必要条件と十分条件

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２つの条件 p，q について，命題 p \Longrightarrow q が真であるとき

  • q は p であるための 必要条件 である
  • p は q であるための 十分条件 である

２つの条件 p，q について，「 p \Longrightarrow q かつ q \Longrightarrow p 」を「 p \Longleftrightarrow q 」と書くことにします。
　

命題「 p \Longrightarrow q 」と「 q \Longrightarrow p 」がともに真であるとき，p と q は 同値 であるといいます。これは条件が等しいことを意味しています。このとき
　

  • q は p であるための 必要十分条件 である
  • p は q であるための 必要十分条件 である

必要条件と十分条件の問題は，以下のように空欄補充形式で出題されることが多いです。このパターンで出題された場合の解き方をまとめておきます。

ＡはＢであるための \fbox{　　}

　

  1. この順　A \Longrightarrow B の真偽を調べる
    • 真なら \fbox{十分条件}
    • 偽なら十分条件ではない
      　
  2. 逆順　 B \Longrightarrow A の真偽を調べる
    • 真なら \fbox{必要条件}
    • 偽なら必要条件ではない
      　
  3. どちらも真であれば \fbox{必要十分条件}

Happy Math-ing!

次の \fbox{　　}に，「必要」，「十分」，「必要十分」のうち，最も適するものを入れよ。ただし，x は実数とする。

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【解答】

\def\sikia{x=1}
\def\sikib{x^2=1}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{{\color{#1}\scriptsize #2}\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
\colFB{orange}{十分条件Check} & \colMM{orange}{　左\Longrightarrow右}\\
\colBX{bisque}{$\sikia$} & \Longrightarrow \colBX{palegreen}{$\sikib$} は \colFR{orange}{真} であるから\\
\colBX{bisque}{$\sikia$} & \ は，\sikib\ であるための\colBX{mistyrose}{\bf 十分}条件である。\\
\colMM{lightgray}{\fbox{\bf 参考}}\colNS{lightgray}{\ \sikib} & \colNS{lightgray}{\ は，\sikia\ であるための必要条件である。}\\
\\
\colFB{green}{必要条件Check} & \colMM{green}{　右\Longrightarrow左}\\
\colBX{palegreen}{$\sikib$} & \Longrightarrow \colBX{bisque}{$\sikia$} は \colFR{green}{偽} であるから\colMM{blue}{\cdots反例\ x=-1}\\
\colBX{bisque}{$\sikia$} & \ は，\sikib\ であるための必要条件ではない。\\
\colMM{lightgray}{\fbox{\bf 参考}}\colNS{lightgray}{\ \sikib} & \colNS{lightgray}{\ は，\sikia\ であるための十分条件ではない。}\\
\\
\colFB{red}{Answer}\\
\colBX{bisque}{$\sikia$} & \ は，\sikib\ であるための\fbox{\colBX{mistyrose}{\bf 十分}}条件である。
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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【解答】

\def\sikia{x^2=1}
\def\sikib{x=1}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{{\color{#1}\scriptsize #2}\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
\colFB{orange}{十分条件Check} & \colMM{orange}{　左\Longrightarrow右}\\
\colBX{bisque}{$\sikia$} & \Longrightarrow \colBX{palegreen}{$\sikib$} は \colFR{orange}{偽} であるから\colMM{blue}{\cdots反例\ x=-1}\\
\colBX{bisque}{$\sikia$} & \ は，\sikib\ であるための十分条件ではない。\\
\colMM{lightgray}{\fbox{\bf 参考}}\colNS{lightgray}{\ \sikib} & \colNS{lightgray}{\ は，\sikia\ であるための必要条件ではない。}\\
\\
\colFB{green}{必要条件Check} & \colMM{green}{　右\Longrightarrow左}\\
\colBX{palegreen}{$\sikib$} & \Longrightarrow \colBX{bisque}{$\sikia$} は \colFR{green}{真} であるから\\
\colBX{bisque}{$\sikia$} & \ は，\sikib\ であるための\colBX{mistyrose}{\bf 必要}条件である。\\
\colMM{lightgray}{\fbox{\bf 参考}}\colNS{lightgray}{\ \sikib} & \colNS{lightgray}{\ は，\sikia\ であるための十分条件である。}\\
\\
\colFB{red}{Answer}\\
\colBX{bisque}{$\sikia$} & \ は，\sikib\ であるための\fbox{\colBX{mistyrose}{\bf 必要}}条件である。
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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【解答】

