対称式と交代式

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btakeshi
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文字を入れ替えても同じ式，そんな不思議な性質をもった対称式について見ていきます。対称式は無限に存在しますが，基本対称式と呼ばれる限られた式だけで 世界に存在するすべての対称式 を表すことができます。数学の美しさを感じてながら問題を解きましょう。

ポイントを確認！

気になるところをタップして確認しましょう。

文字を入れ替えても同じ式になる式を 対称式 といいます。例えば次の式は，\textcolor{red}{x \Rightarrow y}，\textcolor{blue}{y \Rightarrow x} と入れ替えても

\begin{align*}
\textcolor{red}{x}\ +\ \textcolor{blue}{y} &= \textcolor{red}{y}\ +\ \textcolor{blue}{x}\\
\\
\textcolor{red}{x}\ \textcolor{blue}{y} &= \textcolor{red}{y}\ \textcolor{blue}{x}\\
\\
\textcolor{red}{x^2}\ +\ \textcolor{blue}{y^2} &= \textcolor{red}{y^2}\ +\ \textcolor{blue}{x^2}\\
\\
\textcolor{red}{x^2}\textcolor{blue}{y}\ +\ \textcolor{red}{x}\textcolor{blue}{y^2} &= \textcolor{red}{y^2}\textcolor{blue}{x}\ +\ \textcolor{red}{y}\textcolor{blue}{x^2}
\end{align*}

同じ式になるので，これらの式は 対称式 です。他にも

\begin{array}{c}
x^3y+xy^3\\
\\
\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}
\end{array}

のように，無限に創り出すことができます。文字が３つの対称式もあります。機会があれば書きますね。

（２文字の）対称式のうち

x+y　　　xy

を 基本対称式 といいます。なぜ基本と名付けているのでしょうか。それは次の性質があるからです。

この世界に存在する

すべての対称式は

基本対称式２つだけで表せる

大切だから２度書きます。すべての対称式です。どんな対称式であっても x+y，xy で表せるのです。このような素晴らしい力を持っているので 基本対称式 と名付けたわけです。

a^2+b^2=(a+b)^2-2ab

【作り方】

\begin{align*}
\color{red}\scriptsize\Darr Start & \color{red}\scriptsize 　　\Rightarrow 展開\\
(a+b)^2 &= \colorbox{mistyrose}{$a^2$}+2ab\colorbox{mistyrose}{$+b^2$}\\
& \color{red}\scriptsize 　　　　\swarrow 2ab を移項\\
(a+b)^2-2ab &= \colorbox{mistyrose}{$a^2+b^2$}\\
\color{red}\scriptsize 左右を & \color{red}\scriptsize 入れ替える\\
\colorbox{mistyrose}{$a^2+b^2$} &= (a+b)^2-2ab
\end{align*}

a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)

【作り方】

※数学２の公式です。簡単なので覚えてもいいかもしれません。

\begin{align*}
\color{red}\scriptsize\Darr Start & \color{red}\scriptsize 　　\Rightarrow 展開\\
(a+b)^3 &= \colorbox{mistyrose}{$a^3$}+3a^2b+3ab^2\colorbox{mistyrose}{$+b^3$}\\
& \color{red}\scriptsize 　　　　\swarrow 3a^2b+3ab^2 を移項\\
(a+b)^3-3a^2b-3ab^2 &= \colorbox{mistyrose}{$a^3+b^3$}\\
\color{red}\scriptsize 共通因数 -3ab をくくり出す \Darr 　 \\
(a+b)^3-3ab(a+b) &= \colorbox{mistyrose}{$a^3+b^3$}\\
\color{red}\scriptsize 左右を & \color{red}\scriptsize 入れ替える\\
\colorbox{mistyrose}{$a^3+b^3$} &= (a+b)^3-3ab(a+b)
\end{align*}

文字を入れ替えると元の式の -1 倍になる式を 交代式 といいます。例えば下の式は，\textcolor{red}{x \Rightarrow y}，\textcolor{blue}{y \Rightarrow x} と入れ替えると元の式の -1 倍になっています。

\begin{align*}
\textcolor{red}{x}\ -\ \textcolor{blue}{y} &= -(\textcolor{red}{y}\ -\ \textcolor{blue}{x})\\
\\
\textcolor{red}{x^2}\ -\ \textcolor{blue}{y^2} &= -(\textcolor{red}{y^2}\ -\ \textcolor{blue}{x^2})\\
\\
\textcolor{red}{x^2}\textcolor{blue}{y}\ -\ \textcolor{red}{x}\textcolor{blue}{y^2} &= -(\textcolor{red}{y^2}\textcolor{blue}{x}\ -\ \textcolor{red}{y}\textcolor{blue}{x^2})
\end{align*}

