絶対値

2022年6月24日

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ポイントを確認！

気になるところをタップして確認しましょう。

【定義１】数直線・原点・座標

直線上に基準となる点 ${\rm O}$ をとって数 $0$ を対応させ，その点の両側に目もりをつけた直線を 数直線 といいます。また，基準となる点 ${\rm O}$ を原点といいます。

数直線上に１点をとれば，必ず１つの実数が対応します。逆に，１つの実数を考えれば，必ず数直線上の１点と対応します。つまり数直線上の点と実数は１対１で対応しています。さりげなく大事です。心に留めておきましょう。

数直線上で，点 ${\rm P}$ に実数 $a$ が対応しているとき， $a$ を点 ${\rm P}$ の座標といい，座標が $a$ である点 ${\rm P}$ を ${\rm P}(a)$ で表すことにします。

【定義１】絶対値

数直線上の原点 ${\rm O}(0)$ と点 ${\rm P}(a)$ の間の距離を， $a$ の絶対値といい，記号で $|\,a\,|$ と表します。

例えば，数直線上に点 ${\rm P}(2)$ ， ${\rm Q}(-3)$ をとって考えてみましょう。

原点 ${\rm O}(0)$ と点 ${\rm P}(2)$ の間の距離を $2$ の絶対値といい，記号で $|\,2\,|$ と表します。図から $|\,2\,|=2$ であることが分かります。

原点 ${\rm O}(0)$ と点 ${\rm Q}(-3)$ の間の距離を $-3$ の絶対値といい，記号で $|\,-3\,|$ と表します。図から $|\,-3\,|=3$ であることが分かります。

原点 ${\rm O}(0)$ と原点 ${\rm O}(0)$ の間の距離を $0$ の絶対値といい，記号で $|\,0\,|$ と表します。図から $|\,0\,|=0$ であることが分かります・・・よね。

【公式１】

a \geqq 0

のとき　

|\,a\,|=a

$a$ が正の数または $0$ のとき

\begin{align*} \color{red}\footnotesize\bf 正の数 & \color{orange}\footnotesize\bf 　　　　　 \Darr 中身が正\\ a \geqq 0 & 　\Longleftrightarrow　 |\,a\,| = a\\ \color{red}\footnotesize\bf 0　 & \color{orange}\footnotesize\bf 　　　　　　　　 \Uarr 何も起きない！ \end{align*}

【公式１】

a < 0

のとき　

|\,a\,|=-a

$a$ が負の数のとき

\begin{align*} \color{blue}\footnotesize\bf 負の数 & \color{orange}\footnotesize\bf 　　　　　 \Darr 中身が負\\ a < 0 & 　 \Longleftrightarrow 　 |\,a\,| = a \ \colorbox{bisque}{$\times (-1)$}\\ & \color{orange}\footnotesize\bf 　　　　　　　　　 \Uarr \times マイナス１ \end{align*}

【公式１】

\sqrt{a^2}=|\,a\,|

$a$ が負の数のとき

\begin{align*} \color{blue}\footnotesize\bf 負の数 & \color{orange}\footnotesize\bf 　　　　　 \Darr 中身が負\\ a < 0 & 　 \Longleftrightarrow 　 |\,a\,| = a \ \colorbox{bisque}{$\times (-1)$}\\ & \color{orange}\footnotesize\bf 　　　　　　　　　 \Uarr \times マイナス１ \end{align*}

練習問題にチャレンジ！

何度も解いて体で覚えましょう！

次の値を求めよ。

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|\ 2\ |

【解答】

\begin{align*} \color{orange}\scriptsize 中身が正 \Darr\ \ \ \\ |\ 2\ | &= 2\\ & \color{orange}\scriptsize 　\ \ \Uarr 何も起きない！ \end{align*}

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|\ -3\ |

【解答】

\begin{align*} \color{orange}\scriptsize 中身が負 \Darr 　 & \color{orange}\scriptsize 　　　\Rightarrow マイナス１をかける \\ |\ -3\ | &= -3\ \colorbox{bisque}{$\times (-1)$}\\ &= 3 \textcolor{red}{\scriptsize 　\Leftarrow マイナスが取れた！}\\ &　\textcolor{red}{\scriptsize 　　　　・・・ように見える} \end{align*}