\def\sikia{四角形 {\rm ABCD}\ が長方形}
\def\sikib{{\rm AC}={\rm BD}}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{{\color{#1}\scriptsize #2}\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
\colFB{orange}{十分条件Check} & \colMM{orange}{　左\Longrightarrow右}\\
\colBX{bisque}{$\sikia$} & \Longrightarrow \colBX{palegreen}{$\sikib$} は \colFR{orange}{真} であるから\\
\colBX{bisque}{$\sikia$} & \ は，\sikib\ であるための\colBX{mistyrose}{\bf 十分}条件である。\\
\colMM{lightgray}{\fbox{\bf 参考}}\colNS{lightgray}{\ \sikib} & \colNS{lightgray}{\ は，\sikia\ であるための必要条件である。}\\
\\
\colFB{green}{必要条件Check} & \colMM{green}{　右\Longrightarrow左}\\
\colBX{palegreen}{$\sikib$} & \Longrightarrow \colBX{bisque}{$\sikia$} は \colFR{green}{偽} であるから\colMM{blue}{\cdots反例\ 等脚台形}\\
\colBX{bisque}{$\sikia$} & \ は，\sikib\ であるための必要条件ではない。\\
\colMM{lightgray}{\fbox{\bf 参考}}\colNS{lightgray}{\ \sikib} & \colNS{lightgray}{\ は，\sikia\ であるための十分条件ではない。}\\
\\
\colFB{red}{Answer}\\
\colBX{bisque}{$\sikia$} & \ は，\sikib\ であるための\fbox{\colBX{mistyrose}{\bf 十分}}条件である。
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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【解答】

\def\sikib{四角形 {\rm ABCD}\ が長方形}
\def\sikia{{\rm AC}={\rm BD}}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{{\color{#1}\scriptsize #2}\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
\colFB{orange}{十分条件Check} & \colMM{orange}{　左\Longrightarrow右}\\
\colBX{bisque}{$\sikia$} & \Longrightarrow \colBX{palegreen}{$\sikib$} は \colFR{orange}{偽} であるから\colMM{blue}{\cdots反例\ 等脚台形}\\
\colBX{bisque}{$\sikia$} & \ は，\sikib\ であるための十分条件ではない。\\
\colMM{lightgray}{\fbox{\bf 参考}}\colNS{lightgray}{\ \sikib} & \colNS{lightgray}{\ は，\sikia\ であるための必要条件ではない。}\\
\\
\colFB{green}{必要条件Check} & \colMM{green}{　右\Longrightarrow左}\\
\colBX{palegreen}{$\sikib$} & \Longrightarrow \colBX{bisque}{$\sikia$} は \colFR{green}{真} であるから\\
\colBX{bisque}{$\sikia$} & \ は，\sikib\ であるための\colBX{mistyrose}{\bf 必要}条件である。\\
\colMM{lightgray}{\fbox{\bf 参考}}\colNS{lightgray}{\ \sikib} & \colNS{lightgray}{\ は，\sikia\ であるための十分条件ではない。}\\
\\
\colFB{red}{Answer}\\
\colBX{bisque}{$\sikia$} & \ は，\sikib\ であるための\fbox{\colBX{mistyrose}{\bf 必要}}条件である。
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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【解答】

\def\sikia{x^2>0}
\def\sikib{x>0}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{{\color{#1}\scriptsize #2}\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
\colFB{orange}{十分条件Check} & \colMM{orange}{　左\Longrightarrow右}\\
\colBX{bisque}{$\sikia$} & \Longrightarrow \colBX{palegreen}{$\sikib$} は \colFR{orange}{偽} であるから\colMM{blue}{\cdots反例\ x=-2}\\
\colBX{bisque}{$\sikia$} & \ は，\sikib\ であるための十分条件ではない。\\
\colMM{lightgray}{\fbox{\bf 参考}}\colNS{lightgray}{\ \sikib} & \colNS{lightgray}{\ は，\sikia\ であるための必要条件ではない。}\\
\\
\colFB{green}{必要条件Check} & \colMM{green}{　右\Longrightarrow左}\\
\colBX{palegreen}{$\sikib$} & \Longrightarrow \colBX{bisque}{$\sikia$} は \colFR{green}{真} であるから\\
\colBX{bisque}{$\sikia$} & \ は，\sikib\ であるための\colBX{mistyrose}{\bf 必要}条件である。\\
\colMM{lightgray}{\fbox{\bf 参考}}\colNS{lightgray}{\ \sikib} & \colNS{lightgray}{\ は，\sikia\ であるための十分条件である。}\\
\\
\colFB{red}{Answer}\\
\colBX{bisque}{$\sikia$} & \ は，\sikib\ であるための\fbox{\colBX{mistyrose}{\bf 必要}}条件である。
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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【解答】

