
文字を入れ替えても同じ式,そんな不思議な性質をもった対称式について見ていきます。対称式は無限に存在しますが,基本対称式と呼ばれる限られた式だけで 世界に存在するすべての対称式 を表すことができます。数学の美しさを感じてながら問題を解きましょう。
気になるところをタップして確認しましょう。
文字を入れ替えても同じ式になる式を 対称式 といいます。例えば次の式は,\textcolor{red}{x \Rightarrow y},\textcolor{blue}{y \Rightarrow x} と入れ替えても
\begin{align*} \textcolor{red}{x}\ +\ \textcolor{blue}{y} &= \textcolor{red}{y}\ +\ \textcolor{blue}{x}\\ \\ \textcolor{red}{x}\ \textcolor{blue}{y} &= \textcolor{red}{y}\ \textcolor{blue}{x}\\ \\ \textcolor{red}{x^2}\ +\ \textcolor{blue}{y^2} &= \textcolor{red}{y^2}\ +\ \textcolor{blue}{x^2}\\ \\ \textcolor{red}{x^2}\textcolor{blue}{y}\ +\ \textcolor{red}{x}\textcolor{blue}{y^2} &= \textcolor{red}{y^2}\textcolor{blue}{x}\ +\ \textcolor{red}{y}\textcolor{blue}{x^2} \end{align*}
同じ式になるので,これらの式は 対称式 です。他にも
\begin{array}{c} x^3y+xy^3\\ \\ \dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} \end{array}
のように,無限に創り出すことができます。文字が3つの対称式もあります。機会があれば書きますね。
(2文字の)対称式のうち
x+y xy
を 基本対称式 といいます。なぜ基本と名付けているのでしょうか。それは次の性質があるからです。
この世界に存在する
すべての対称式は
基本対称式2つだけで表せる
大切だから2度書きます。すべての対称式です。どんな対称式であっても x+y,xy で表せるのです。このような素晴らしい力を持っているので 基本対称式 と名付けたわけです。
a^2+b^2=(a+b)^2-2ab
【作り方】
\begin{align*} \color{red}\scriptsize\Darr Start & \color{red}\scriptsize \Rightarrow 展開\\ (a+b)^2 &= \colorbox{mistyrose}{$a^2$}+2ab\colorbox{mistyrose}{$+b^2$}\\ & \color{red}\scriptsize \swarrow 2ab を移項\\ (a+b)^2-2ab &= \colorbox{mistyrose}{$a^2+b^2$}\\ \color{red}\scriptsize 左右を & \color{red}\scriptsize 入れ替える\\ \colorbox{mistyrose}{$a^2+b^2$} &= (a+b)^2-2ab \end{align*}
a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)
【作り方】
※数学2の公式です。簡単なので覚えてもいいかもしれません。
\begin{align*} \color{red}\scriptsize\Darr Start & \color{red}\scriptsize \Rightarrow 展開\\ (a+b)^3 &= \colorbox{mistyrose}{$a^3$}+3a^2b+3ab^2\colorbox{mistyrose}{$+b^3$}\\ & \color{red}\scriptsize \swarrow 3a^2b+3ab^2 を移項\\ (a+b)^3-3a^2b-3ab^2 &= \colorbox{mistyrose}{$a^3+b^3$}\\ \color{red}\scriptsize 共通因数 -3ab をくくり出す \Darr \\ (a+b)^3-3ab(a+b) &= \colorbox{mistyrose}{$a^3+b^3$}\\ \color{red}\scriptsize 左右を & \color{red}\scriptsize 入れ替える\\ \colorbox{mistyrose}{$a^3+b^3$} &= (a+b)^3-3ab(a+b) \end{align*}
文字を入れ替えると元の式の -1 倍になる式を 交代式 といいます。例えば下の式は,\textcolor{red}{x \Rightarrow y},\textcolor{blue}{y \Rightarrow x} と入れ替えると元の式の -1 倍になっています。
\begin{align*} \textcolor{red}{x}\ -\ \textcolor{blue}{y} &= -(\textcolor{red}{y}\ -\ \textcolor{blue}{x})\\ \\ \textcolor{red}{x^2}\ -\ \textcolor{blue}{y^2} &= -(\textcolor{red}{y^2}\ -\ \textcolor{blue}{x^2})\\ \\ \textcolor{red}{x^2}\textcolor{blue}{y}\ -\ \textcolor{red}{x}\textcolor{blue}{y^2} &= -(\textcolor{red}{y^2}\textcolor{blue}{x}\ -\ \textcolor{red}{y}\textcolor{blue}{x^2}) \end{align*}
