{$\valA$}}\ \frac{\valB x}{\colorbox{mistyrose}{$\valA$}}\\\\
&= \colorbox{lightcyan}{$x^2 \valBh x$}
\end{align*}

準備が出来ました。平方完成をしましょう。

\def\valA{3}
\def\valB{+6}
\def\valBh{+2}%x^2の係数で因数分解したxの係数
\def\valBhn{+1}%x^2の係数を因数分解して更に平方完成した
\def\valBhp{1}%x^2の係数を因数分解して更に平方完成した値の絶対値
\def\valABhn{-3}%平方完成後の展開。A *(- Bhn^2)
\def\valC{+2}
\def\valQ{-1}

\begin{align*}
&\textcolor{white}{=}  \colorbox{mistyrose}{$\valA$} x^2 \valB x \valC\\
& 　　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ①\ \colorbox{mistyrose}{$\valA$}(　　　)\valC\ の形に変形}}\\
&= \colorbox{mistyrose}{$\valA$} (\colorbox{lightcyan}{$x^2 \valBh x$}) \valC\\
& 　　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ②\ x\ の係数\ \valBh\ \times \frac12 = \colorbox{lightgreen}{$\valBhn$}}}\\
&= \valA\{(x \colorbox{lightgreen}{$\valBhn$})^2 - \colorbox{lightgreen}{$\valBhp$}^2\} \valC\\
& 　　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ③\ 平方を作って，引く２乗}}\\
&= \valA (x \valBhn)^2 \valABhn \valC\\
& 　　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ④\ 形を整える}}\\
&= \valA (x \valBhn)^2 \valQ\\
& 　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ これを展開すると，元の式に戻ることを確認！}}
\end{align*}

3x^2+6x+2 = 3(x+1)^2-1

練習問題にチャレンジ！

何度も解いて体で覚えましょう！

x^2 の係数が１である

準備 不要！

さっそく平方完成をしましょう。

\def\valB{+4}
\def\valBh{+2}
\def\valBhp{2}
\def\valC{}
\def\valABh{-4}

\begin{align*}
&\textcolor{white}{=} \colorbox{lightcyan}{$x^2 \valB x$} \valC\\
& 　　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ②\ x\ の係数\ \valB\ \times \dfrac12 = \colorbox{lightgreen}{$\valBh$}}}\\
&= (x \colorbox{lightgreen}{$\valBh$})^2 - \colorbox{lightgreen}{$\valBhp$}^2 \valC\\
& 　　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ③\ 平方を作って，ひく２乗}}\\
&= (x \valBh)^2 \valABh \valC
%\\
%& 　　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ④\ 形を整える}}\\
%&= (x \valBh)^2 \valQ
\end{align*}

x^2+4x=(x+2)^2-4

x^2 の係数が１である

準備 不要！

さっそく平方完成をしましょう。

\def\valB{-3}
\def\valBh{-\dfrac32}
\def\valBhp{\left(\dfrac32\right)}
\def\valC{+2}
\def\valABh{-\dfrac94}
\def\valQ{-\dfrac14}

\begin{align*}
&\textcolor{white}{=} \colorbox{lightcyan}{$x^2 \valB x$} \valC\\
& 　　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ②\ x\ の係数\ \valB\ \times \dfrac12 = \colorbox{lightgreen}{$\valBh$}}}\\
&= \left(x \colorbox{lightgreen}{$\valBh$}\right)^2 - \colorbox{lightgreen}{$\valBhp$}^2 \valC\\
& 　　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ③\ 平方を作って，ひく２乗}}\\
&= \left(x \valBh\right)^2 \valABh \valC
\\
& 　　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ④\ 形を整える}}\\
&= \left(x \valBh\right)^2 \valQ
\end{align*}