\def\sikia{x>0}
\def\sikib{x^2>0}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{{\color{#1}\scriptsize #2}\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
\colFB{orange}{十分条件Check} & \colMM{orange}{　左\Longrightarrow右}\\
\colBX{bisque}{$\sikia$} & \Longrightarrow \colBX{palegreen}{$\sikib$} は \colFR{orange}{真} であるから\\
\colBX{bisque}{$\sikia$} & \ は，\sikib\ であるための\colBX{mistyrose}{\bf 十分}条件である。\\
\colMM{lightgray}{\fbox{\bf 参考}}\colNS{lightgray}{\ \sikib} & \colNS{lightgray}{\ は，\sikia\ であるための必要条件である。}\\
\\
\colFB{green}{必要条件Check} & \colMM{green}{　右\Longrightarrow左}\\
\colBX{palegreen}{$\sikib$} & \Longrightarrow \colBX{bisque}{$\sikia$} は \colFR{green}{偽} であるから\colMM{blue}{\cdots反例\ x=-2}\\
\colBX{bisque}{$\sikia$} & \ は，\sikib\ であるための必要条件ではない。\\
\colMM{lightgray}{\fbox{\bf 参考}}\colNS{lightgray}{\ \sikib} & \colNS{lightgray}{\ は，\sikia\ であるための十分条件ではない。}\\
\\
\colFB{red}{Answer}\\
\colBX{bisque}{$\sikia$} & \ は，\sikib\ であるための\fbox{\colBX{mistyrose}{\bf 十分}}条件である。
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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【解答】

\def\sikia{x=0}
\def\sikib{x(x^2+1)=0}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{{\color{#1}\scriptsize #2}\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
\colFB{orange}{十分条件Check} & \colMM{orange}{　左\Longrightarrow右}\\
\colBX{bisque}{$\sikia$} & \Longrightarrow \colBX{palegreen}{$\sikib$} は \colFR{orange}{真} であるから\\
\colBX{bisque}{$\sikia$} & \ は，\sikib\ であるための\colBX{mistyrose}{\bf 十分}条件である。\\
\colMM{lightgray}{\fbox{\bf 参考}}\colNS{lightgray}{\ \sikib} & \colNS{lightgray}{\ は，\sikia\ であるための必要条件である。}\\
\\
\colFB{green}{必要条件Check} & \colMM{green}{　右\Longrightarrow左}\\
\colBX{palegreen}{$\sikib$} & \Longrightarrow \colBX{bisque}{$\sikia$} は \colFR{green}{真} であるから\\
\colBX{bisque}{$\sikia$} & \ は，\sikib\ であるための\colBX{mistyrose}{\bf 必要}条件である。\\
\colMM{lightgray}{\fbox{\bf 参考}}\colNS{lightgray}{\ \sikib} & \colNS{lightgray}{\ は，\sikia\ であるための十分条件である。}\\
\\
\colFB{red}{Answer}\\
\colBX{bisque}{$\sikia$} & \ は，\sikib\ であるための\fbox{\colBX{mistyrose}{\bf 必要十分}}条件である。
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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【解答】

\def\sikib{x=0}
\def\sikia{x(x^2+1)=0}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{{\color{#1}\scriptsize #2}\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
\colFB{orange}{十分条件Check} & \colMM{orange}{　左\Longrightarrow右}\\
\colBX{bisque}{$\sikia$} & \Longrightarrow \colBX{palegreen}{$\sikib$} は \colFR{orange}{真} であるから\\
\colBX{bisque}{$\sikia$} & \ は，\sikib\ であるための\colBX{mistyrose}{\bf 十分}条件である。\\
\colMM{lightgray}{\fbox{\bf 参考}}\colNS{lightgray}{\ \sikib} & \colNS{lightgray}{\ は，\sikia\ であるための必要条件である。}\\
\\
\colFB{green}{必要条件Check} & \colMM{green}{　右\Longrightarrow左}\\
\colBX{palegreen}{$\sikib$} & \Longrightarrow \colBX{bisque}{$\sikia$} は \colFR{green}{真} であるから\\
\colBX{bisque}{$\sikia$} & \ は，\sikib\ であるための\colBX{mistyrose}{\bf 必要}条件である。\\
\colMM{lightgray}{\fbox{\bf 参考}}\colNS{lightgray}{\ \sikib} & \colNS{lightgray}{\ は，\sikia\ であるための十分条件である。}\\
\\
\colFB{red}{Answer}\\
\colBX{bisque}{$\sikia$} & \ は，\sikib\ であるための\fbox{\colBX{mistyrose}{\bf 必要十分}}条件である。
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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【解答】

