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２次関数の軸と頂点、最大最小そしてグラフを書く際に必ず必要になる「平方完成」をマスターしましょう。このページでは最も基本的な問題を取り上げています。レベル①が他のレベルの基本です。きっちりと手順を理解して使えるようにしましょう。
次の２次関数を y=a(x-p)^2+q の形に変形し，グラフの軸と頂点を求めよ。
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【解答】
\begin{align*}
& \scriptsize\quad\color{red}\Darr\bf\ ２次の係数が１\\
y &= x^2 +2 x +4\\
& \scriptsize\qquad\qquad\color{orange}\Darr\ +2 \times \dfrac12 = \colorbox{bisque}{$\displaystyle +1$}\\
&= \left( x \colorbox{bisque}{$\displaystyle+1$} \right)^2 \colorbox{palegreen}{$\displaystyle - 1$} +4\\
& \scriptsize\qquad\qquad\qquad\qquad\color{green}\Uarr\ 2乗した\ 1\ を引く\\
&= \left( x +1 \right)^2 +3\\
よって\\
& \scriptsize\color{deepskyblue}x + 1=0\ を解いて\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle-1$}\\
& 軸\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle-1$}\\
& 頂点\ \left( \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle-1$},\ 3 \right)
\end{align*}
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【解答】
\begin{align*}
& \scriptsize\quad\color{red}\Darr\bf\ ２次の係数が１\\
y &= x^2 -2 x +1\\
& \scriptsize\qquad\qquad\color{orange}\Darr\ -2 \times \dfrac12 = \colorbox{bisque}{$\displaystyle -1$}\\
&= \left( x \colorbox{bisque}{$\displaystyle-1$} \right)^2 \colorbox{palegreen}{$\displaystyle - 1$} +1\\
& \scriptsize\qquad\qquad\qquad\qquad\color{green}\Uarr\ 2乗した\ 1\ を引く\\
&= \left( x -1 \right)^2 \\
よって\\
& \scriptsize\color{deepskyblue}x - 1=0\ を解いて\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle1$}\\
& 軸\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle1$}\\
& 頂点\ \left( \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle1$},\ 0 \right)
\end{align*}
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【解答】
\begin{align*}
& \scriptsize\quad\color{red}\Darr\bf\ ２次の係数が１\\
y &= x^2 +4 x -1\\
& \scriptsize\qquad\qquad\color{orange}\Darr\ +4 \times \dfrac12 = \colorbox{bisque}{$\displaystyle +2$}\\
&= \left( x \colorbox{bisque}{$\displaystyle+2$} \right)^2 \colorbox{palegreen}{$\displaystyle - 4$} -1\\
& \scriptsize\qquad\qquad\qquad\qquad\color{green}\Uarr\ 2乗した\ 4\ を引く\\
&= \left( x +2 \right)^2 -5\\
よって\\
& \scriptsize\color{deepskyblue}x + 2=0\ を解いて\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle-2$}\\
& 軸\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle-2$}\\
& 頂点\ \left( \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle-2$},\ -5 \right)
\end{align*}
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【解答】
\begin{align*}
& \scriptsize\quad\color{red}\Darr\bf\ ２次の係数が１\\
y &= x^2 -4 x -2\\
& \scriptsize\qquad\qquad\color{orange}\Darr\ -4 \times \dfrac12 = \colorbox{bisque}{$\displaystyle -2$}\\
&= \left( x \colorbox{bisque}{$\displaystyle-2$} \right)^2 \colorbox{palegreen}{$\displaystyle - 4$} -2\\
& \scriptsize\qquad\qquad\qquad\qquad\color{green}\Uarr\ 2乗した\ 4\ を引く\\
&= \left( x -2 \right)^2 -6\\
よって\\
& \scriptsize\color{deepskyblue}x - 2=0\ を解いて\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle2$}\\
& 軸\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle2$}\\
& 頂点\ \left( \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle2$},\ -6 \right)
\end{align*}
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【解答】
\begin{align*}
& \scriptsize\quad\color{red}\Darr\bf\ ２次の係数が１\\
y &= x^2 -4 x +5\\
& \scriptsize\qquad\qquad\color{orange}\Darr\ -4 \times \dfrac12 = \colorbox{bisque}{$\displaystyle -2$}\\
&= \left( x \colorbox{bisque}{$\displaystyle-2$} \right)^2 \colorbox{palegreen}{$\displaystyle - 4$} +5\\
& \scriptsize\qquad\qquad\qquad\qquad\color{green}\Uarr\ 2乗した\ 4\ を引く\\
&= \left( x -2 \right)^2 +1\\
よって\\
& \scriptsize\color{deepskyblue}x - 2=0\ を解いて\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle2$}\\
& 軸\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle2$}\\
