btakeshi
２次関数の軸と頂点、最大最小そしてグラフを書く際に必ず必要になる「平方完成」をマスターしましょう。レベル④で２次の係数が１ではない問題を取り上げ、ほとんどは解決するはずです。このページではレベル⑤として、計算途中に分数が登場する問題です。もちろん解き方は変わりません。きっちりと手順を理解して使えるようにしましょう。
次の２次関数を y=a(x-p)^2+q の形に変形し，グラフの軸と頂点を求めよ。
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【解答】
\begin{align*}
& \scriptsize\qquad\color{red}\Darr\bf\ ２次の係数が１以外！\\
y &= \colorbox{mistyrose}{$\displaystyle-3$} x^2 +3 x +1\\
& \scriptsize\qquad\qquad\quad\color{red}\Darr\ +3 \div \left( -3 \right) = \colorbox{mistyrose}{$\displaystyle-1$}\\
&= \colorbox{white}{$-3$} \left( x^2 \colorbox{mistyrose}{$\displaystyle-1$} x \right) +1\\
& \scriptsize\qquad\qquad\quad\color{orange}\Darr\ -1 \times \dfrac12 = \colorbox{bisque}{$\displaystyle- \frac{1}{2}$}\\
&= \colorbox{white}{$-3$}\left\{ \left( x \colorbox{bisque}{$\displaystyle- \frac{1}{2}$} \right)^2 \colorbox{palegreen}{$\displaystyle - \frac{1}{4}$} \right\} +1\\
& \scriptsize\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\color{green}\Uarr\ 2乗した\ \frac{1}{4}\ を引く\\
&= \colorbox{white}{$-3$} \left( x - \frac{1}{2} \right)^2 \colorbox{violet}{$\displaystyle+\frac{3}{4}$} +1\\
& \scriptsize\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\color{magenta}\Uarr\ -3 \times \left( -\frac{1}{4} \right)\\
&= \colorbox{white}{$-3$} \left( x - \frac{1}{2} \right)^2 +\frac{7}{4}\\
よって\\
& \scriptsize\color{deepskyblue}x - \frac{1}{2}=0\ を解いて\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle\frac{1}{2}$}\\
& 軸\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle\frac{1}{2}$}\\
& 頂点\ \left( \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle\frac{1}{2}$},\ \frac{7}{4} \right)
\end{align*}
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【解答】
\begin{align*}
& \scriptsize\qquad\color{red}\Darr\bf\ ２次の係数が１以外！\\
y &= \colorbox{mistyrose}{$\displaystyle-$} x^2 -3 x \color{lightgray}+0\\
& \scriptsize\qquad\qquad\quad\color{red}\Darr\ -3 \div \left( -1 \right) = \colorbox{mistyrose}{$\displaystyle+3$}\\
&= \colorbox{white}{$-$} \left( x^2 \colorbox{mistyrose}{$\displaystyle+3$} x \right) \color{lightgray}+0\\
& \scriptsize\qquad\qquad\quad\color{orange}\Darr\ +3 \times \dfrac12 = \colorbox{bisque}{$\displaystyle+\frac{3}{2}$}\\
&= \colorbox{white}{$-$}\left\{ \left( x \colorbox{bisque}{$\displaystyle+\frac{3}{2}$} \right)^2 \colorbox{palegreen}{$\displaystyle - \frac{9}{4}$} \right\} \color{lightgray}+0\\
& \scriptsize\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\color{green}\Uarr\ 2乗した\ \frac{9}{4}\ を引く\\
&= \colorbox{white}{$-$} \left( x +\frac{3}{2} \right)^2 \colorbox{violet}{$\displaystyle+\frac{9}{4}$} \color{lightgray}+0\\
& \scriptsize\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\color{magenta}\Uarr\ -1 \times \left( -\frac{9}{4} \right)\\
&= \colorbox{white}{$-$} \left( x +\frac{3}{2} \right)^2 +\frac{9}{4}\\
よって\\
& \scriptsize\color{deepskyblue}x + \frac{3}{2}=0\ を解いて\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle- \frac{3}{2}$}\\
& 軸\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle- \frac{3}{2}$}\\
& 頂点\ \left( \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle- \frac{3}{2}$},\ \frac{9}{4} \right)
\end{align*}
