
btakeshi
2次関数の軸と頂点、最大最小そしてグラフを書く際に必ず必要になる「平方完成」をマスターしましょう。このページでは最も基本的な問題を取り上げています。レベル①が他のレベルの基本です。きっちりと手順を理解して使えるようにしましょう。
次の2次関数を y=a(x-p)^2+q の形に変形し,グラフの軸と頂点を求めよ。
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【解答】
\begin{align*} & \scriptsize\quad\color{red}\Darr\bf\ 2次の係数が1\\ y &= x^2 +2 x +4\\ & \scriptsize\qquad\qquad\color{orange}\Darr\ +2 \times \dfrac12 = \colorbox{bisque}{$\displaystyle +1$}\\ &= \left( x \colorbox{bisque}{$\displaystyle+1$} \right)^2 \colorbox{palegreen}{$\displaystyle - 1$} +4\\ & \scriptsize\qquad\qquad\qquad\qquad\color{green}\Uarr\ 2乗した\ 1\ を引く\\ &= \left( x +1 \right)^2 +3\\ よって\\ & \scriptsize\color{deepskyblue}x + 1=0\ を解いて\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle-1$}\\ & 軸\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle-1$}\\ & 頂点\ \left( \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle-1$},\ 3 \right) \end{align*}
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【解答】
\begin{align*} & \scriptsize\quad\color{red}\Darr\bf\ 2次の係数が1\\ y &= x^2 -2 x +1\\ & \scriptsize\qquad\qquad\color{orange}\Darr\ -2 \times \dfrac12 = \colorbox{bisque}{$\displaystyle -1$}\\ &= \left( x \colorbox{bisque}{$\displaystyle-1$} \right)^2 \colorbox{palegreen}{$\displaystyle - 1$} +1\\ & \scriptsize\qquad\qquad\qquad\qquad\color{green}\Uarr\ 2乗した\ 1\ を引く\\ &= \left( x -1 \right)^2 \\ よって\\ & \scriptsize\color{deepskyblue}x - 1=0\ を解いて\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle1$}\\ & 軸\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle1$}\\ & 頂点\ \left( \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle1$},\ 0 \right) \end{align*}
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【解答】
\begin{align*} & \scriptsize\quad\color{red}\Darr\bf\ 2次の係数が1\\ y &= x^2 +4 x -1\\ & \scriptsize\qquad\qquad\color{orange}\Darr\ +4 \times \dfrac12 = \colorbox{bisque}{$\displaystyle +2$}\\ &= \left( x \colorbox{bisque}{$\displaystyle+2$} \right)^2 \colorbox{palegreen}{$\displaystyle - 4$} -1\\ & \scriptsize\qquad\qquad\qquad\qquad\color{green}\Uarr\ 2乗した\ 4\ を引く\\ &= \left( x +2 \right)^2 -5\\ よって\\ & \scriptsize\color{deepskyblue}x + 2=0\ を解いて\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle-2$}\\ & 軸\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle-2$}\\ & 頂点\ \left( \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle-2$},\ -5 \right) \end{align*}
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【解答】
\begin{align*} & \scriptsize\quad\color{red}\Darr\bf\ 2次の係数が1\\ y &= x^2 -4 x -2\\ & \scriptsize\qquad\qquad\color{orange}\Darr\ -4 \times \dfrac12 = \colorbox{bisque}{$\displaystyle -2$}\\ &= \left( x \colorbox{bisque}{$\displaystyle-2$} \right)^2 \colorbox{palegreen}{$\displaystyle - 4$} -2\\ & \scriptsize\qquad\qquad\qquad\qquad\color{green}\Uarr\ 2乗した\ 4\ を引く\\ &= \left( x -2 \right)^2 -6\\ よって\\ & \scriptsize\color{deepskyblue}x - 2=0\ を解いて\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle2$}\\ & 軸\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle2$}\\ & 頂点\ \left( \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle2$},\ -6 \right) \end{align*}
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【解答】
\begin{align*} & \scriptsize\quad\color{red}\Darr\bf\ 2次の係数が1\\ y &= x^2 -4 x +5\\ & \scriptsize\qquad\qquad\color{orange}\Darr\ -4 \times \dfrac12 = \colorbox{bisque}{$\displaystyle -2$}\\ &= \left( x \colorbox{bisque}{$\displaystyle-2$} \right)^2 \colorbox{palegreen}{$\displaystyle - 4$} +5\\ & \scriptsize\qquad\qquad\qquad\qquad\color{green}\Uarr\ 2乗した\ 4\ を引く\\ &= \left( x -2 \right)^2 +1\\ よって\\ & \scriptsize\color{deepskyblue}x - 2=0\ を解いて\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle2$}\\ & 軸\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle2$}\\ & 頂点\ \left( \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle2$},\ 1 \right) \end{align*}
