絶対値を含む方程式・不等式

「数と式」

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【数学１】数直線と絶対値

直線上に基準となる点 ${\rm O}$ をとり，そこに数 $0$ を対応させます。この点を中心にして両側に目もりをつけた直線を 数直線 といいます。そして，数直線の中心である点 ${\rm O}$ を原点と呼ぶことにします。この点 ${\rm O}$ が世界の中心です。
　
数直線の上の１つの点には必ず１つの実数が対応しています。
　
数直線上で１つの点 ${\rm P}$ を指差します。そこには必ず１つの実数が対応していますから，その実数を $a$ としましょう。このとき， $a$ を点 ${\rm P}$ の座標といいます。このように座標が $a$ である点 ${\rm P}$ を ${\rm P}(a)$ と表すことにします。これは点の名前と座標をセットで表現する便利な記号です。
　
数直線上の原点 ${\rm O}(0)$ と点 ${\rm P}(a)$ の間の距離を $a$ の 絶対値 と呼びます。また記号では両側に縦線を引いて $|\,a\,|$ と表現します。これからも絶対値という言葉に何度も出会います。すべて世界の中心である原点 ${\rm O}$ からの距離を表していることを忘れないでください。
　
絶対値については，次のことが成り立ちます。絶対値の中身が正か負かで使い分けましょう。

絶対値

\begin{align*} & \textcolor{red}{\phase{\ 絶対値をはずすだけ！}}\\ a\ が\colorbox{mistyrose}{正の数}のとき & ・・・ |\,a\,| = \colorbox{mistyrose}{$a$}\\\\ & \textcolor{blue}{\phase{\ (-1) をかける！}}\\ a\ が\colorbox{lightcyan}{負の数}のとき & ・・・ |\,a\,| = a\ \colorbox{lightcyan}{$\times (-1)$}\\\\ a\ が\ 0\ のときは & ・・・|\,a\,| = |\,0\,| = 0\ です。 \end{align*}

$a=0$ のときは，正として $\colorbox{mistyrose}{絶対値をはずし}$ ても，負として $\colorbox{lightcyan}{$(-1)$をかけて}$ も同じ結果 $0$ になります。どちらでも構いませんが、普通は $\colorbox{mistyrose}{正の数}$ 側として扱います。

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【数学１】絶対値を含む方程式・不等式

実数 $x$ の絶対値 $|\,x\,|$ は，数直線上の世界の中心である原点 ${\rm O}$ との距離です。これを利用すれば，次のことが成り立ちます。 $c$ を正の数とすると

\begin{align*} |\,x\,|\ \colorbox{mistyrose}{$= c$}\ の解は & ・・・ \colorbox{mistyrose}{$x=\pm\ c$}\\ |\,x\,|\ \colorbox{lightcyan}{$< c$}\ の解は & ・・・ \colorbox{lightcyan}{$-c < x < c$}\\ |\,x\,|\ \colorbox{lightgreen}{$> c$}\ の解は & ・・・ \colorbox{lightgreen}{$x < -c,\ c < x$} \end{align*}

絶対値の中身が式になることがあります。というか式になります。そんなときも困らないように日本語で書き換えてみました。やはり $c$ は正の数とします。ただの数字であることを意味しています。

絶対値を含む方程式・不等式

\begin{align*} |\,式\,|\ \colorbox{mistyrose}{$=c$}\ の解は & ・・・ \colorbox{mistyrose}{式$=\pm\ c$}\\\\ |\,式\,|\ \colorbox{lightcyan}{$< c$}\ の解は & ・・・ \colorbox{lightcyan}{$-c < 式 < c$}\\\\ |\,式\,|\ \colorbox{lightgreen}{$> c$}\ の解は & ・・・ \colorbox{lightgreen}{$式 < -c，c < 式$}\\\\ \end{align*}

$|\,式\,|\ \colorbox{lightcyan}{$\leqq c$}$ ， $|\,式\,|\ \colorbox{lightgreen}{$\geqq c$}$ のように等号があっても同じです。
絶対値の中身が式になっても変形方法は同じです。どんなに難しそうな式が表れても恐れることはありません。 $\colorbox{mistyrose}{$=c$}$ ， $\colorbox{lightcyan}{$<c$}$ ， $\colorbox{lightgreen}{$>c$}$ という３つのパターンを見極めて解いてください。
$c$ は数字です。大切なので何度でも書きます。このページの話は $c$ が数字のときに使えます。

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