したがって,これらは 交代式 です。
a-b=-(b-a)
だから対称式ではなく交代式です。対称式だったら基本対称式で表すことができたのに・・・あきらめることはありません。そんなときは2乗してみましょう。
(a-b)^2 = (b-a)^2
すると対称式になりました! ということは基本対称式で表せるはずです。
\begin{align*} \color{red}\scriptsize \Darr Start & \color{red}\scriptsize \Rightarrow 展開\\ (a-b)^2 &= \colorbox{lightcyan}{$a^2$}-2ab\colorbox{lightcyan}{$+b^2$} \color{red}\scriptsize ・・・対称式!\\ &= \colorbox{lightcyan}{$a^2+b^2$}-2ab\\ &= \colorbox{lightcyan}{$(a+b)^2-2ab$}-2ab\\ &= (a+b)^2-4ab \end{align*}
ということで基本対称式で表せることが分かりました。ただし,最初に2乗しているので注意が必要です。
【作り方】
\begin{align*} \color{red}\scriptsize\Darr Start & \color{red}\scriptsize \Rightarrow 展開\\ (a+b)^2 &= \colorbox{mistyrose}{$a^2$}+2ab\colorbox{mistyrose}{$+b^2$}\\ & \color{red}\scriptsize \swarrow 2ab を移項\\ (a+b)^2-2ab &= \colorbox{mistyrose}{$a^2+b^2$}\\ \color{red}\scriptsize 左右を & \color{red}\scriptsize 入れ替える\\ \colorbox{mistyrose}{$a^2+b^2$} &= (a+b)^2-2ab \end{align*}
練習問題にチャレンジ♪
さっそく練習問題にチャレンジしましょう。
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【解答】
\def\SLU{2} \def\SLD{2+\sqrt{6}} \def\SRU{2} \def\SRD{2-\sqrt{6}} \def\SLURD{4-2\sqrt{6}} \def\SRULD{4+2\sqrt{6}} \def\SLDRD{4-6} \def\SpBS{8} \def\SpBB{-2} \def\SpAN{-4} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{red}{◆基本対} & \colMM{red}{称式を求める}\\ a+b &= \dfrac{\colBX{bisque}{$\SLU$}}{\colBX{palegreen}{$\SLD$}} + \dfrac{\colBX{violet}{$\SRU$}}{\colBX{lightcyan}{$\SRD$}}\\ \\ &= \dfrac{\colBX{bisque}{$\SLU$}(\colBX{lightcyan}{$\SRD$})+\colBX{violet}{$\SRU$}(\colBX{palegreen}{$\SLD$})}{(\colBX{palegreen}{$\SLD$})(\colBX{lightcyan}{$\SRD$})}\\ \\ &= \dfrac{(\SLURD)+(\SRULD)}{\SLDRD}\\ \\ &= \dfrac{\SpBS}{\SpBB} = \colFR{red}{$\SpAN$}\\ \end{align*}
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【解答】
\def\SLU{2} \def\SLD{2+\sqrt{6}} \def\SRU{2} \def\SRD{2-\sqrt{6}} \def\SLURU{4} \def\SLDRD{4-6} \def\SpBS{8} \def\SpBB{-2} \def\SpAN{-4} \def\SmBS{4} \def\SmBB{-2} \def\SmAN{-2} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{red}{◆基本対} & \colMM{red}{称式を求める}\\ ab &= \dfrac{\colBX{bisque}{$\SLU$}}{\colBX{palegreen}{$\SLD$}} \times \dfrac{\colBX{violet}{$\SRU$}}{\colBX{lightcyan}{$\SRD$}}\\ \\ &= \dfrac{\colBX{bisque}{$\SLU$} \times\colBX{violet}{$\SRU$}}{(\colBX{palegreen}{$\SLD$})(\colBX{lightcyan}{$\SRD$})}\\ \\ &= \dfrac{\SLURU}{\SLDRD} = \dfrac{\SmBS}{\SmBB} = \colFR{lightgreen}{$\SmAN$}\\ \\ \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
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【解答】