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【解答】
\begin{align*} & \scriptsize\quad\color{red}\Darr\bf\ 2次の係数が1\\ y &= x^2 -8 x \color{lightgray}+0\\ & \scriptsize\qquad\qquad\color{orange}\Darr\ -8 \times \dfrac12 = \colorbox{bisque}{$\displaystyle -4$}\\ &= \left( x \colorbox{bisque}{$\displaystyle-4$} \right)^2 \colorbox{palegreen}{$\displaystyle - 16$} \color{lightgray}+0\\ & \scriptsize\qquad\qquad\qquad\qquad\color{green}\Uarr\ 2乗した\ 16\ を引く\\ &= \left( x -4 \right)^2 -16\\ よって\\ & \scriptsize\color{deepskyblue}x - 4=0\ を解いて\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle4$}\\ & 軸\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle4$}\\ & 頂点\ \left( \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle4$},\ -16 \right) \end{align*}
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【解答】
\begin{align*} & \scriptsize\quad\color{red}\Darr\bf\ 2次の係数が1\\ y &= x^2 -2 x +3\\ & \scriptsize\qquad\qquad\color{orange}\Darr\ -2 \times \dfrac12 = \colorbox{bisque}{$\displaystyle -1$}\\ &= \left( x \colorbox{bisque}{$\displaystyle-1$} \right)^2 \colorbox{palegreen}{$\displaystyle - 1$} +3\\ & \scriptsize\qquad\qquad\qquad\qquad\color{green}\Uarr\ 2乗した\ 1\ を引く\\ &= \left( x -1 \right)^2 +2\\ よって\\ & \scriptsize\color{deepskyblue}x - 1=0\ を解いて\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle1$}\\ & 軸\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle1$}\\ & 頂点\ \left( \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle1$},\ 2 \right) \end{align*}
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【解答】
\begin{align*} & \scriptsize\quad\color{red}\Darr\bf\ 2次の係数が1\\ y &= x^2 +6 x +8\\ & \scriptsize\qquad\qquad\color{orange}\Darr\ +6 \times \dfrac12 = \colorbox{bisque}{$\displaystyle +3$}\\ &= \left( x \colorbox{bisque}{$\displaystyle+3$} \right)^2 \colorbox{palegreen}{$\displaystyle - 9$} +8\\ & \scriptsize\qquad\qquad\qquad\qquad\color{green}\Uarr\ 2乗した\ 9\ を引く\\ &= \left( x +3 \right)^2 -1\\ よって\\ & \scriptsize\color{deepskyblue}x + 3=0\ を解いて\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle-3$}\\ & 軸\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle-3$}\\ & 頂点\ \left( \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle-3$},\ -1 \right) \end{align*}
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【解答】
\begin{align*} & \scriptsize\quad\color{red}\Darr\bf\ 2次の係数が1\\ y &= x^2 -8 x +10\\ & \scriptsize\qquad\qquad\color{orange}\Darr\ -8 \times \dfrac12 = \colorbox{bisque}{$\displaystyle -4$}\\ &= \left( x \colorbox{bisque}{$\displaystyle-4$} \right)^2 \colorbox{palegreen}{$\displaystyle - 16$} +10\\ & \scriptsize\qquad\qquad\qquad\qquad\color{green}\Uarr\ 2乗した\ 16\ を引く\\ &= \left( x -4 \right)^2 -6\\ よって\\ & \scriptsize\color{deepskyblue}x - 4=0\ を解いて\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle4$}\\ & 軸\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle4$}\\ & 頂点\ \left( \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle4$},\ -6 \right) \end{align*}
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【解答】
\begin{align*} & \scriptsize\quad\color{red}\Darr\bf\ 2次の係数が1\\ y &= x^2 -4 x +3\\ & \scriptsize\qquad\qquad\color{orange}\Darr\ -4 \times \dfrac12 = \colorbox{bisque}{$\displaystyle -2$}\\ &= \left( x \colorbox{bisque}{$\displaystyle-2$} \right)^2 \colorbox{palegreen}{$\displaystyle - 4$} +3\\ & \scriptsize\qquad\qquad\qquad\qquad\color{green}\Uarr\ 2乗した\ 4\ を引く\\ &= \left( x -2 \right)^2 -1\\ よって\\ & \scriptsize\color{deepskyblue}x - 2=0\ を解いて\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle2$}\\ & 軸\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle2$}\\ & 頂点\ \left( \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle2$},\ -1 \right) \end{align*}