x^2-3x+2=\left(x-\dfrac32\right)^2-\dfrac14

x^2 の係数が１である

準備 不要！

さっそく平方完成をしましょう。

\def\valB{+8}
\def\valBh{+4}
\def\valBhp{4}
\def\valC{}
\def\valABh{-16}

\begin{align*}
&\textcolor{white}{=} \colorbox{lightcyan}{$x^2 \valB x$} \valC\\
& 　　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ②\ x\ の係数\ \valB\ \times \dfrac12 = \colorbox{lightgreen}{$\valBh$}}}\\
&= (x \colorbox{lightgreen}{$\valBh$})^2 - \colorbox{lightgreen}{$\valBhp$}^2 \valC\\
& 　　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ③\ 平方を作って，ひく２乗}}\\
&= (x \valBh)^2 \valABh \valC\\
%& 　　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ④\ 形を整える}}\\
%&= (x \valBh)^2 \valQ
\end{align*}

x^2+8x=(x+4)^2-16

x^2 の係数が１である

準備 不要！

さっそく平方完成をしましょう。

\def\valB{-4}
\def\valBh{-2}
\def\valBhp{2}
\def\valC{}
\def\valABh{-4}

\begin{align*}
&\textcolor{white}{=} \colorbox{lightcyan}{$x^2 \valB x$} \valC\\
& 　　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ②\ x\ の係数\ \valB\ \times \dfrac12 = \colorbox{lightgreen}{$\valBh$}}}\\
&= (x \colorbox{lightgreen}{$\valBh$})^2 - \colorbox{lightgreen}{$\valBhp$}^2 \valC\\
& 　　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ③\ 平方を作って，ひく２乗}}\\
&= (x \valBh)^2 \valABh \valC\\
%& 　　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ④\ 形を整える}}\\
%&= (x \valBh)^2 \valQ
\end{align*}

x^2-4x=(x-2)^2-4

x^2 の係数が１である

準備 不要！

さっそく平方完成をしましょう。

\def\valB{+6}
\def\valBh{+3}
\def\valBhp{3}
\def\valC{+8}
\def\valABh{-9}
\def\valQ{-1}

\begin{align*}
&\textcolor{white}{=} \colorbox{lightcyan}{$x^2 \valB x$} \valC\\
& 　　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ②\ x\ の係数\ \valB\ \times \dfrac12 = \colorbox{lightgreen}{$\valBh$}}}\\
&= (x \colorbox{lightgreen}{$\valBh$})^2 - \colorbox{lightgreen}{$\valBhp$}^2 \valC\\
& 　　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ③\ 平方を作って，ひく２乗}}\\
&= (x \valBh)^2 \valABh \valC\\
& 　　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ④\ 形を整える}}\\
&= (x \valBh)^2 \valQ
\end{align*}

x^2+6x+8=(x+3)^2-1

x^2 の係数が１である

準備 不要！

さっそく平方完成をしましょう。

\def\valB{-8}
\def\valBh{-4}
\def\valBhp{4}
\def\valC{+10}
\def\valABh{-16}
\def\valQ{-6}

\begin{align*}
&\textcolor{white}{=} \colorbox{lightcyan}{$x^2 \valB x$} \valC\\
& 　　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ②\ x\ の係数\ \valB\ \times \dfrac12 = \colorbox{lightgreen}{$\valBh$}}}\\
&= (x \colorbox{lightgreen}{$\valBh$})^2 - \colorbox{lightgreen}{$\valBhp$}^2 \valC\\
& 　　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ③\ 平方を作って，ひく２乗}}\\
&= (x \valBh)^2 \valABh \valC\\
& 　　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ④\ 形を整える}}\\
&= (x \valBh)^2 \valQ
\end{align*}

x^2-8x+10=(x-4)^2-6

x^2 の係数が１である

準備 不要！

さっそく平方完成をしましょう。

\def\valB{+5}
\def\valBh{+\dfrac52}
\def\valBhp{\left(\dfrac52\right)}
\def\valC{}
\def\valABh{-\dfrac{25}{4}}
\def\valQ{-\dfrac14}