したがって，これらは 交代式 です。

a-b=-(b-a)

だから対称式ではなく交代式です。対称式だったら基本対称式で表すことができたのに・・・あきらめることはありません。そんなときは２乗してみましょう。

(a-b)^2 = (b-a)^2

すると対称式になりました！　ということは基本対称式で表せるはずです。

\begin{align*}
\color{red}\scriptsize \Darr Start & \color{red}\scriptsize 　　\Rightarrow 展開\\
(a-b)^2 &= \colorbox{lightcyan}{$a^2$}-2ab\colorbox{lightcyan}{$+b^2$} \color{red}\scriptsize ・・・対称式！\\
&= \colorbox{lightcyan}{$a^2+b^2$}-2ab\\
&= \colorbox{lightcyan}{$(a+b)^2-2ab$}-2ab\\
&= (a+b)^2-4ab
\end{align*}

ということで基本対称式で表せることが分かりました。ただし，最初に２乗しているので注意が必要です。

【作り方】

\begin{align*}
\color{red}\scriptsize\Darr Start & \color{red}\scriptsize 　　\Rightarrow 展開\\
(a+b)^2 &= \colorbox{mistyrose}{$a^2$}+2ab\colorbox{mistyrose}{$+b^2$}\\
& \color{red}\scriptsize 　　　　\swarrow 2ab を移項\\
(a+b)^2-2ab &= \colorbox{mistyrose}{$a^2+b^2$}\\
\color{red}\scriptsize 左右を & \color{red}\scriptsize 入れ替える\\
\colorbox{mistyrose}{$a^2+b^2$} &= (a+b)^2-2ab
\end{align*}

練習問題にチャレンジ♪

さっそく練習問題にチャレンジしましょう。

a=\dfrac{2}{2+\sqrt{6}}，b=\dfrac{2}{2-\sqrt{6}} のとき，次の値を求めなさい。

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【解答】

\def\SLU{2}
\def\SLD{2+\sqrt{6}}
\def\SRU{2}
\def\SRD{2-\sqrt{6}}
\def\SLURD{4-2\sqrt{6}}
\def\SRULD{4+2\sqrt{6}}
\def\SLDRD{4-6}
\def\SpBS{8}
\def\SpBB{-2}
\def\SpAN{-4}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{red}{◆基本対} & \colMM{red}{称式を求める}\\
a+b &= \dfrac{\colBX{bisque}{$\SLU$}}{\colBX{palegreen}{$\SLD$}} + \dfrac{\colBX{violet}{$\SRU$}}{\colBX{lightcyan}{$\SRD$}}\\
\\
&= \dfrac{\colBX{bisque}{$\SLU$}(\colBX{lightcyan}{$\SRD$})+\colBX{violet}{$\SRU$}(\colBX{palegreen}{$\SLD$})}{(\colBX{palegreen}{$\SLD$})(\colBX{lightcyan}{$\SRD$})}\\
\\
&= \dfrac{(\SLURD)+(\SRULD)}{\SLDRD}\\
\\
&= \dfrac{\SpBS}{\SpBB} = \colFR{red}{$\SpAN$}\\
\end{align*}

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【解答】

\def\SLU{2}
\def\SLD{2+\sqrt{6}}
\def\SRU{2}
\def\SRD{2-\sqrt{6}}
\def\SLURU{4}
\def\SLDRD{4-6}
\def\SpBS{8}
\def\SpBB{-2}
\def\SpAN{-4}
\def\SmBS{4}
\def\SmBB{-2}
\def\SmAN{-2}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{red}{◆基本対} & \colMM{red}{称式を求める}\\
ab &= \dfrac{\colBX{bisque}{$\SLU$}}{\colBX{palegreen}{$\SLD$}} \times \dfrac{\colBX{violet}{$\SRU$}}{\colBX{lightcyan}{$\SRD$}}\\
\\
&= \dfrac{\colBX{bisque}{$\SLU$} \times\colBX{violet}{$\SRU$}}{(\colBX{palegreen}{$\SLD$})(\colBX{lightcyan}{$\SRD$})}\\
\\
&= \dfrac{\SLURU}{\SLDRD} = \dfrac{\SmBS}{\SmBB} = \colFR{lightgreen}{$\SmAN$}\\
\\
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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【解答】

\def\leftwkakko{(}
\def\wa{-4}
\def\rightwkakko{)}
\def\leftskakko{(}
\def\seki{-2}
\def\rightskakko{)}
\def\keisan{16+4}
\def\kotae{20}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
a^2 + b^2 &= (a+b)^2-2ab\\
&=\leftwkakko\wa\rightwkakko^2-2 \cdot \leftskakko\seki\rightskakko\\
&= \keisan\\
&= \kotae
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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【解答】