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\begin{align*} & \scriptsize\quad\color{red}\Darr\bf\ 2次の係数が1\\ y &= x^2 -6 x +5\\ & \scriptsize\qquad\qquad\color{orange}\Darr\ -6 \times \dfrac12 = \colorbox{bisque}{$\displaystyle -3$}\\ &= \left( x \colorbox{bisque}{$\displaystyle-3$} \right)^2 \colorbox{palegreen}{$\displaystyle - 9$} +5\\ & \scriptsize\qquad\qquad\qquad\qquad\color{green}\Uarr\ 2乗した\ 9\ を引く\\ &= \left( x -3 \right)^2 -4\\ よって\\ & \scriptsize\color{deepskyblue}x - 3=0\ を解いて\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle3$}\\ & 軸\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle3$}\\ & 頂点\ \left( \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle3$},\ -4 \right) \end{align*}
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\begin{align*} & \scriptsize\quad\color{red}\Darr\bf\ 2次の係数が1\\ y &= x^2 +2 x +2\\ & \scriptsize\qquad\qquad\color{orange}\Darr\ +2 \times \dfrac12 = \colorbox{bisque}{$\displaystyle +1$}\\ &= \left( x \colorbox{bisque}{$\displaystyle+1$} \right)^2 \colorbox{palegreen}{$\displaystyle - 1$} +2\\ & \scriptsize\qquad\qquad\qquad\qquad\color{green}\Uarr\ 2乗した\ 1\ を引く\\ &= \left( x +1 \right)^2 +1\\ よって\\ & \scriptsize\color{deepskyblue}x + 1=0\ を解いて\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle-1$}\\ & 軸\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle-1$}\\ & 頂点\ \left( \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle-1$},\ 1 \right) \end{align*}
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\begin{align*} & \scriptsize\quad\color{red}\Darr\bf\ 2次の係数が1\\ y &= x^2 -6 x +11\\ & \scriptsize\qquad\qquad\color{orange}\Darr\ -6 \times \dfrac12 = \colorbox{bisque}{$\displaystyle -3$}\\ &= \left( x \colorbox{bisque}{$\displaystyle-3$} \right)^2 \colorbox{palegreen}{$\displaystyle - 9$} +11\\ & \scriptsize\qquad\qquad\qquad\qquad\color{green}\Uarr\ 2乗した\ 9\ を引く\\ &= \left( x -3 \right)^2 +2\\ よって\\ & \scriptsize\color{deepskyblue}x - 3=0\ を解いて\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle3$}\\ & 軸\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle3$}\\ & 頂点\ \left( \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle3$},\ 2 \right) \end{align*}
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【解答】
\begin{align*} & \scriptsize\quad\color{red}\Darr\bf\ 2次の係数が1\\ y &= x^2 -2 x +3\\ & \scriptsize\qquad\qquad\color{orange}\Darr\ -2 \times \dfrac12 = \colorbox{bisque}{$\displaystyle -1$}\\ &= \left( x \colorbox{bisque}{$\displaystyle-1$} \right)^2 \colorbox{palegreen}{$\displaystyle - 1$} +3\\ & \scriptsize\qquad\qquad\qquad\qquad\color{green}\Uarr\ 2乗した\ 1\ を引く\\ &= \left( x -1 \right)^2 +2\\ よって\\ & \scriptsize\color{deepskyblue}x - 1=0\ を解いて\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle1$}\\ & 軸\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle1$}\\ & 頂点\ \left( \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle1$},\ 2 \right) \end{align*}
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【解答】
\begin{align*} & \scriptsize\quad\color{red}\Darr\bf\ 2次の係数が1\\ y &= x^2 -4 x +1\\ & \scriptsize\qquad\qquad\color{orange}\Darr\ -4 \times \dfrac12 = \colorbox{bisque}{$\displaystyle -2$}\\ &= \left( x \colorbox{bisque}{$\displaystyle-2$} \right)^2 \colorbox{palegreen}{$\displaystyle - 4$} +1\\ & \scriptsize\qquad\qquad\qquad\qquad\color{green}\Uarr\ 2乗した\ 4\ を引く\\ &= \left( x -2 \right)^2 -3\\ よって\\ & \scriptsize\color{deepskyblue}x - 2=0\ を解いて\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle2$}\\ & 軸\ x = \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle2$}\\ & 頂点\ \left( \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle2$},\ -3 \right) \end{align*}