& 頂点\ \left( \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle2$},\ 1 \right)
\end{align*}
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【解答】
\begin{align*}
& \scriptsize\quad\color{red}\Darr\bf\ ２次の係数が１\\
y &= x^2 -8 x \color{lightgray}+0\\
& \scriptsize\qquad\qquad\color{orange}\Darr\ -8 \times \dfrac12 = \colorbox{bisque}{$\displaystyle -4$}\\
&= \left( x \colorbox{bisque}{$\displaystyle-4$} \right)^2 \colorbox{palegreen}{$\displaystyle - 16$} \color{lightgray}+0\\
& \scriptsize\qquad\qquad\qquad\qquad\color{green}\Uarr\ 2乗した\ 16\ を引く\\
&= \left( x -4 \right)^2 -16\\
よって\\
& \scriptsize\color{deepskyblue}x - 4=0\ を解いて\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle4$}\\
& 軸\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle4$}\\
& 頂点\ \left( \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle4$},\ -16 \right)
\end{align*}
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【解答】
\begin{align*}
& \scriptsize\quad\color{red}\Darr\bf\ ２次の係数が１\\
y &= x^2 -2 x +3\\
& \scriptsize\qquad\qquad\color{orange}\Darr\ -2 \times \dfrac12 = \colorbox{bisque}{$\displaystyle -1$}\\
&= \left( x \colorbox{bisque}{$\displaystyle-1$} \right)^2 \colorbox{palegreen}{$\displaystyle - 1$} +3\\
& \scriptsize\qquad\qquad\qquad\qquad\color{green}\Uarr\ 2乗した\ 1\ を引く\\
&= \left( x -1 \right)^2 +2\\
よって\\
& \scriptsize\color{deepskyblue}x - 1=0\ を解いて\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle1$}\\
& 軸\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle1$}\\
& 頂点\ \left( \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle1$},\ 2 \right)
\end{align*}
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【解答】
\begin{align*}
& \scriptsize\quad\color{red}\Darr\bf\ ２次の係数が１\\
y &= x^2 +6 x +8\\
& \scriptsize\qquad\qquad\color{orange}\Darr\ +6 \times \dfrac12 = \colorbox{bisque}{$\displaystyle +3$}\\
&= \left( x \colorbox{bisque}{$\displaystyle+3$} \right)^2 \colorbox{palegreen}{$\displaystyle - 9$} +8\\
& \scriptsize\qquad\qquad\qquad\qquad\color{green}\Uarr\ 2乗した\ 9\ を引く\\
&= \left( x +3 \right)^2 -1\\
よって\\
& \scriptsize\color{deepskyblue}x + 3=0\ を解いて\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle-3$}\\
& 軸\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle-3$}\\
& 頂点\ \left( \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle-3$},\ -1 \right)
\end{align*}
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【解答】
\begin{align*}
& \scriptsize\quad\color{red}\Darr\bf\ ２次の係数が１\\
y &= x^2 -8 x +10\\
& \scriptsize\qquad\qquad\color{orange}\Darr\ -8 \times \dfrac12 = \colorbox{bisque}{$\displaystyle -4$}\\
&= \left( x \colorbox{bisque}{$\displaystyle-4$} \right)^2 \colorbox{palegreen}{$\displaystyle - 16$} +10\\
& \scriptsize\qquad\qquad\qquad\qquad\color{green}\Uarr\ 2乗した\ 16\ を引く\\
&= \left( x -4 \right)^2 -6\\
よって\\
& \scriptsize\color{deepskyblue}x - 4=0\ を解いて\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle4$}\\
& 軸\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle4$}\\
& 頂点\ \left( \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle4$},\ -6 \right)
\end{align*}
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【解答】
\begin{align*}
& \scriptsize\quad\color{red}\Darr\bf\ ２次の係数が１\\
y &= x^2 -4 x +3\\
& \scriptsize\qquad\qquad\color{orange}\Darr\ -4 \times \dfrac12 = \colorbox{bisque}{$\displaystyle -2$}\\
&= \left( x \colorbox{bisque}{$\displaystyle-2$} \right)^2 \colorbox{palegreen}{$\displaystyle - 4$} +3\\
& \scriptsize\qquad\qquad\qquad\qquad\color{green}\Uarr\ 2乗した\ 4\ を引く\\
&= \left( x -2 \right)^2 -1\\
よって\\
& \scriptsize\color{deepskyblue}x - 2=0\ を解いて\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle2$}\\
& 軸\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle2$}\\