\def\leftwkakko{(} \def\wa{-4} \def\rightwkakko{)} \def\leftskakko{(} \def\seki{-2} \def\rightskakko{)} \def\keisan{16+4} \def\kotae{20} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} a^2 + b^2 &= (a+b)^2-2ab\\ &=\leftwkakko\wa\rightwkakko^2-2 \cdot \leftskakko\seki\rightskakko\\ &= \keisan\\ &= \kotae \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
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【解答】
\def\leftwkakko{(} \def\wa{-4} \def\rightwkakko{)} \def\leftskakko{(} \def\seki{-2} \def\rightskakko{)} \def\keisan{16+6} \def\kotae{22} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} a^2 -ab + b^2 &= a^2+b^2-ab\\ &= (a+b)^2-2ab-ab\\ &= (a+b)^2-3ab\\ &=\leftwkakko\wa\rightwkakko^2-3 \cdot \leftskakko\seki\rightskakko\\ &= \keisan\\ &= \kotae \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
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【解答】
\def\SLU{3-\sqrt{5}} \def\SLD{\sqrt{5}-2} \def\SRU{3+\sqrt{5}} \def\SRD{\sqrt{5}+2} \def\SLURD{3\sqrt{5}+6-5-2\sqrt{5}} \def\SRULD{3\sqrt{5}-6+5-2\sqrt{5}} \def\SLURU{9-5} \def\SLDRD{5-4} \def\SpBS{2\sqrt{5}} \def\SpBB{1} \def\SpAN{2\sqrt{5}} \def\SmBS{4} \def\SmBB{1} \def\SmAN{4} \def\SlAN{20-4=16} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{red}{◆基本対} & \colMM{red}{称式を求める}\\ x+y &= \dfrac{\colBX{bisque}{$\SLU$}}{\colBX{palegreen}{$\SLD$}} + \dfrac{\colBX{violet}{$\SRU$}}{\colBX{lightcyan}{$\SRD$}}\\ \\ &= \dfrac{(\colBX{bisque}{$\SLU$})(\colBX{lightcyan}{$\SRD$})+(\colBX{violet}{$\SRU$})(\colBX{palegreen}{$\SLD$})}{(\colBX{palegreen}{$\SLD$})(\colBX{lightcyan}{$\SRD$})}\\ \\ &= \dfrac{(\SLURD)+(\SRULD)}{\SLDRD}\\ \\ &= \dfrac{\SpBS}{\SpBB} = \colFR{red}{$\SpAN$}\\ \\ xy &= \dfrac{\colBX{bisque}{$\SLU$}}{\colBX{palegreen}{$\SLD$}} \times \dfrac{\colBX{violet}{$\SRU$}}{\colBX{lightcyan}{$\SRD$}}\\ \\ &= \dfrac{(\colBX{bisque}{$\SLU$})(\colBX{violet}{$\SRU$})}{(\colBX{palegreen}{$\SLD$})(\colBX{lightcyan}{$\SRD$})}\\ \\ &= \dfrac{\SLURU}{\SLDRD} = \dfrac{\SmBS}{\SmBB} = \colFR{lightgreen}{$\SmAN$}\\ \\ \colMM{red}{◆基本対} & \colMM{red}{称式を利用}\\ x^2+y^2 &= (x+y)^2-2xy\\ \\ &= (\colFR{red}{$\SpAN$})^2-2 \cdot \colFR{lightgreen}{$\SmAN$}\\ \\ &= \SlAN \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
x=\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{2},y=\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2} のとき,次の式の値を求めよ。
【解答】