\begin{align*}
&\textcolor{white}{=} \colorbox{lightcyan}{$x^2 \valB x$} \valC\\
& 　　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ②\ x\ の係数\ \valB\ \times \dfrac12 = \colorbox{lightgreen}{$\valBh$}}}\\
&= \left(x \colorbox{lightgreen}{$\valBh$}\right)^2 - \colorbox{lightgreen}{$\valBhp$}^2 \valC\\
& 　　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ③\ 平方を作って，ひく２乗}}\\
&= \left(x \valBh\right)^2 \valABh \valC
%\\
%& 　　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ④\ 形を整える}}\\
%&= \left(x \valBh\right)^2 \valQ
\end{align*}

x^2+5x=\left(x+\dfrac52\right)^2-\dfrac{25}{4}

x^2 の係数が１である

準備 不要！

さっそく平方完成をしましょう。

\def\valB{-1}
\def\valBh{-\dfrac12}
\def\valBhp{\left(\dfrac12\right)}
\def\valC{+1}
\def\valABh{-\dfrac{1}{4}}
\def\valQ{+\dfrac34}

\begin{align*}
&\textcolor{white}{=} \colorbox{lightcyan}{$x^2 \valB x$} \valC\\
& 　　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ②\ x\ の係数\ \valB\ \times \dfrac12 = \colorbox{lightgreen}{$\valBh$}}}\\
&= \left(x \colorbox{lightgreen}{$\valBh$}\right)^2 - \colorbox{lightgreen}{$\valBhp$}^2 \valC\\
& 　　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ③\ 平方を作って，ひく２乗}}\\
&= \left(x \valBh\right)^2 \valABh \valC
\\
& 　　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ④\ 形を整える}}\\
&= \left(x \valBh\right)^2 \valQ
\end{align*}

x^2-x+1=\left(x-\dfrac12\right)^2+\dfrac{3}{4}

x^2 の係数が１である

準備 不要！

さっそく平方完成をしましょう。

\def\valB{+1}
\def\valBh{+\dfrac12}
\def\valBhp{\left(\dfrac12\right)}
\def\valC{-2}
\def\valABh{-\dfrac{1}{4}}
\def\valQ{-\dfrac94}

\begin{align*}
&\textcolor{white}{=} \colorbox{lightcyan}{$x^2 \valB x$} \valC\\
& 　　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ②\ x\ の係数\ \valB\ \times \dfrac12 = \colorbox{lightgreen}{$\valBh$}}}\\
&= \left(x \colorbox{lightgreen}{$\valBh$}\right)^2 - \colorbox{lightgreen}{$\valBhp$}^2 \valC\\
& 　　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ③\ 平方を作って，ひく２乗}}\\
&= \left(x \valBh\right)^2 \valABh \valC
\\
& 　　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ④\ 形を整える}}\\
&= \left(x \valBh\right)^2 \valQ
\end{align*}

x^2+x-2=\left(x+\dfrac12\right)^2-\dfrac{9}{4}

x^2 の係数が１である

準備 不要！

さっそく平方完成をしましょう。

\def\valB{-7}
\def\valBh{-\dfrac72}
\def\valBhp{\left(\dfrac72\right)}
\def\valC{+12}
\def\valABh{-\dfrac{49}{4}}
\def\valQ{-\dfrac{1}{4}}

\begin{align*}
&\textcolor{white}{=} \colorbox{lightcyan}{$x^2 \valB x$} \valC\\
& 　　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ②\ x\ の係数\ \valB\ \times \dfrac12 = \colorbox{lightgreen}{$\valBh$}}}\\
&= \left(x \colorbox{lightgreen}{$\valBh$}\right)^2 - \colorbox{lightgreen}{$\valBhp$}^2 \valC\\
& 　　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ③\ 平方を作って，ひく２乗}}\\
&= \left(x \valBh\right)^2 \valABh \valC
\\
& 　　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ④\ 形を整える}}\\
&= \left(x \valBh\right)^2 \valQ
\end{align*}

