btakeshi
２次関数の軸と頂点、最大最小そしてグラフを書く際に必ず必要になる「平方完成」をマスターしましょう。このページでは基本的な問題ですが分数が出てくる問題を取り上げています。でも解き方はレベル①の問題と同じです。きっちりと手順を理解して使えるようにしましょう。
次の２次関数を y=a(x-p)^2+q の形に変形し，グラフの軸と頂点を求めよ。
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【解答】
\begin{align*}
& \scriptsize\quad\color{red}\Darr\bf\ ２次の係数が１\\
y &= x^2 +3 x \color{lightgray}+0\\
& \scriptsize\qquad\qquad\color{orange}\Darr\ +3 \times \dfrac12 = \colorbox{bisque}{$\displaystyle +\frac{3}{2}$}\\
&= \left( x \colorbox{bisque}{$\displaystyle+\frac{3}{2}$} \right)^2 \colorbox{palegreen}{$\displaystyle - \frac{9}{4}$} \color{lightgray}+0\\
& \scriptsize\qquad\qquad\qquad\qquad\color{green}\Uarr\ 2乗した\ \frac{9}{4}\ を引く\\
&= \left( x +\frac{3}{2} \right)^2 - \frac{9}{4}\\
よって\\
& \scriptsize\color{deepskyblue}x + \frac{3}{2}=0\ を解いて\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle- \frac{3}{2}$}\\
& 軸\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle- \frac{3}{2}$}\\
& 頂点\ \left( \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle- \frac{3}{2}$},\ - \frac{9}{4} \right)
\end{align*}
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【解答】
\begin{align*}
& \scriptsize\quad\color{red}\Darr\bf\ ２次の係数が１\\
y &= x^2 -5 x \color{lightgray}+0\\
& \scriptsize\qquad\qquad\color{orange}\Darr\ -5 \times \dfrac12 = \colorbox{bisque}{$\displaystyle - \frac{5}{2}$}\\
&= \left( x \colorbox{bisque}{$\displaystyle- \frac{5}{2}$} \right)^2 \colorbox{palegreen}{$\displaystyle - \frac{25}{4}$} \color{lightgray}+0\\
& \scriptsize\qquad\qquad\qquad\qquad\color{green}\Uarr\ 2乗した\ \frac{25}{4}\ を引く\\
&= \left( x - \frac{5}{2} \right)^2 - \frac{25}{4}\\
よって\\
& \scriptsize\color{deepskyblue}x - \frac{5}{2}=0\ を解いて\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle\frac{5}{2}$}\\
& 軸\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle\frac{5}{2}$}\\
& 頂点\ \left( \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle\frac{5}{2}$},\ - \frac{25}{4} \right)
\end{align*}
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【解答】
\begin{align*}
& \scriptsize\quad\color{red}\Darr\bf\ ２次の係数が１\\
y &= x^2 -1 x \color{lightgray}+0\\
& \scriptsize\qquad\qquad\color{orange}\Darr\ -1 \times \dfrac12 = \colorbox{bisque}{$\displaystyle - \frac{1}{2}$}\\
&= \left( x \colorbox{bisque}{$\displaystyle- \frac{1}{2}$} \right)^2 \colorbox{palegreen}{$\displaystyle - \frac{1}{4}$} \color{lightgray}+0\\
& \scriptsize\qquad\qquad\qquad\qquad\color{green}\Uarr\ 2乗した\ \frac{1}{4}\ を引く\\
&= \left( x - \frac{1}{2} \right)^2 - \frac{1}{4}\\
よって\\
& \scriptsize\color{deepskyblue}x - \frac{1}{2}=0\ を解いて\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle\frac{1}{2}$}\\
& 軸\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle\frac{1}{2}$}\\
& 頂点\ \left( \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle\frac{1}{2}$},\ - \frac{1}{4} \right)
\end{align*}
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【解答】
\begin{align*}
& \scriptsize\quad\color{red}\Darr\bf\ ２次の係数が１\\
y &= x^2 +3 x \color{lightgray}+0\\
& \scriptsize\qquad\qquad\color{orange}\Darr\ +3 \times \dfrac12 = \colorbox{bisque}{$\displaystyle +\frac{3}{2}$}\\
&= \left( x \colorbox{bisque}{$\displaystyle+\frac{3}{2}$} \right)^2 \colorbox{palegreen}{$\displaystyle - \frac{9}{4}$} \color{lightgray}+0\\
& \scriptsize\qquad\qquad\qquad\qquad\color{green}\Uarr\ 2乗した\ \frac{9}{4}\ を引く\\
&= \left( x +\frac{3}{2} \right)^2 - \frac{9}{4}\\
よって\\
& \scriptsize\color{deepskyblue}x + \frac{3}{2}=0\ を解いて\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle- \frac{3}{2}$}\\
& 軸\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle- \frac{3}{2}$}\\
& 頂点\ \left( \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle- \frac{3}{2}$},\ - \frac{9}{4} \right)
\end{align*}