\def\lBunsi{\sqrt{3}+\sqrt{5}} \def\rBunsi{\sqrt{3}-\sqrt{5}} \def\lBunbo{2} \def\rBunbo{2} \begin{align*} x+y &= \dfrac{\colorbox{mistyrose}{$\lBunsi$}}{\colorbox{lightcyan}{$\lBunbo$}} + \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$\rBunsi$}}{\colorbox{mistyrose}{$\rBunbo$}}\\ \\ & \color{red}\scriptsize 左上 \times 右下 + 左下 \times 右上\\ &= \dfrac{\colorbox{mistyrose}{$(\lBunsi)$} \cdot \colorbox{mistyrose}{$\rBunbo$} + \colorbox{lightcyan}{$2$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$(\sqrt{3}-\sqrt{5})$}}{\colorbox{lightcyan}{$\lBunbo$} \times \colorbox{mistyrose}{$\rBunbo$}}\\ & \color{red}\scriptsize \Uarr 分母 \times 分母 \Uarr\\ \\ %ここから手作業 &= \dfrac{2\sqrt{3}+2\sqrt{5}+2\sqrt{3}-2\sqrt{5}}{4}\\ \\ &= \dfrac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3} \end{align*}
【解答】
\def\lBunsi{\sqrt{3}+\sqrt{5}} \def\rBunsi{\sqrt{3}-\sqrt{5}} \def\lBunbo{2} \def\rBunbo{2} \begin{align*} xy &= \dfrac{\colorbox{mistyrose}{$\lBunsi$}}{\colorbox{lightcyan}{$\lBunbo$}} \times \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$\rBunsi$}}{\colorbox{mistyrose}{$\rBunbo$}}\\ \\ &= \dfrac{\colorbox{mistyrose}{$(\lBunsi)$}\colorbox{lightcyan}{$(\sqrt{3}-\sqrt{5})$}}{\colorbox{lightcyan}{$\lBunbo$} \times \colorbox{mistyrose}{$\rBunbo$}}\\ \\ %ここから手作業 &= \dfrac{\sqrt{3}^2-\sqrt{5}^2}{4}\\ \\ &= \dfrac{3-5}{4} = \dfrac{-2}{4} = -\dfrac{1}{2} \end{align*}
すべての対称式は基本対称式で表せる!
x^2+y^2= (x+y)^2-2xy
【解答】
\def\XpY{\sqrt{3}} \def\XY{\left(-\dfrac12\right)} \begin{align*} x^2+y^2 &= (x+y)^2-2xy\\ &= \XpY^2-2 \cdot \XY\\ %ここから手作業 &= 3+1\\ &= 4 \end{align*}
\textcolor{red}{x^3}\textcolor{blue}{y}+\textcolor{red}{x}\textcolor{blue}{y^3} と
\textcolor{red}{y^3}\textcolor{blue}{x}+\textcolor{red}{y}\textcolor{blue}{x^3} は同じ ⇒ 対称式!すべての対称式は基本対称式で表せる!
共通因数があるから因数分解しよう!
【解答】x^2+y^2=16 を利用する
※計算は楽ですが,x^2+y^2 を計算ミスすると一緒に間違えます。
\def\XpY{\sqrt{3}} \def\XY{\left(-\dfrac12\right)} \begin{align*} x^3y+xy^3 &= xy(x^2+y^2)\\ \\ &= xy\left\{ (x+y)^2-2xy\right\}\\ \\ &= \XY\left\{\XpY^2-2\cdot \XY\right\}\\ \\ %ここから手作業 &= -\dfrac12(3+1)\\ \\ &= -\dfrac12 \times 4 = -2 \end{align*}
【別解】 x^2+y^2=4 を利用しない
※計算は面倒ですが,x^2+y^2 を計算ミスしていても影響しません。
\def\XpY{\sqrt{3}} \def\XY{\left(-\dfrac12\right)} \begin{align*} x^3y+xy^3 &= xy(x^2+y^2)\\ \\ &= xy\left\{ (x+y)^2-2xy\right\}\\ \\ &= \XY\left\{\XpY^2-2\cdot \XY\right\}\\ \\ %ここから手作業 &= -\dfrac12(3+1)\\ \\ &= -\dfrac12 \times 4 = -2 \end{align*}
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\bm x=\dfrac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}},y=\dfrac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} のとき,
x^2+y^2 の値を求めなさい。【解答】
