不等式を満たす自然数を求める

\begin{align*}
200+12(n-10) &\leqq 15n\\
\colorbox{honeydew}{$200$}+12n\colorbox{mistyrose}{$-120$} &\leqq \colorbox{lightcyan}{$15n$}\\
12n\colorbox{lightcyan}{$-15n$} &\leqq \colorbox{mistyrose}{$-200+120$}\\
-3n &\leqq -80\\
& \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 両辺を -3 で割る ⇒ 向きを変える！}}\\
\dfrac{-3n}{-3} & \colorbox{yellow}{$\geqq$} \dfrac{-80}{-3}\\
n & \geqq \dfrac{80}{3}　\textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 80 \div 3}}\\
すなわち　　 n & \geqq 26.6 \cdots
\end{align*}

n=27

\begin{align*}
600+25(n-20) &\leqq 32n\\
\colorbox{mistyrose}{$600$}+25n\colorbox{mistyrose}{$-500$} &\leqq \colorbox{lightcyan}{$32n$}\\
25n\colorbox{lightcyan}{$-32n$} &\leqq \colorbox{mistyrose}{$-600+500$}\\
-7n &\leqq -100\\
& \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 両辺を -7 で割る ⇒ 向きを変える！}}\\
\dfrac{-7n}{-7} & \colorbox{yellow}{$\geqq$} \dfrac{-100}{-7}\\
n & \geqq \dfrac{100}{7}　\textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 100 \div 7}}\\
すなわち　　 n & \geqq 14.2 \cdots
\end{align*}

n=15

\begin{align*}
4+\dfrac15(n-4) &> \dfrac12n\\
& \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 両辺に 2 \times 5 = 10 をかける！}}\\
\colorbox{palegreen}{$10 \times$} 4 + \colorbox{palegreen}{$10 \times$}\dfrac15(n-4) &> \colorbox{palegreen}{$10 \times$} \dfrac12n\\
40 + 2(n-4) &> 5n\\
\colorbox{mistyrose}{$40$}+2n\colorbox{mistyrose}{$-8$} &> \colorbox{lightcyan}{$5n$}\\
2n\colorbox{lightcyan}{$-5n$} &> \colorbox{mistyrose}{$-40+8$}\\
-3n &> -32\\
& \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 両辺を -3 で割る ⇒ 向きを変える！}}\\
\dfrac{-3n}{-3} & \colorbox{yellow}{$<$} \dfrac{-32}{-3}\\
n & < \dfrac{32}{3}　\textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 32 \div 3}}\\
すなわち　　 n &< 10.6 \cdots
\end{align*}

n=10

\begin{align*}
60(50-n)+100n+100 &\leqq 4000\\
\colorbox{mistyrose}{$3000$}-60n+100n\colorbox{mistyrose}{$+100$} &\leqq 4000\\
-60n+100n &\leqq 4000\colorbox{mistyrose}{$-3000-100$}\\
40n &\leqq 900\\
& \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 両辺を 40 で割る}}\\
\dfrac{40n}{40} & \leqq \dfrac{900}{40}\\
n & \leqq \dfrac{90}{4}　\textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 90 \div 4}}\\
すなわち　　 n & \leqq 22.5
\end{align*}

n=22

\begin{align*}
3(n+2) &< 7n-15\\
3n\colorbox{mistyrose}{$+6$} &< \colorbox{lightcyan}{$7n$}-15\\
3n\colorbox{lightcyan}{$-7n$} &< -15\colorbox{mistyrose}{$-6$}\\
-4n &< -21\\
& \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 両辺を -4 で割る ⇒ 向きを変える！}}\\
\dfrac{-4n}{-4} & \colorbox{yellow}{$>$} \dfrac{-21}{-4}\\
n & > \dfrac{21}{4}　\textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 21 \div 4}}\\
すなわち　　 n & > 5.25
\end{align*}

n=6

\begin{align*}
13(n+5) &\geqq 7n+200\\
13n\colorbox{mistyrose}{$+65$} &\geqq \colorbox{lightcyan}{$7n$}+200\\
13n\colorbox{lightcyan}{$-7n$} &\geqq 200\colorbox{mistyrose}{$-65$}\\
6n &\geqq 135\\
& \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 両辺を 6 で割る}}\\
\dfrac{6n}{6} & \geqq \dfrac{135}{6}\\
n & \geqq \dfrac{45}{2}　\textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 45 \div 2}}\\
すなわち　　 n &\geqq 22.5
\end{align*}

n=23

\begin{align*}
2(5-n) &> 4(n-3)\\
\colorbox{mistyrose}{$10$}-2n &> \colorbox{lightcyan}{$4n$}-12\\
-2n\colorbox{lightcyan}{$-4n$} &> -12\colorbox{mistyrose}{$-10$}\\
-6n &> -22\\
& \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 両辺を -6 で割る ⇒ 向きを変える！}}\\
\dfrac{-6n}{-6} & \colorbox{yellow}{$<$} \dfrac{-22}{-6}\\
n & < \dfrac{11}{3}　\textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 11 \div 3}}\\
すなわち　　 n &< 3.66 \cdots
\end{align*}

n=3

\begin{align*}
\dfrac{n+4}{6} & \leqq \dfrac{11}{3}-\dfrac{n}{2}\\
& \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 両辺に 6 = 3 \times 2 をかける！}}\\
\colorbox{palegreen}{$6 \times$}\dfrac{n+4}{6} & \leqq \colorbox{palegreen}{$6 \times$} \dfrac{11}{3}-\colorbox{palegreen}{$6 \times$} \dfrac{n}{2}\\
n\colorbox{mistyrose}{$+4$} &\leqq 22\colorbox{lightcyan}{$-3n$}\\
n\colorbox{lightcyan}{$+3n$} &\leqq 22 \colorbox{mistyrose}{$-4$}\\
4n &\leqq 18\\
& \textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 両辺を 4 で割る}}\\
\dfrac{4n}{4} & \leqq \dfrac{18}{4}\\
n & \leqq \dfrac{9}{2}　\textcolor{orange}{\footnotesize\phase{\ 9 \div 2}}\\
すなわち　　 n &\leqq 4.5
\end{align*}

n=4