\def\sikia{三角形 {\rm ABC}\ が正三角形}
\def\sikib{二等辺三角形}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{{\color{#1}\scriptsize #2}\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
\colFB{orange}{十分条件Check} & \colMM{orange}{　左\Longrightarrow右}\\
\colBX{bisque}{$\sikia$} & \Longrightarrow \colBX{palegreen}{$\sikib$} は \colFR{orange}{真} であるから\\
\colBX{bisque}{$\sikia$} & \ は，\sikib\ であるための\colBX{mistyrose}{\bf 十分}条件である。\\
\colMM{lightgray}{\fbox{\bf 参考}}\colNS{lightgray}{\ \sikib} & \colNS{lightgray}{\ は，\sikia\ であるための必要条件である。}\\
\\
\colFB{green}{必要条件Check} & \colMM{green}{　右\Longrightarrow左}\\
\colBX{palegreen}{$\sikib$} & \Longrightarrow \colBX{bisque}{$\sikia$} は \colFR{green}{偽} であるから\colMM{blue}{\cdots反例\ 直角二等辺三角形}\\
\colBX{bisque}{$\sikia$} & \ は，\sikib\ であるための必要条件ではない。\\
\colMM{lightgray}{\fbox{\bf 参考}}\colNS{lightgray}{\ \sikib} & \colNS{lightgray}{\ は，\sikia\ であるための十分条件ではない。}\\
\\
\colFB{red}{Answer}\\
\colBX{bisque}{$\sikia$} & \ は，\sikib\ であるための\fbox{\colBX{mistyrose}{\bf 十分}}条件である。
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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【解答】

\def\sikia{三角形 {\rm ABC}\ が二等辺三角形}
\def\sikib{正三角形}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{{\color{#1}\scriptsize #2}\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
\colFB{orange}{十分条件Check} & \colMM{orange}{　左\Longrightarrow右}\\
\colBX{bisque}{$\sikia$} & \Longrightarrow \colBX{palegreen}{$\sikib$} は \colFR{orange}{偽} であるから\colMM{blue}{\cdots反例\ 直角二等辺三角形}\\
\colBX{bisque}{$\sikia$} & \ は，\sikib\ であるための十分条件ではない。\\
\colMM{lightgray}{\fbox{\bf 参考}}\colNS{lightgray}{\ \sikib} & \colNS{lightgray}{\ は，\sikia\ であるための必要条件ではない。}\\
\\
\colFB{green}{必要条件Check} & \colMM{green}{　右\Longrightarrow左}\\
\colBX{palegreen}{$\sikib$} & \Longrightarrow \colBX{bisque}{$\sikia$} は \colFR{green}{真} であるから\\
\colBX{bisque}{$\sikia$} & \ は，\sikib\ であるための\colBX{mistyrose}{\bf 必要}条件である。\\
\colMM{lightgray}{\fbox{\bf 参考}}\colNS{lightgray}{\ \sikib} & \colNS{lightgray}{\ は，\sikia\ であるための十分条件である。}\\
\\
\colFB{red}{Answer}\\
\colBX{bisque}{$\sikia$} & \ は，\sikib\ であるための\fbox{\colBX{mistyrose}{\bf 必要}}条件である。
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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【解答】

\def\sikia{x>1}
\def\sikib{x>2}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{{\color{#1}\scriptsize #2}\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
\colFB{orange}{十分条件Check} & \colMM{orange}{　左\Longrightarrow右}\\
\colBX{bisque}{$\sikia$} & \Longrightarrow \colBX{palegreen}{$\sikib$} は \colFR{orange}{偽} であるから\colMM{blue}{\cdots反例\ x=1.5}\\
\colBX{bisque}{$\sikia$} & \ は，\sikib\ であるための十分条件ではない。\\
\colMM{lightgray}{\fbox{\bf 参考}}\colNS{lightgray}{\ \sikib} & \colNS{lightgray}{\ は，\sikia\ であるための必要条件ではない。}\\
\\
\colFB{green}{必要条件Check} & \colMM{green}{　右\Longrightarrow左}\\
\colBX{palegreen}{$\sikib$} & \Longrightarrow \colBX{bisque}{$\sikia$} は \colFR{green}{真} であるから\\
\colBX{bisque}{$\sikia$} & \ は，\sikib\ であるための\colBX{mistyrose}{\bf 必要}条件である。\\
\colMM{lightgray}{\fbox{\bf 参考}}\colNS{lightgray}{\ \sikib} & \colNS{lightgray}{\ は，\sikia\ であるための十分条件である。}\\
\\
\colFB{red}{Answer}\\
\colBX{bisque}{$\sikia$} & \ は，\sikib\ であるための\fbox{\colBX{mistyrose}{\bf 必要}}条件である。
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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【解答】