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{red}{基本対称式} & \colMM{red}{を求める}\\ x+y &= \dfrac{\colBX{bisque}{$2$}}{\colBX{palegreen}{$\sqrt{5}-\sqrt{3}$}} + \dfrac{\colBX{violet}{$2$}}{\colBX{lightcyan}{$\sqrt{5}+\sqrt{3}$}}\\ \\ &= \dfrac{\colBX{bisque}{$2$}(\colBX{lightcyan}{$\sqrt{5}+\sqrt{3}$})+\colBX{violet}{$2$}(\colBX{palegreen}{$\sqrt{5}-\sqrt{3}$})}{(\colBX{palegreen}{$\sqrt{5}-\sqrt{3}$})(\colBX{lightcyan}{$\sqrt{5}+\sqrt{3}$})}\\ \\ &= \dfrac{2\sqrt{5}+2\sqrt{3}+2\sqrt{5}-2\sqrt{3}}{\sqrt{5}^2-\sqrt{3}^2}\\ \\ &= \dfrac{4\sqrt{5}}{5-3} = \dfrac{4\sqrt{5}}{2} = \colFR{red}{$2\sqrt{5}$}\\ \\ xy &= \dfrac{\colBX{bisque}{$2$}}{\colBX{palegreen}{$\sqrt{5}-\sqrt{3}$}} \times \dfrac{\colBX{violet}{$2$}}{\colBX{lightcyan}{$\sqrt{5}+\sqrt{3}$}}\\ \\ &= \dfrac{\colBX{bisque}{$2$} \times \colBX{violet}{$2$}}{(\colBX{palegreen}{$\sqrt{5}-\sqrt{3}$})(\colBX{lightcyan}{$\sqrt{5}+\sqrt{3}$})}\\ \\ &= \dfrac{4}{\sqrt{5}^2-\sqrt{3}^2}\\ \\ &= \dfrac{4}{5-3} = \dfrac{4}{2} = \colFR{lightgreen}{$2$}\\ \\ \colMM{red}{基本対称式} & \colMM{red}{を利用}\\ x^2+y^2 &= (x+y)^2-2xy\\ \\ &= (\colFR{red}{$2\sqrt{5}$})^2-2 \cdot \colFR{lightgreen}{$2$}\\ \\ &= 2^2 \cdot \sqrt{5}^2-4\\ \\ &= 4 \cdot 5 - 4 = 20-4 = 16 \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
x=\sqrt{2}+\sqrt{6},y=\sqrt{2}-\sqrt{6} のとき,次の式の値を求めよ。
【解答】
\begin{align*} x+y &= (\sqrt{2}+\sqrt{6})+(\sqrt{2}-\sqrt{6})\\ &= 2\sqrt{2} \end{align*}
【解答】
\begin{align*} xy &= (\sqrt{2}+\sqrt{6})(\sqrt{2}-\sqrt{6})\\ &= \sqrt{2}^2-\sqrt{6}^2\\ &= 2-6 = -4 \end{align*}
すべての対称式は基本対称式で表せる!
x^2+y^2 = (x+y)^2-2xy
【解答】
\def\XpY{(2\sqrt{2})} \def\XY{\left(-4\right)} \begin{align*} x^2+y^2 &= (x+y)^2-2xy\\ &= \XpY^2-2 \cdot \XY\\ %ここから手作業 &= 4 \cdot 2+8\\ &= 8+8 = 16 \end{align*}
\textcolor{red}{x^3}\textcolor{blue}{y}+\textcolor{red}{x}\textcolor{blue}{y^3} と
\textcolor{red}{y^3}\textcolor{blue}{x}+\textcolor{red}{y}\textcolor{blue}{x^3} は同じ ⇒ 対称式!すべての対称式は基本対称式で表せる!
共通因数があるから因数分解しよう!
【解答】x^2+y^2=16 を利用する
※計算は楽ですが,x^2+y^2 を計算ミスすると一緒に間違えます。
\def\XpY{2\sqrt{2}} \def\XY{-4} \begin{align*} x^3y+xy^3 &= xy(x^2+y^2)\\ & \color{orange}\scriptsize \Darr 上の結果16を利用\\ &= \XY \cdot 16\\ \\ &= -64 \end{align*}
【別解】 x^2+y^2=16 を利用しない
※計算は面倒ですが,x^2+y^2 を計算ミスしていても影響しません。
\def\XpY{2\sqrt{2}} \def\XY{\left(-4\right)} \begin{align*} & \color{orange}\scriptsize 上の結果 \Darr 16も利用可\\ x^3y+xy^3 &= xy(x^2+y^2)\\ & \color{green}\scriptsize \Darr 計算ミスが怖いので\\ &= xy\left\{ (x+y)^2-2xy\right\}\\ \\ &= \XY\left\{(\XpY)^2-2\cdot \XY\right\}\\ \\ %ここから手作業 &= -4(4 \cdot 2+8)\\ \\ &= -4(8+8)\\ \\ &= -4 \cdot 16 = -64 \end{align*}
\textcolor{red}{x^3}+\textcolor{blue}{y^3} と
\textcolor{red}{y^3}+\textcolor{blue}{x^3} は同じ ⇒ 対称式!すべての対称式は基本対称式で表せる!