\def\leftwkakko{(}
\def\wa{-4}
\def\rightwkakko{)}
\def\leftskakko{(}
\def\seki{-2}
\def\rightskakko{)}
\def\keisan{16+6}
\def\kotae{22}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
a^2 -ab + b^2 &= a^2+b^2-ab\\
&= (a+b)^2-2ab-ab\\
&= (a+b)^2-3ab\\
&=\leftwkakko\wa\rightwkakko^2-3 \cdot \leftskakko\seki\rightskakko\\
&= \keisan\\
&= \kotae
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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x=\dfrac{3-\sqrt{5}}{\sqrt{5}-2}，x=\dfrac{3+\sqrt{5}}{\sqrt{5}+2} のとき，

x^2+y^2 の値を求めなさい。

【解答】

\def\SLU{3-\sqrt{5}}
\def\SLD{\sqrt{5}-2}
\def\SRU{3+\sqrt{5}}
\def\SRD{\sqrt{5}+2}
\def\SLURD{3\sqrt{5}+6-5-2\sqrt{5}}
\def\SRULD{3\sqrt{5}-6+5-2\sqrt{5}}
\def\SLURU{9-5}
\def\SLDRD{5-4}
\def\SpBS{2\sqrt{5}}
\def\SpBB{1}
\def\SpAN{2\sqrt{5}}
\def\SmBS{4}
\def\SmBB{1}
\def\SmAN{4}
\def\SlAN{20-4=16}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{red}{◆基本対} & \colMM{red}{称式を求める}\\
x+y &= \dfrac{\colBX{bisque}{$\SLU$}}{\colBX{palegreen}{$\SLD$}} + \dfrac{\colBX{violet}{$\SRU$}}{\colBX{lightcyan}{$\SRD$}}\\
\\
&= \dfrac{(\colBX{bisque}{$\SLU$})(\colBX{lightcyan}{$\SRD$})+(\colBX{violet}{$\SRU$})(\colBX{palegreen}{$\SLD$})}{(\colBX{palegreen}{$\SLD$})(\colBX{lightcyan}{$\SRD$})}\\
\\
&= \dfrac{(\SLURD)+(\SRULD)}{\SLDRD}\\
\\
&= \dfrac{\SpBS}{\SpBB} = \colFR{red}{$\SpAN$}\\
\\
xy &= \dfrac{\colBX{bisque}{$\SLU$}}{\colBX{palegreen}{$\SLD$}} \times \dfrac{\colBX{violet}{$\SRU$}}{\colBX{lightcyan}{$\SRD$}}\\
\\
&= \dfrac{(\colBX{bisque}{$\SLU$})(\colBX{violet}{$\SRU$})}{(\colBX{palegreen}{$\SLD$})(\colBX{lightcyan}{$\SRD$})}\\
\\
&= \dfrac{\SLURU}{\SLDRD} = \dfrac{\SmBS}{\SmBB} = \colFR{lightgreen}{$\SmAN$}\\
\\
\colMM{red}{◆基本対} & \colMM{red}{称式を利用}\\
x^2+y^2 &= (x+y)^2-2xy\\
\\
&= (\colFR{red}{$\SpAN$})^2-2 \cdot \colFR{lightgreen}{$\SmAN$}\\
\\
&= \SlAN
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

x=\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{2}，y=\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2} のとき，次の式の値を求めよ。

x+y は（２次の）基本対称式！

【解答】

\def\lBunsi{\sqrt{3}+\sqrt{5}}
\def\rBunsi{\sqrt{3}-\sqrt{5}}
\def\lBunbo{2}
\def\rBunbo{2}
\begin{align*}
x+y &= \dfrac{\colorbox{mistyrose}{$\lBunsi$}}{\colorbox{lightcyan}{$\lBunbo$}} + \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$\rBunsi$}}{\colorbox{mistyrose}{$\rBunbo$}}\\
\\
& \color{red}\scriptsize 　　　　　左上 \times 右下　　＋　　　左下 \times 右上\\
&= \dfrac{\colorbox{mistyrose}{$(\lBunsi)$} \cdot \colorbox{mistyrose}{$\rBunbo$} + \colorbox{lightcyan}{$2$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$(\sqrt{3}-\sqrt{5})$}}{\colorbox{lightcyan}{$\lBunbo$} \times \colorbox{mistyrose}{$\rBunbo$}}\\
& \color{red}\scriptsize 　　　　　　　　　\Uarr 分母 \times 分母 \Uarr\\
\\
%ここから手作業
&= \dfrac{2\sqrt{3}+2\sqrt{5}+2\sqrt{3}-2\sqrt{5}}{4}\\
\\
&= \dfrac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}
\end{align*}
xy は（２次の）基本対称式！