x^2-7x+12=\left(x-\dfrac72\right)^2-\dfrac{1}{4}

x^2 の係数が１ではない

準備 x^2 の係数 3 の逆数 \dfrac{1}{3} をかける！

\def\valA{3}
\def\valAr{\dfrac{1}{3}}%x^2の係数の逆数
\def\valB{+6}
\def\valBh{+2}%因数分解後のxの係数

\begin{align*}
(\colorbox{mistyrose}{$\valA$} x^2 \valB x) \times \valAr &= \frac{\valA x^2}{\colorbox{mistyrose}{$\valA$}}\ \frac{\valB x}{\colorbox{mistyrose}{$\valA$}}\\\\
&= \colorbox{lightcyan}{$x^2 \valBh x$}
\end{align*}

準備が出来ました。平方完成をしましょう。

\def\valA{3}
\def\valB{+6}
\def\valBh{+2}%x^2の係数で因数分解したxの係数
\def\valBhn{+1}%x^2の係数を因数分解して更に平方完成した
\def\valBhp{1}%x^2の係数を因数分解して更に平方完成した値の絶対値
\def\valABhn{-3}%平方完成後の展開。A *(- Bhn^2)
\def\valC{+2}
\def\valQ{-1}

\begin{align*}
&\textcolor{white}{=}  \colorbox{mistyrose}{$\valA$} x^2 \valB x \valC\\
& 　　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ①\ \colorbox{mistyrose}{$\valA$}(　　　)\valC\ の形に変形}}\\
&= \colorbox{mistyrose}{$\valA$} (\colorbox{lightcyan}{$x^2 \valBh x$}) \valC\\
& 　　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ②\ x\ の係数\ \valBh\ \times \frac12 = \colorbox{lightgreen}{$\valBhn$}}}\\
&= \valA\{(x \colorbox{lightgreen}{$\valBhn$})^2 - \colorbox{lightgreen}{$\valBhp$}^2\} \valC\\
& 　　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ③\ 平方を作って，引く２乗}}\\
&= \valA (x \valBhn)^2 \valABhn \valC\\
& 　　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ④\ 形を整える}}\\
&= \valA (x \valBhn)^2 \valQ\\
& 　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ これを展開すると，元の式に戻ることを確認！}}
\end{align*}

3x^2+6x+2 = 3(x+1)^2-1

x^2 の係数が１ではない

準備 x^2 の係数 2 の逆数 \dfrac{1}{2} をかける！

\def\valA{2}
\def\valAr{\dfrac{1}{2}}%x^2の係数の逆数
\def\valB{-8}
\def\valBh{-4}%因数分解後のxの係数

\begin{align*}
(\colorbox{mistyrose}{$\valA$} x^2 \valB x) \times \valAr &= \frac{\valA x^2}{\colorbox{mistyrose}{$\valA$}}\ \frac{\valB x}{\colorbox{mistyrose}{$\valA$}}\\\\
&= \colorbox{lightcyan}{$x^2 \valBh x$}
\end{align*}

準備が出来ました。平方完成をしましょう。

\def\valA{2}
\def\valB{-8}
\def\valBh{-4}%x^2の係数で因数分解したxの係数
\def\valBhn{-2}%x^2の係数を因数分解して更に平方完成した
\def\valBhp{2}%x^2の係数を因数分解して更に平方完成した値の絶対値
\def\valABhn{-8}%平方完成後の展開。A *(- Bhn^2)
\def\valC{-3}
\def\valQ{-11}

\begin{align*}
&\textcolor{white}{=}  \colorbox{mistyrose}{$\valA$} x^2 \valB x \valC\\
& 　　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ①\ \colorbox{mistyrose}{$\valA$}(　　　)\valC\ の形に変形}}\\
&= \colorbox{mistyrose}{$\valA$} (\colorbox{lightcyan}{$x^2 \valBh x$}) \valC\\
& 　　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ②\ x\ の係数\ \valBh\ \times \frac12 = \colorbox{lightgreen}{$\valBhn$}}}\\
&= \valA\{(x \colorbox{lightgreen}{$\valBhn$})^2 - \colorbox{lightgreen}{$\valBhp$}^2\} \valC\\
& 　　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ③\ 平方を作って，引く２乗}}\\
&= \valA (x \valBhn)^2 \valABhn \valC\\
& 　　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ④\ 形を整える}}\\
&= \valA (x \valBhn)^2 \valQ\\
& 　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ これを展開すると，元の式に戻ることを確認！}}
\end{align*}