\def\sikia{x>2}
\def\sikib{x>1}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{{\color{#1}\scriptsize #2}\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
\colFB{orange}{十分条件Check} & \colMM{orange}{　左\Longrightarrow右}\\
\colBX{bisque}{$\sikia$} & \Longrightarrow \colBX{palegreen}{$\sikib$} は \colFR{orange}{真} であるから\\
\colBX{bisque}{$\sikia$} & \ は，\sikib\ であるための\colBX{mistyrose}{\bf 十分}条件である。\\
\colMM{lightgray}{\fbox{\bf 参考}}\colNS{lightgray}{\ \sikib} & \colNS{lightgray}{\ は，\sikia\ であるための必要条件である。}\\
\\
\colFB{green}{必要条件Check} & \colMM{green}{　右\Longrightarrow左}\\
\colBX{palegreen}{$\sikib$} & \Longrightarrow \colBX{bisque}{$\sikia$} は \colFR{green}{偽} であるから\colMM{blue}{\cdots反例\ 直角二等辺三角形}\\
\colBX{bisque}{$\sikia$} & \ は，\sikib\ であるための必要条件ではない。\\
\colMM{lightgray}{\fbox{\bf 参考}}\colNS{lightgray}{\ \sikib} & \colNS{lightgray}{\ は，\sikia\ であるための十分条件ではない。}\\
\\
\colFB{red}{Answer}\\
\colBX{bisque}{$\sikia$} & \ は，\sikib\ であるための\fbox{\colBX{mistyrose}{\bf 十分}}条件である。
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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【解答】

\def\sikia{x^2-3x+2=0}
\def\sikib{x=2}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{{\color{#1}\scriptsize #2}\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
\colFB{orange}{十分条件Check} & \colMM{orange}{　左\Longrightarrow右}\\
\colBX{bisque}{$\sikia$} & \Longrightarrow \colBX{palegreen}{$\sikib$} は \colFR{orange}{偽} であるから\colMM{blue}{\cdots反例\ x=1}\\
\colBX{bisque}{$\sikia$} & \ は，\sikib\ であるための十分条件ではない。\\
\colMM{lightgray}{\fbox{\bf 参考}}\colNS{lightgray}{\ \sikib} & \colNS{lightgray}{\ は，\sikia\ であるための必要条件ではない。}\\
\\
\colFB{green}{必要条件Check} & \colMM{green}{　右\Longrightarrow左}\\
\colBX{palegreen}{$\sikib$} & \Longrightarrow \colBX{bisque}{$\sikia$} は \colFR{green}{真} であるから\\
\colBX{bisque}{$\sikia$} & \ は，\sikib\ であるための\colBX{mistyrose}{\bf 必要}条件である。\\
\colMM{lightgray}{\fbox{\bf 参考}}\colNS{lightgray}{\ \sikib} & \colNS{lightgray}{\ は，\sikia\ であるための十分条件である。}\\
\\
\colFB{red}{Answer}\\
\colBX{bisque}{$\sikia$} & \ は，\sikib\ であるための\fbox{\colBX{mistyrose}{\bf 必要}}条件である。
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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【解答】