【解答】

\def\lBunsi{\sqrt{3}+\sqrt{5}}
\def\rBunsi{\sqrt{3}-\sqrt{5}}
\def\lBunbo{2}
\def\rBunbo{2}
\begin{align*}
xy &= \dfrac{\colorbox{mistyrose}{$\lBunsi$}}{\colorbox{lightcyan}{$\lBunbo$}} \times \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$\rBunsi$}}{\colorbox{mistyrose}{$\rBunbo$}}\\
\\
&= \dfrac{\colorbox{mistyrose}{$(\lBunsi)$}\colorbox{lightcyan}{$(\sqrt{3}-\sqrt{5})$}}{\colorbox{lightcyan}{$\lBunbo$} \times \colorbox{mistyrose}{$\rBunbo$}}\\
\\
%ここから手作業
&= \dfrac{\sqrt{3}^2-\sqrt{5}^2}{4}\\
\\
&= \dfrac{3-5}{4} = \dfrac{-2}{4} = -\dfrac{1}{2}
\end{align*}
\textcolor{red}{x^2}+\textcolor{blue}{y^2} と

\textcolor{red}{y^2}+\textcolor{blue}{x^2} は同じ ⇒ 対称式！

すべての対称式は基本対称式で表せる！

x^2+y^2= (x+y)^2-2xy

【解答】

\def\XpY{\sqrt{3}}
\def\XY{\left(-\dfrac12\right)}
\begin{align*}
x^2+y^2 &= (x+y)^2-2xy\\
&= \XpY^2-2 \cdot \XY\\
%ここから手作業
&= 3+1\\
&= 4
\end{align*}

\textcolor{red}{x^3}\textcolor{blue}{y}+\textcolor{red}{x}\textcolor{blue}{y^3} と

\textcolor{red}{y^3}\textcolor{blue}{x}+\textcolor{red}{y}\textcolor{blue}{x^3} は同じ ⇒ 対称式！

すべての対称式は基本対称式で表せる！

共通因数があるから因数分解しよう！

【解答】x^2+y^2=16 を利用する

※計算は楽ですが，x^2+y^2 を計算ミスすると一緒に間違えます。 

\def\XpY{\sqrt{3}}
\def\XY{\left(-\dfrac12\right)}
\begin{align*}
x^3y+xy^3 &= xy(x^2+y^2)\\
\\
&= xy\left\{ (x+y)^2-2xy\right\}\\
\\
&= \XY\left\{\XpY^2-2\cdot \XY\right\}\\
\\
%ここから手作業
&= -\dfrac12(3+1)\\
\\
&= -\dfrac12 \times 4 = -2
\end{align*}

【別解】 x^2+y^2=4 を利用しない

※計算は面倒ですが，x^2+y^2 を計算ミスしていても影響しません。

\def\XpY{\sqrt{3}}
\def\XY{\left(-\dfrac12\right)}
\begin{align*}
x^3y+xy^3 &= xy(x^2+y^2)\\
\\
&= xy\left\{ (x+y)^2-2xy\right\}\\
\\
&= \XY\left\{\XpY^2-2\cdot \XY\right\}\\
\\
%ここから手作業
&= -\dfrac12(3+1)\\
\\
&= -\dfrac12 \times 4 = -2
\end{align*}

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\bm x=\dfrac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}，y=\dfrac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} のとき，