2x^2-8x-3 = 2(x-2)^2-11

x^2 の係数が１ではない

準備 x^2 の係数 3 の逆数 \dfrac{1}{3} をかける！

\def\valA{3}
\def\valAr{\dfrac{1}{3}}%x^2の係数の逆数
\def\valB{+9}
\def\valBh{+3}%因数分解後のxの係数

\begin{align*}
(\colorbox{mistyrose}{$\valA$} x^2 \valB x) \times \valAr &= \frac{\valA x^2}{\colorbox{mistyrose}{$\valA$}}\ \frac{\valB x}{\colorbox{mistyrose}{$\valA$}}\\\\
&= \colorbox{lightcyan}{$x^2 \valBh x$}
\end{align*}

準備が出来ました。平方完成をしましょう。

\def\valA{3}
\def\valB{+9}
\def\valBh{+3}%x^2の係数で因数分解したxの係数
\def\valBhn{+\dfrac32}%x^2の係数を因数分解して更に平方完成した
\def\valBhp{\left(\dfrac32\right)}%x^2の係数を因数分解して更に平方完成した値の絶対値
\def\valABhn{-\dfrac{27}{4}}%平方完成後の展開。A *(- Bhn^2)
\def\valC{+4}
\def\valQ{-\dfrac{11}{4}}

\begin{align*}
&\textcolor{white}{=}  \colorbox{mistyrose}{$\valA$} x^2 \valB x \valC\\
& 　　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ①\ \colorbox{mistyrose}{$\valA$}(　　　)\valC\ の形に変形}}\\
&= \colorbox{mistyrose}{$\valA$} (\colorbox{lightcyan}{$x^2 \valBh x$}) \valC\\
& 　　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ②\ x\ の係数\ \valBh\ \times \frac12 = \colorbox{lightgreen}{$\valBhn$}}}\\
&= \valA\left\{\left(x \colorbox{lightgreen}{$\valBhn$}\right)^2 - \colorbox{lightgreen}{$\valBhp$}^2\right\} \valC\\
& 　　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ③\ 平方を作って，引く２乗}}\\
&= \valA \left(x \valBhn\right)^2 \valABhn \valC\\
& 　　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ④\ 形を整える}}\\
&= \valA \left(x \valBhn\right)^2 \valQ\\
& 　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ これを展開すると，元の式に戻ることを確認！}}
\end{align*}

3x^2+9x+4 = 3\left(x+\dfrac32\right)^2-\dfrac{11}{4}

x^2 の係数が１ではない

準備 x^2 の係数 -2 の逆数 \dfrac{1}{-2} をかける！

\def\valA{-2}
\def\valAr{\dfrac{1}{-2}}%x^2の係数の逆数
\def\valB{+4}
\def\valBh{-2}%因数分解後のxの係数

\begin{align*}
(\colorbox{mistyrose}{$\valA$} x^2 \valB x) \times \valAr &= \frac{\valA x^2}{\colorbox{mistyrose}{$\valA$}}\ \frac{\valB x}{\colorbox{mistyrose}{$\valA$}}\\\\
&= \colorbox{lightcyan}{$x^2 \valBh x$}
\end{align*}