& 頂点\ \left( \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle2$},\ -1 \right)
\end{align*}
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【解答】
\begin{align*}
& \scriptsize\quad\color{red}\Darr\bf\ ２次の係数が１\\
y &= x^2 -6 x +5\\
& \scriptsize\qquad\qquad\color{orange}\Darr\ -6 \times \dfrac12 = \colorbox{bisque}{$\displaystyle -3$}\\
&= \left( x \colorbox{bisque}{$\displaystyle-3$} \right)^2 \colorbox{palegreen}{$\displaystyle - 9$} +5\\
& \scriptsize\qquad\qquad\qquad\qquad\color{green}\Uarr\ 2乗した\ 9\ を引く\\
&= \left( x -3 \right)^2 -4\\
よって\\
& \scriptsize\color{deepskyblue}x - 3=0\ を解いて\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle3$}\\
& 軸\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle3$}\\
& 頂点\ \left( \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle3$},\ -4 \right)
\end{align*}
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\begin{align*}
& \scriptsize\quad\color{red}\Darr\bf\ ２次の係数が１\\
y &= x^2 +2 x +2\\
& \scriptsize\qquad\qquad\color{orange}\Darr\ +2 \times \dfrac12 = \colorbox{bisque}{$\displaystyle +1$}\\
&= \left( x \colorbox{bisque}{$\displaystyle+1$} \right)^2 \colorbox{palegreen}{$\displaystyle - 1$} +2\\
& \scriptsize\qquad\qquad\qquad\qquad\color{green}\Uarr\ 2乗した\ 1\ を引く\\
&= \left( x +1 \right)^2 +1\\
よって\\
& \scriptsize\color{deepskyblue}x + 1=0\ を解いて\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle-1$}\\
& 軸\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle-1$}\\
& 頂点\ \left( \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle-1$},\ 1 \right)
\end{align*}
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【解答】
\begin{align*}
& \scriptsize\quad\color{red}\Darr\bf\ ２次の係数が１\\
y &= x^2 -6 x +11\\
& \scriptsize\qquad\qquad\color{orange}\Darr\ -6 \times \dfrac12 = \colorbox{bisque}{$\displaystyle -3$}\\
&= \left( x \colorbox{bisque}{$\displaystyle-3$} \right)^2 \colorbox{palegreen}{$\displaystyle - 9$} +11\\
& \scriptsize\qquad\qquad\qquad\qquad\color{green}\Uarr\ 2乗した\ 9\ を引く\\
&= \left( x -3 \right)^2 +2\\
よって\\
& \scriptsize\color{deepskyblue}x - 3=0\ を解いて\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle3$}\\
& 軸\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle3$}\\
& 頂点\ \left( \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle3$},\ 2 \right)
\end{align*}
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【解答】
\begin{align*}
& \scriptsize\quad\color{red}\Darr\bf\ ２次の係数が１\\
y &= x^2 -2 x +3\\
& \scriptsize\qquad\qquad\color{orange}\Darr\ -2 \times \dfrac12 = \colorbox{bisque}{$\displaystyle -1$}\\
&= \left( x \colorbox{bisque}{$\displaystyle-1$} \right)^2 \colorbox{palegreen}{$\displaystyle - 1$} +3\\
& \scriptsize\qquad\qquad\qquad\qquad\color{green}\Uarr\ 2乗した\ 1\ を引く\\
&= \left( x -1 \right)^2 +2\\
よって\\
& \scriptsize\color{deepskyblue}x - 1=0\ を解いて\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle1$}\\
& 軸\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle1$}\\
& 頂点\ \left( \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle1$},\ 2 \right)
\end{align*}
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【解答】
\begin{align*}
& \scriptsize\quad\color{red}\Darr\bf\ ２次の係数が１\\
y &= x^2 -4 x +1\\
& \scriptsize\qquad\qquad\color{orange}\Darr\ -4 \times \dfrac12 = \colorbox{bisque}{$\displaystyle -2$}\\
&= \left( x \colorbox{bisque}{$\displaystyle-2$} \right)^2 \colorbox{palegreen}{$\displaystyle - 4$} +1\\
& \scriptsize\qquad\qquad\qquad\qquad\color{green}\Uarr\ 2乗した\ 4\ を引く\\
&= \left( x -2 \right)^2 -3\\
よって\\
& \scriptsize\color{deepskyblue}x - 2=0\ を解いて\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle2$}\\
& 軸\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle2$}\\
& 頂点\ \left( \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle2$},\ -3 \right)
\end{align*}