x^2+y^2 の値を求めなさい。

【解答】

\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{red}{基本対称式} & \colMM{red}{を求める}\\
x+y &= \dfrac{\colBX{bisque}{$2$}}{\colBX{palegreen}{$\sqrt{5}-\sqrt{3}$}} + \dfrac{\colBX{violet}{$2$}}{\colBX{lightcyan}{$\sqrt{5}+\sqrt{3}$}}\\
\\
&= \dfrac{\colBX{bisque}{$2$}(\colBX{lightcyan}{$\sqrt{5}+\sqrt{3}$})+\colBX{violet}{$2$}(\colBX{palegreen}{$\sqrt{5}-\sqrt{3}$})}{(\colBX{palegreen}{$\sqrt{5}-\sqrt{3}$})(\colBX{lightcyan}{$\sqrt{5}+\sqrt{3}$})}\\
\\
&= \dfrac{2\sqrt{5}+2\sqrt{3}+2\sqrt{5}-2\sqrt{3}}{\sqrt{5}^2-\sqrt{3}^2}\\
\\
&= \dfrac{4\sqrt{5}}{5-3}
= \dfrac{4\sqrt{5}}{2} = \colFR{red}{$2\sqrt{5}$}\\
\\
xy &= \dfrac{\colBX{bisque}{$2$}}{\colBX{palegreen}{$\sqrt{5}-\sqrt{3}$}} \times \dfrac{\colBX{violet}{$2$}}{\colBX{lightcyan}{$\sqrt{5}+\sqrt{3}$}}\\
\\
&= \dfrac{\colBX{bisque}{$2$} \times \colBX{violet}{$2$}}{(\colBX{palegreen}{$\sqrt{5}-\sqrt{3}$})(\colBX{lightcyan}{$\sqrt{5}+\sqrt{3}$})}\\
\\
&= \dfrac{4}{\sqrt{5}^2-\sqrt{3}^2}\\
\\
&= \dfrac{4}{5-3} = \dfrac{4}{2} = \colFR{lightgreen}{$2$}\\
\\
\colMM{red}{基本対称式} & \colMM{red}{を利用}\\
x^2+y^2 &= (x+y)^2-2xy\\
\\
&= (\colFR{red}{$2\sqrt{5}$})^2-2 \cdot \colFR{lightgreen}{$2$}\\
\\
&= 2^2 \cdot \sqrt{5}^2-4\\
\\
&= 4 \cdot 5 - 4 = 20-4 = 16
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

x=\sqrt{2}+\sqrt{6}，y=\sqrt{2}-\sqrt{6} のとき，次の式の値を求めよ。

x+y は（２次の）基本対称式！

【解答】

\begin{align*}
x+y &= (\sqrt{2}+\sqrt{6})+(\sqrt{2}-\sqrt{6})\\
&= 2\sqrt{2}
\end{align*}
xy は（２次の）基本対称式！

【解答】

\begin{align*}
xy &= (\sqrt{2}+\sqrt{6})(\sqrt{2}-\sqrt{6})\\
&= \sqrt{2}^2-\sqrt{6}^2\\
&= 2-6 = -4
\end{align*}
\textcolor{red}{x^2}+\textcolor{blue}{y^2} と

\textcolor{red}{y^2}+\textcolor{blue}{x^2} は同じ ⇒ 対称式！

すべての対称式は基本対称式で表せる！

x^2+y^2 = (x+y)^2-2xy

【解答】

\def\XpY{(2\sqrt{2})}
\def\XY{\left(-4\right)}
\begin{align*}
x^2+y^2 &= (x+y)^2-2xy\\
&= \XpY^2-2 \cdot \XY\\
%ここから手作業
&= 4 \cdot 2+8\\
&= 8+8 = 16
\end{align*}

\textcolor{red}{x^3}\textcolor{blue}{y}+\textcolor{red}{x}\textcolor{blue}{y^3} と

\textcolor{red}{y^3}\textcolor{blue}{x}+\textcolor{red}{y}\textcolor{blue}{x^3} は同じ ⇒ 対称式！

すべての対称式は基本対称式で表せる！

共通因数があるから因数分解しよう！

【解答】x^2+y^2=16 を利用する

※計算は楽ですが，x^2+y^2 を計算ミスすると一緒に間違えます。 

\def\XpY{2\sqrt{2}}
\def\XY{-4}
\begin{align*}
x^3y+xy^3 &= xy(x^2+y^2)\\
& \color{orange}\scriptsize 　　　　　 \Darr 上の結果16を利用\\
&= \XY \cdot 16\\
\\
&= -64
\end{align*}

【別解】 x^2+y^2=16 を利用しない

※計算は面倒ですが，x^2+y^2 を計算ミスしていても影響しません。

\def\XpY{2\sqrt{2}}
\def\XY{\left(-4\right)}
\begin{align*}
& \color{orange}\scriptsize 　　上の結果 \Darr 16も利用可\\
x^3y+xy^3 &= xy(x^2+y^2)\\
& \color{green}\scriptsize \Darr 計算ミスが怖いので\\
&= xy\left\{ (x+y)^2-2xy\right\}\\
\\
&= \XY\left\{(\XpY)^2-2\cdot \XY\right\}\\
\\
%ここから手作業
&= -4(4 \cdot 2+8)\\
\\
&= -4(8+8)\\
\\
&= -4 \cdot 16 = -64
\end{align*}

\textcolor{red}{x^3}+\textcolor{blue}{y^3} と

\textcolor{red}{y^3}+\textcolor{blue}{x^3} は同じ ⇒ 対称式！

すべての対称式は基本対称式で表せる！

x^3+y^3 = (x+y)^3-3xy(x+y)