x^3+y^3 = (x+y)^3-3xy(x+y)
【解答】
\def\XpY{2\sqrt{2}} \def\XY{\left(-4\right)} \begin{align*} x^3+y^3 &= (x+y)^3-3xy(x+y)\\ \\ &= (\XpY)^3-3 \cdot \XY \cdot (\XpY)\\ \\ %ここから手作業 &= 8 \cdot 2\sqrt{2}+24\sqrt{2}\\ \\ &= 16\sqrt{2}+24\sqrt{2}\\ \\ &= 40\sqrt{2} \end{align*}
a=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1},y=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}-1} のとき,次の式の値を求めよ。
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【解答】
\def\lBunsi{\sqrt{3}} \def\rBunsi{\sqrt{3}} \def\lBunbo{\sqrt{2}+1} \def\rBunbo{\sqrt{2}-1} \begin{align*} a+b &= \dfrac{\colorbox{mistyrose}{$\lBunsi$}}{\colorbox{lightcyan}{$\lBunbo$}} + \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$\rBunsi$}}{\colorbox{mistyrose}{$\rBunbo$}}\\ \\ & \color{red}\scriptsize 左上 \times 右下 + 左下 \times 右上\\ &= \dfrac{\colorbox{mistyrose}{$\lBunsi$} \cdot \colorbox{mistyrose}{$(\rBunbo)$} + \colorbox{lightcyan}{$(\lBunbo)$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$\rBunsi$}}{\colorbox{lightcyan}{$(\lBunbo)$} \times \colorbox{mistyrose}{$(\rBunbo)$}}\\ & \color{red}\scriptsize \Uarr 分母 \times 分母 \Uarr\\ \\ %ここから手作業 &= \dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}^2-1^1}\\ \\ &= \dfrac{2\sqrt{6}}{2-1} = 2\sqrt{6} \end{align*}
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【解答】
\def\lBunsi{\sqrt{3}} \def\rBunsi{\sqrt{3}} \def\lBunbo{\sqrt{2}+1} \def\rBunbo{\sqrt{2}-1} \begin{align*} ab &= \dfrac{\colorbox{mistyrose}{$\lBunsi$}}{\colorbox{lightcyan}{$\lBunbo$}} \times \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$\rBunsi$}}{\colorbox{mistyrose}{$\rBunbo$}}\\ \\ &= \dfrac{\colorbox{mistyrose}{$\lBunsi$} \times \colorbox{lightcyan}{$\rBunsi$}}{\colorbox{lightcyan}{$(\lBunbo$)} \colorbox{mistyrose}{$(\rBunbo)$}}\\ \\ %ここから手作業 &= \dfrac{3}{\sqrt{2}^2-1^1}\\ \\ &= \dfrac{3}{2-1} = 3\end{align*}
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すべての対称式は基本対称式で表せる!
a^2+b^2 = (a+b)^2-2ab
【解答】
\def\XpY{2\sqrt{6}} \def\XY{3} \begin{align*} a^2+b^2 &= (a+b)^2-2ab\\ &= (\XpY)^2-2 \cdot \XY\\ %ここから手作業 &= 4 \cdot 6 -6 \color{orange}=6(4-1)\\ &= 24-6 = 18 \end{align*}
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すべての対称式は基本対称式で表せる!