\def\sikib{x^2-3x+2=0}
\def\sikia{x=2}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{{\color{#1}\scriptsize #2}\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
\colFB{orange}{十分条件Check} & \colMM{orange}{　左\Longrightarrow右}\\
\colBX{bisque}{$\sikia$} & \Longrightarrow \colBX{palegreen}{$\sikib$} は \colFR{orange}{真} であるから\\
\colBX{bisque}{$\sikia$} & \ は，\sikib\ であるための\colBX{mistyrose}{\bf 十分}条件である。\\
\colMM{lightgray}{\fbox{\bf 参考}}\colNS{lightgray}{\ \sikib} & \colNS{lightgray}{\ は，\sikia\ であるための必要条件である。}\\
\\
\colFB{green}{必要条件Check} & \colMM{green}{　右\Longrightarrow左}\\
\colBX{palegreen}{$\sikib$} & \Longrightarrow \colBX{bisque}{$\sikia$} は \colFR{green}{偽} であるから\colMM{blue}{\cdots反例\ 直角二等辺三角形}\\
\colBX{bisque}{$\sikia$} & \ は，\sikib\ であるための必要条件ではない。\\
\colMM{lightgray}{\fbox{\bf 参考}}\colNS{lightgray}{\ \sikib} & \colNS{lightgray}{\ は，\sikia\ であるための十分条件ではない。}\\
\\
\colFB{red}{Answer}\\
\colBX{bisque}{$\sikia$} & \ は，\sikib\ であるための\fbox{\colBX{mistyrose}{\bf 十分}}条件である。
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

A \Longrightarrow B が真であれば，A は B であるための十分条件

a=3 \Longrightarrow a^2=9 は真であるから

a=3 は a^2=9 であるための十分条件である。

B \Longrightarrow A が真であれば，A は B であるための必要条件

a^2=9 \Longrightarrow a=3 は偽（反例 a=-3）であるから

a=3 は a^2=9 であるための必要条件ではない。

（答）十分条件

A \Longrightarrow B が真であれば，A は B であるための十分条件

a^2=9 \Longrightarrow a=3 は偽（反例 a=-3）であるから

a^2=9 は a=3 であるための十分条件ではない。

B \Longrightarrow A が真であれば，A は B であるための必要条件

a=3 \Longrightarrow a^2=9 は真であるから

a^2=9 は a=3 であるための必要条件である。

（答）必要条件

A \Longrightarrow B が真であれば，A は B であるための十分条件

a>1 \Longrightarrow a>0 は真であるから

a>1 は a>0 であるための十分条件である。

B \Longrightarrow A が真であれば，A は B であるための必要条件

a>0 \Longrightarrow a>1 は偽（反例 a=0.5）であるから

a>1 は a>0 であるための必要条件ではない。

（答）十分条件

A \Longrightarrow B が真であれば，A は B であるための十分条件

a>0 \Longrightarrow a>1 は偽（反例 a=0.5）であるから

a>0 は a>1 であるための十分条件ではない。

B \Longrightarrow A が真であれば，A は B であるための必要条件

a>1 \Longrightarrow a>0 は真であるから

a>0 は a>1 であるための必要条件である。

（答）必要条件

A \Longrightarrow B が真であれば，A は B であるための十分条件

n が 3 の倍数 \Longrightarrow n=9 は偽（反例 n=6）であるから

n が 3 の倍数であることは n=9 であるための十分条件ではない。

B \Longrightarrow A が真であれば，A は B であるための必要条件

n=9 \Longrightarrow n は 3 の倍数であるは真であるから

n が 3 の倍数であることは n=9 であるための必要条件である。

（答）必要条件

A \Longrightarrow B が真であれば，A は B であるための十分条件

n=9 \Longrightarrow n は 3 の倍数であるは真であるから

n=9 であることは n が 3 の倍数であるための十分条件である。

B \Longrightarrow A が真であれば，A は B であるための必要条件

n が 3 の倍数 \Longrightarrow n=9 は偽（反例 n=6）であるから

n=9 であることは n が 3 の倍数であるための必要条件ではない。

（答）十分条件

[問題文]次の \fbox{　　} に，「必要条件であるが十分条件ではない」，「十分条件であるが必要条件ではない」，「必要十分条件である」，「どちらでもない」のうち，適する言葉を入れよ。[/問題文]

A \Longrightarrow B が真であれば，A は B であるための十分条件

a=0 \Longrightarrow a^2=0 は真であるから

a=0 は a^2=0 であるための十分条件である。

B \Longrightarrow A が真であれば，A は B であるための必要条件

a^2=0 \Longrightarrow a=0 は真であるから

a=0 は a^2=0 であるための必要条件である。

（答）必要十分条件である

A \Longrightarrow B が真であれば，A は B であるための十分条件

a^2=0 \Longrightarrow a=0 は真であるから

a^2=0 は a=0 であるための十分条件である。

B \Longrightarrow A が真であれば，A は B であるための必要条件

a=0 \Longrightarrow a^2=0 は真であるから

a^2=0 は a=0 であるための必要条件である。

（答）必要十分条件である

  • 20210612…初版公開。問題数10。

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