【解答】

\def\XpY{2\sqrt{2}}
\def\XY{\left(-4\right)}
\begin{align*}
x^3+y^3 &= (x+y)^3-3xy(x+y)\\
\\
&= (\XpY)^3-3 \cdot \XY \cdot (\XpY)\\
\\
%ここから手作業
&= 8 \cdot 2\sqrt{2}+24\sqrt{2}\\
\\
&= 16\sqrt{2}+24\sqrt{2}\\
\\
&= 40\sqrt{2}
\end{align*}

a=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1}，y=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}-1} のとき，次の式の値を求めよ。

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a+b は（２次の）基本対称式！

【解答】

\def\lBunsi{\sqrt{3}}
\def\rBunsi{\sqrt{3}}
\def\lBunbo{\sqrt{2}+1}
\def\rBunbo{\sqrt{2}-1}
\begin{align*}
a+b &= \dfrac{\colorbox{mistyrose}{$\lBunsi$}}{\colorbox{lightcyan}{$\lBunbo$}} + \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$\rBunsi$}}{\colorbox{mistyrose}{$\rBunbo$}}\\
\\
& \color{red}\scriptsize 　　　　　左上 \times 右下　　＋　　　左下 \times 右上\\
&= \dfrac{\colorbox{mistyrose}{$\lBunsi$} \cdot \colorbox{mistyrose}{$(\rBunbo)$} + \colorbox{lightcyan}{$(\lBunbo)$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$\rBunsi$}}{\colorbox{lightcyan}{$(\lBunbo)$} \times \colorbox{mistyrose}{$(\rBunbo)$}}\\
& \color{red}\scriptsize 　　　　　　　　　\Uarr 分母 \times 分母 \Uarr\\
\\
%ここから手作業
&= \dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}^2-1^1}\\
\\
&= \dfrac{2\sqrt{6}}{2-1} = 2\sqrt{6}
\end{align*}

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ab は（２次の）基本対称式！

【解答】

\def\lBunsi{\sqrt{3}}
\def\rBunsi{\sqrt{3}}
\def\lBunbo{\sqrt{2}+1}
\def\rBunbo{\sqrt{2}-1}
\begin{align*}
ab &= \dfrac{\colorbox{mistyrose}{$\lBunsi$}}{\colorbox{lightcyan}{$\lBunbo$}} \times \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$\rBunsi$}}{\colorbox{mistyrose}{$\rBunbo$}}\\
\\
&= \dfrac{\colorbox{mistyrose}{$\lBunsi$} \times \colorbox{lightcyan}{$\rBunsi$}}{\colorbox{lightcyan}{$(\lBunbo$)} \colorbox{mistyrose}{$(\rBunbo)$}}\\
\\
%ここから手作業
&= \dfrac{3}{\sqrt{2}^2-1^1}\\
\\
&= \dfrac{3}{2-1} = 3\end{align*}

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a^2+b^2 と b^2+a^2 は同じ ⇒ 対称式！

すべての対称式は基本対称式で表せる！

a^2+b^2 = (a+b)^2-2ab

【解答】

\def\XpY{2\sqrt{6}}
\def\XY{3}
\begin{align*}
a^2+b^2 &= (a+b)^2-2ab\\
&= (\XpY)^2-2 \cdot \XY\\
%ここから手作業
&= 4 \cdot 6 -6 \color{orange}=6(4-1)\\
&= 24-6 = 18
\end{align*}

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a^2+b^2 と b^2+a^2 は同じ ⇒ 対称式！

すべての対称式は基本対称式で表せる！

a^2+b^2 = (a+b)^2-2ab

【解答】

\def\XpY{2\sqrt{6}}
\def\XY{3}
\begin{align*}
a^2-ab+b^2 &= (a+b)^2-2ab-ab\\
&= (a+b)^2-3ab\\
&= (\XpY)^2-3 \cdot \XY\\
%ここから手作業
&= 4 \cdot 6 -9\\
&= 24-9 = 15
\end{align*}