a^2+b^2 = (a+b)^2-2ab
【解答】
\def\XpY{2\sqrt{6}} \def\XY{3} \begin{align*} a^2-ab+b^2 &= (a+b)^2-2ab-ab\\ &= (a+b)^2-3ab\\ &= (\XpY)^2-3 \cdot \XY\\ %ここから手作業 &= 4 \cdot 6 -9\\ &= 24-9 = 15 \end{align*}
a=\dfrac{1}{3-2\sqrt{2}},y=\dfrac{1}{3+2\sqrt{2}} のとき,次の式の値を求めよ。
【解答】
\def\lBunsi{1} \def\rBunsi{1} \def\lBunbo{3-2\sqrt{2}} \def\rBunbo{3+2\sqrt{2}} \begin{align*} a+b &= \dfrac{\colorbox{mistyrose}{$\lBunsi$}}{\colorbox{lightcyan}{$\lBunbo$}} + \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$\rBunsi$}}{\colorbox{mistyrose}{$\rBunbo$}}\\ \\ & \color{red}\scriptsize 左上 \times 右下 + 左下 \times 右上\\ &= \dfrac{\colorbox{mistyrose}{$\lBunsi$} \cdot \colorbox{mistyrose}{$(\rBunbo)$} + \colorbox{lightcyan}{$(\lBunbo)$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$\rBunsi$}}{\colorbox{lightcyan}{$(\lBunbo)$} \times \colorbox{mistyrose}{$(\rBunbo)$}}\\ & \color{red}\scriptsize \Uarr 分母 \times 分母 \Uarr\\ \\ %ここから手作業 &= \dfrac{3+2\sqrt{2}+3-2\sqrt{2}}{3^2-(2\sqrt{2})^2}\\ \\ &= \dfrac{6}{9-4 \cdot 2}\\ \\ &= \dfrac{6}{9-8} = 6 \end{align*}
【解答】
\def\lBunsi{1} \def\rBunsi{1} \def\lBunbo{3-2\sqrt{2}} \def\rBunbo{3+2\sqrt{2}} \begin{align*} ab &= \dfrac{\colorbox{mistyrose}{$\lBunsi$}}{\colorbox{lightcyan}{$\lBunbo$}} \times \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$\rBunsi$}}{\colorbox{mistyrose}{$\rBunbo$}}\\ \\ &= \dfrac{\colorbox{mistyrose}{$\lBunsi$} \times \colorbox{lightcyan}{$\rBunsi$}}{\colorbox{lightcyan}{$(\lBunbo$)} \colorbox{mistyrose}{$(\rBunbo)$}}\\ \\ %ここから手作業 &= \dfrac{1}{3^2-(2\sqrt{2})^2}\\ \\ &= \dfrac{1}{9-4 \cdot 2}\\ \\ &= \dfrac{1}{9-8} = 1 \end{align*}
すべての対称式は基本対称式で表せる!
a^2+b^2 = (a+b)^2-2ab
【解答】
\def\XpY{6} \def\XY{1} \begin{align*} a^2+b^2 &= (a+b)^2-2ab\\ &= \XpY^2-2 \cdot \XY\\ %ここから手作業 &= 36-2 = 34 \end{align*}
a=\dfrac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}},y=\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} のとき,次の式の値を求めよ。
【解答】
\def\lBunsi{1} \def\rBunsi{1} \def\lBunbo{\sqrt{3}-\sqrt{2}} \def\rBunbo{\sqrt{3}+\sqrt{2}} \begin{align*} xy &= \dfrac{\colorbox{mistyrose}{$\lBunsi$}}{\colorbox{lightcyan}{$\lBunbo$}} \times \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$\rBunsi$}}{\colorbox{mistyrose}{$\rBunbo$}}\\ \\ &= \dfrac{\colorbox{mistyrose}{$\lBunsi$} \times \colorbox{lightcyan}{$\rBunsi$}}{\colorbox{lightcyan}{$(\lBunbo$)} \colorbox{mistyrose}{$(\rBunbo)$}}\\ \\ %ここから手作業 &= \dfrac{1}{\sqrt{3}^2-\sqrt{2}^2}\\ \\ &= \dfrac{1}{3-2} = 1 \end{align*}
【解答】
\def\lBunsi{1} \def\rBunsi{1} \def\lBunbo{\sqrt{3}-\sqrt{2}} \def\rBunbo{\sqrt{3}+\sqrt{2}} \begin{align*} x+y &= \dfrac{\colorbox{mistyrose}{$\lBunsi$}}{\colorbox{lightcyan}{$\lBunbo$}} + \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$\rBunsi$}}{\colorbox{mistyrose}{$\rBunbo$}}\\ \\ & \color{red}\scriptsize 左上 \times 右下 + 左下 \times 右上\\ &= \dfrac{\colorbox{mistyrose}{$\lBunsi$} \cdot \colorbox{mistyrose}{$(\rBunbo)$} + \colorbox{lightcyan}{$(\lBunbo)$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$\rBunsi$}}{\colorbox{lightcyan}{$(\lBunbo)$} \times \colorbox{mistyrose}{$(\rBunbo)$}}\\ & \color{red}\scriptsize \Uarr 分母 \times 分母 \Uarr\\ \\ %ここから手作業 &= \dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3^2-(2\sqrt{2})^2}\\ \\ &= \dfrac{2\sqrt{3}}{9-4 \cdot 2}\\ \\ &= \dfrac{2\sqrt{3}}{9-8} = 2\sqrt{3} \end{align*}
すべての対称式は基本対称式で表せる!