準備が出来ました。平方完成をしましょう。

\def\valA{-2}
\def\valB{+4}
\def\valBh{-2}%x^2の係数で因数分解したxの係数
\def\valBhn{-1}%x^2の係数を因数分解して更に平方完成した
\def\valBhp{1}%x^2の係数を因数分解して更に平方完成した値の絶対値
\def\valABhn{+2}%平方完成後の展開。A *(- Bhn^2)
\def\valC{+3}
\def\valQ{+5}

\begin{align*}
&\textcolor{white}{=}  \colorbox{mistyrose}{$\valA$} x^2 \valB x \valC\\
& 　　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ①\ \colorbox{mistyrose}{$\valA$}(　　　)\valC\ の形に変形}}\\
&= \colorbox{mistyrose}{$\valA$} (\colorbox{lightcyan}{$x^2 \valBh x$}) \valC\\
& 　　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ②\ x\ の係数\ \valBh\ \times \frac12 = \colorbox{lightgreen}{$\valBhn$}}}\\
&= \valA\{(x \colorbox{lightgreen}{$\valBhn$})^2 - \colorbox{lightgreen}{$\valBhp$}^2\} \valC\\
& 　　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ③\ 平方を作って，引く２乗}}\\
&= \valA (x \valBhn)^2 \valABhn \valC\\
& 　　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ④\ 形を整える}}\\
&= \valA (x \valBhn)^2 \valQ\\
& 　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ これを展開すると，元の式に戻ることを確認！}}
\end{align*}

-2x^2+4x+3 = -2(x-1)^2+5

x^2 の係数が１ではない

準備 x^2 の係数 -2 の逆数 \dfrac{1}{-2} をかける！

\def\valA{-2}
\def\valB{-6}
\def\valAr{\dfrac{1}{-2}}%x^2の係数の逆数
\def\valBh{+3}%因数分解後のxの係数

\begin{align*}
(\colorbox{mistyrose}{$\valA$} x^2 \valB x) \times \valAr &= \frac{\valA x^2}{\colorbox{mistyrose}{$\valA$}}\ \frac{\valB x}{\colorbox{mistyrose}{$\valA$}}\\\\
&= \colorbox{lightcyan}{$x^2 \valBh x$}
\end{align*}

準備が出来ました。平方完成をしましょう。

\def\valA{-2}
\def\valB{-6}
\def\valC{+1}
\def\valBh{+3}%x^2の係数で因数分解したxの係数
\def\valBhn{+\dfrac32}%x^2の係数を因数分解して更に平方完成した
\def\valBhp{\left(\dfrac32\right)}%x^2の係数を因数分解して更に平方完成した値の絶対値
\def\valABhn{+\dfrac{9}{2}}%平方完成後の展開。A *(- Bhn^2)
\def\valQ{+\dfrac{11}{2}}

\begin{align*}
&\textcolor{white}{=}  \colorbox{mistyrose}{$\valA$} x^2 \valB x \valC\\
& 　　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ①\ \colorbox{mistyrose}{$\valA$}(　　　)\valC\ の形に変形}}\\
&= \colorbox{mistyrose}{$\valA$} (\colorbox{lightcyan}{$x^2 \valBh x$}) \valC\\
& 　　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ②\ x\ の係数\ \valBh\ \times \frac12 = \colorbox{lightgreen}{$\valBhn$}}}\\
&= \valA\left\{\left(x \colorbox{lightgreen}{$\valBhn$}\right)^2 - \colorbox{lightgreen}{$\valBhp$}^2\right\} \valC\\
& 　　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ③\ 平方を作って，引く２乗}}\\
&= \valA \left(x \valBhn\right)^2 \valABhn \valC\\
& 　　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ ④\ 形を整える}}\\
&= \valA \left(x \valBhn\right)^2 \valQ\\
& 　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ これを展開すると，元の式に戻ることを確認！}}
\end{align*}

-2x^2-6x+1 = -2\left(x+\dfrac32\right)^2+\dfrac{11}{2}

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【レベル⑥】２次関数の軸と頂点を求めよう(4)
  • 20210718…初版公開。例題２問題８。
    「平方完成して頂点と軸を求める」ページをコピーして貼って作成。コピーできるのは便利。分数が出る問題にも挑戦せねば。
  • 20210728…第2版公開。例題２問題１５。分数が出る問題にも対応。次は練習問題おかわりを追加する。

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