a=\dfrac{1}{3-2\sqrt{2}}，y=\dfrac{1}{3+2\sqrt{2}} のとき，次の式の値を求めよ。

a+b は（２次の）基本対称式！

【解答】

\def\lBunsi{1}
\def\rBunsi{1}
\def\lBunbo{3-2\sqrt{2}}
\def\rBunbo{3+2\sqrt{2}}
\begin{align*}
a+b &= \dfrac{\colorbox{mistyrose}{$\lBunsi$}}{\colorbox{lightcyan}{$\lBunbo$}} + \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$\rBunsi$}}{\colorbox{mistyrose}{$\rBunbo$}}\\
\\
& \color{red}\scriptsize 　　　　　左上 \times 右下　　＋　　　左下 \times 右上\\
&= \dfrac{\colorbox{mistyrose}{$\lBunsi$} \cdot \colorbox{mistyrose}{$(\rBunbo)$} + \colorbox{lightcyan}{$(\lBunbo)$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$\rBunsi$}}{\colorbox{lightcyan}{$(\lBunbo)$} \times \colorbox{mistyrose}{$(\rBunbo)$}}\\
& \color{red}\scriptsize 　　　　　　　　　\Uarr 分母 \times 分母 \Uarr\\
\\
%ここから手作業
&= \dfrac{3+2\sqrt{2}+3-2\sqrt{2}}{3^2-(2\sqrt{2})^2}\\
\\
&= \dfrac{6}{9-4 \cdot 2}\\
\\
&= \dfrac{6}{9-8} = 6
\end{align*}
ab は（２次の）基本対称式！

【解答】

\def\lBunsi{1}
\def\rBunsi{1}
\def\lBunbo{3-2\sqrt{2}}
\def\rBunbo{3+2\sqrt{2}}
\begin{align*}
ab &= \dfrac{\colorbox{mistyrose}{$\lBunsi$}}{\colorbox{lightcyan}{$\lBunbo$}} \times \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$\rBunsi$}}{\colorbox{mistyrose}{$\rBunbo$}}\\
\\
&= \dfrac{\colorbox{mistyrose}{$\lBunsi$} \times \colorbox{lightcyan}{$\rBunsi$}}{\colorbox{lightcyan}{$(\lBunbo$)} \colorbox{mistyrose}{$(\rBunbo)$}}\\
\\
%ここから手作業
&= \dfrac{1}{3^2-(2\sqrt{2})^2}\\
\\
&= \dfrac{1}{9-4 \cdot 2}\\
\\
&= \dfrac{1}{9-8} = 1
\end{align*}
a^2+b^2 と b^2+a^2 は同じ ⇒ 対称式！

すべての対称式は基本対称式で表せる！

a^2+b^2 = (a+b)^2-2ab

【解答】

\def\XpY{6}
\def\XY{1}
\begin{align*}
a^2+b^2 &= (a+b)^2-2ab\\
&= \XpY^2-2 \cdot \XY\\
%ここから手作業
&= 36-2 = 34
\end{align*}

a=\dfrac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}，y=\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} のとき，次の式の値を求めよ。

xy は（２次の）基本対称式！

【解答】

\def\lBunsi{1}
\def\rBunsi{1}
\def\lBunbo{\sqrt{3}-\sqrt{2}}
\def\rBunbo{\sqrt{3}+\sqrt{2}}
\begin{align*}
xy &= \dfrac{\colorbox{mistyrose}{$\lBunsi$}}{\colorbox{lightcyan}{$\lBunbo$}} \times \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$\rBunsi$}}{\colorbox{mistyrose}{$\rBunbo$}}\\
\\
&= \dfrac{\colorbox{mistyrose}{$\lBunsi$} \times \colorbox{lightcyan}{$\rBunsi$}}{\colorbox{lightcyan}{$(\lBunbo$)} \colorbox{mistyrose}{$(\rBunbo)$}}\\
\\
%ここから手作業
&= \dfrac{1}{\sqrt{3}^2-\sqrt{2}^2}\\
\\
&= \dfrac{1}{3-2} = 1
\end{align*}
x+y は（２次の）基本対称式！

【解答】

\def\lBunsi{1}
\def\rBunsi{1}
\def\lBunbo{\sqrt{3}-\sqrt{2}}
\def\rBunbo{\sqrt{3}+\sqrt{2}}
\begin{align*}
x+y &= \dfrac{\colorbox{mistyrose}{$\lBunsi$}}{\colorbox{lightcyan}{$\lBunbo$}} + \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$\rBunsi$}}{\colorbox{mistyrose}{$\rBunbo$}}\\
\\
& \color{red}\scriptsize 　　　　　左上 \times 右下　　＋　　　左下 \times 右上\\
&= \dfrac{\colorbox{mistyrose}{$\lBunsi$} \cdot \colorbox{mistyrose}{$(\rBunbo)$} + \colorbox{lightcyan}{$(\lBunbo)$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$\rBunsi$}}{\colorbox{lightcyan}{$(\lBunbo)$} \times \colorbox{mistyrose}{$(\rBunbo)$}}\\
& \color{red}\scriptsize 　　　　　　　　　\Uarr 分母 \times 分母 \Uarr\\
\\
%ここから手作業
&= \dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3^2-(2\sqrt{2})^2}\\
\\
&= \dfrac{2\sqrt{3}}{9-4 \cdot 2}\\
\\
&= \dfrac{2\sqrt{3}}{9-8} = 2\sqrt{3}
\end{align*}
x^2+y^2 と y^2+x^2 は同じ ⇒ 対称式！