x^2+y^2 = (x+y)^2-2xy
【解答】
\def\XpY{2\sqrt{3}} \def\XY{1} \begin{align*} x^2+y^2 &= (x+y)^2-2xy\\ &= (\XpY)^2-2 \cdot \XY\\ %ここから手作業 &= 4 \cdot 3 -2\\ &= 12-2 = 10 \end{align*}
x=\dfrac{4}{\sqrt{3}+1},y=\dfrac{2}{\sqrt{3}-1} のとき,次の式の値を求めよ。
【解答】
\def\lBunsi{4} \def\rBunsi{2} \def\lBunbo{\sqrt{3}+1} \def\rBunbo{\sqrt{3}-1} \begin{align*} xy &= \dfrac{\colorbox{mistyrose}{$\lBunsi$}}{\colorbox{lightcyan}{$\lBunbo$}} \times \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$\rBunsi$}}{\colorbox{mistyrose}{$\rBunbo$}}\\ \\ &= \dfrac{\colorbox{mistyrose}{$\lBunsi$} \times \colorbox{lightcyan}{$\rBunsi$}}{\colorbox{lightcyan}{$(\lBunbo$)} \colorbox{mistyrose}{$(\rBunbo)$}}\\ \\ %ここから手作業 &= \dfrac{8}{\sqrt{3}^2-1^2}\\ \\ &= \dfrac{8}{3-1}\\ \\ &= \dfrac{8}{2} = 4 \end{align*}
【解答】
\def\lBunsi{4} \def\rBunsi{2} \def\lBunbo{\sqrt{3}+1} \def\rBunbo{\sqrt{3}-1} \begin{align*} x+y &= \dfrac{\colorbox{mistyrose}{$\lBunsi$}}{\colorbox{lightcyan}{$\lBunbo$}} + \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$\rBunsi$}}{\colorbox{mistyrose}{$\rBunbo$}}\\ \\ & \color{red}\scriptsize 左上 \times 右下 + 左下 \times 右上\\ &= \dfrac{\colorbox{mistyrose}{$\lBunsi$} \cdot \colorbox{mistyrose}{$(\rBunbo)$} + \colorbox{lightcyan}{$(\lBunbo)$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$\rBunsi$}}{\colorbox{lightcyan}{$(\lBunbo)$} \times \colorbox{mistyrose}{$(\rBunbo)$}}\\ & \color{red}\scriptsize \Uarr 分母 \times 分母 \Uarr\\ \\ %ここから手作業 &= \dfrac{4\sqrt{3}-4+2\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}^2-1^2}\\ \\ &= \dfrac{6\sqrt{3}-2}{3-1}\\ \\ &= \dfrac{2(3\sqrt{3}-1)}{2} = 3\sqrt{3}-1 \end{align*}
すべての対称式は基本対称式で表せる!
x^2+y^2 = (x+y)^2-2xy
【解答】
\def\XpY{3\sqrt{3}-1} \def\XY{4} \begin{align*} x^2+y^2 &= (x+y)^2-2xy\\ &= (\XpY)^2-2 \cdot \XY\\ %ここから手作業 &= 9 \cdot 3 -2 \cdot 3\sqrt{3} \cdot 1 + 1-8\\ &= 27-6\sqrt{3}-7\\ &= 20-6\sqrt{3} \end{align*}
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x=\dfrac{3-\sqrt{5}}{\sqrt{5}-2},y=\dfrac{3+\sqrt{5}}{\sqrt{5}-2} のとき,次の式の値を求めよ。
- 20211222…初版公開。大問6。小問21。
冬休みに入ったので,冬期講習の模試監督の合間に気合を入れて作ってみました。対称式って大好きなんですよね。数学の美しさを見事に表していると思いませんか。この世界にあるすべての対称式が、たった2つの式で表せる。さらに文字が3つになっても同じことが成り立つ。これを無限に繰り返せる。夢が膨らみます。