すべての対称式は基本対称式で表せる！

x^2+y^2 = (x+y)^2-2xy

【解答】

\def\XpY{2\sqrt{3}}
\def\XY{1}
\begin{align*}
x^2+y^2 &= (x+y)^2-2xy\\
&= (\XpY)^2-2 \cdot \XY\\
%ここから手作業
&= 4 \cdot 3 -2\\
&= 12-2 = 10
\end{align*}

x=\dfrac{4}{\sqrt{3}+1}，y=\dfrac{2}{\sqrt{3}-1} のとき，次の式の値を求めよ。

xy は（２次の）基本対称式！

【解答】

\def\lBunsi{4}
\def\rBunsi{2}
\def\lBunbo{\sqrt{3}+1}
\def\rBunbo{\sqrt{3}-1}
\begin{align*}
xy &= \dfrac{\colorbox{mistyrose}{$\lBunsi$}}{\colorbox{lightcyan}{$\lBunbo$}} \times \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$\rBunsi$}}{\colorbox{mistyrose}{$\rBunbo$}}\\
\\
&= \dfrac{\colorbox{mistyrose}{$\lBunsi$} \times \colorbox{lightcyan}{$\rBunsi$}}{\colorbox{lightcyan}{$(\lBunbo$)} \colorbox{mistyrose}{$(\rBunbo)$}}\\
\\
%ここから手作業
&= \dfrac{8}{\sqrt{3}^2-1^2}\\
\\
&= \dfrac{8}{3-1}\\
\\
&= \dfrac{8}{2} = 4
\end{align*}
x+y は（２次の）基本対称式！

【解答】

\def\lBunsi{4}
\def\rBunsi{2}
\def\lBunbo{\sqrt{3}+1}
\def\rBunbo{\sqrt{3}-1}
\begin{align*}
x+y &= \dfrac{\colorbox{mistyrose}{$\lBunsi$}}{\colorbox{lightcyan}{$\lBunbo$}} + \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$\rBunsi$}}{\colorbox{mistyrose}{$\rBunbo$}}\\
\\
& \color{red}\scriptsize 　　　　　左上 \times 右下　　＋　　　左下 \times 右上\\
&= \dfrac{\colorbox{mistyrose}{$\lBunsi$} \cdot \colorbox{mistyrose}{$(\rBunbo)$} + \colorbox{lightcyan}{$(\lBunbo)$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$\rBunsi$}}{\colorbox{lightcyan}{$(\lBunbo)$} \times \colorbox{mistyrose}{$(\rBunbo)$}}\\
& \color{red}\scriptsize 　　　　　　　　　\Uarr 分母 \times 分母 \Uarr\\
\\
%ここから手作業
&= \dfrac{4\sqrt{3}-4+2\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}^2-1^2}\\
\\
&= \dfrac{6\sqrt{3}-2}{3-1}\\
\\
&= \dfrac{2(3\sqrt{3}-1)}{2} = 3\sqrt{3}-1
\end{align*}
x^2+y^2 と y^2+x^2 は同じ ⇒ 対称式！

すべての対称式は基本対称式で表せる！

x^2+y^2 = (x+y)^2-2xy

【解答】

\def\XpY{3\sqrt{3}-1}
\def\XY{4}
\begin{align*}
x^2+y^2 &= (x+y)^2-2xy\\
&= (\XpY)^2-2 \cdot \XY\\
%ここから手作業
&= 9 \cdot 3 -2 \cdot 3\sqrt{3} \cdot 1 + 1-8\\
&= 27-6\sqrt{3}-7\\
&= 20-6\sqrt{3}
\end{align*}

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x=\dfrac{3-\sqrt{5}}{\sqrt{5}-2}，y=\dfrac{3+\sqrt{5}}{\sqrt{5}-2} のとき，次の式の値を求めよ。

  • 20211222…初版公開。大問６。小問２１。
    冬休みに入ったので，冬期講習の模試監督の合間に気合を入れて作ってみました。対称式って大好きなんですよね。数学の美しさを見事に表していると思いませんか。この世界にあるすべての対称式が、たった２つの式で表せる。さらに文字が３つになっても同じことが成り立つ。これを無限に繰り返せる。夢が膨らみます。

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