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|\ 3\ |

【解答】

\begin{align*} \color{orange}\scriptsize 中身が正 \Darr\ \ \ \\ |\ 3\ | &= 3\\ & \color{orange}\scriptsize 　\ \ \Uarr 何も起きない！ \end{align*}

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|\ -4\ |

【解答】

\begin{align*} \color{orange}\scriptsize 中身が負 \Darr 　 & \color{orange}\scriptsize 　　　\Rightarrow マイナス１をかける \\ |\ -4\ | &= -4\ \colorbox{bisque}{$\times (-1)$}\\ &= 4 \textcolor{red}{\scriptsize 　\Leftarrow マイナスが取れた！}\\ &　\textcolor{red}{\scriptsize 　　　　・・・ように見える} \end{align*}

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\left|\ \dfrac23\ \right|

【解答】

\begin{align*} \color{orange}\scriptsize 中身が正 \Darr\ \ \ \\ \left|\ \dfrac23\ \right| &= \dfrac23\\ & \color{orange}\scriptsize 　\ \ \Uarr 何も起きない！ \end{align*}

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\left|\ 0 \right|

【解答】

\begin{align*} \color{orange}\scriptsize 中身が０ \Darr\ \ \ \\ \left|\ 0\ \right| &= 0\\ & \color{orange}\scriptsize 　\ \ \Uarr 何も起きない！ \end{align*}

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\left|\ 2.3\ \right|

【解答】

\begin{align*} \color{orange}\scriptsize 中身が正 \Darr\ \ \ \\ \left|\ 2.3\ \right| &=2.3\\ & \color{orange}\scriptsize 　\ \ \Uarr 何も起きない！ \end{align*}

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|\ -5\ |

【解答】

\begin{align*} \color{orange}\scriptsize 中身が負 \Darr 　 & \color{orange}\scriptsize 　　　\Rightarrow マイナス１をかける \\ |\ -5\ | &= -5\ \colorbox{bisque}{$\times (-1)$}\\ &= 5 \textcolor{red}{\scriptsize 　\Leftarrow マイナスが取れた！}\\ &　\textcolor{red}{\scriptsize 　　　　・・・ように見える} \end{align*}

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\left|\ 10\ \right|

【解答】

\begin{align*} \color{orange}\scriptsize 中身が正 \Darr\ \ \ \\ \left|\ 10\ \right| &=10\\ & \color{orange}\scriptsize 　\ \ \Uarr 何も起きない！ \end{align*}

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|\ -3.2\ |

【解答】

\begin{align*} \color{orange}\scriptsize 中身が負 \Darr 　 & \color{orange}\scriptsize 　　　\Rightarrow マイナス１をかける \\ |\ -3.2\ | &= -3.2\ \colorbox{bisque}{$\times (-1)$}\\ &= 3.2 \textcolor{red}{\scriptsize 　\Leftarrow マイナスが取れた！}\\ &　\textcolor{red}{\scriptsize 　　　　・・・ように見える} \end{align*}

次の値を求めよ。

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|\ 5-3\ |

【解答】

\begin{align*} \color{orange}\scriptsize中身が先 \Rightarrow\\ |\ 5-3\ | &= |\ 2\ |\color{green}\scriptsize \Leftarrow 中身が正\\ &= 2\\ & \color{green}\scriptsize 　\ \ \Uarr 何も起きない！ \end{align*}

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|\ 3-5\ |

【解答】

\begin{align*} \color{orange}\scriptsize中身が先 \Rightarrow\\ |\ 3-5\ | &= |\ -2\ |\color{green}\scriptsize \Leftarrow 中身が負\\ & \color{green}\scriptsize 　　　　\Darr マイナス１をかける \\ &= -2\ \colorbox{bisque}{$\times (-1)$}\\ \\ &= 2 \textcolor{red}{\scriptsize 　\Leftarrow マイナスが取れた！}\\ &　\textcolor{red}{\scriptsize 　　　　・・・ように見える} \end{align*}

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|\ 1-\sqrt{2}\ |

【解答】

\sqrt{2} \fallingdotseq 1.4

であるから

1-\sqrt{2} \color{orange}=1-1.4 = -0.4 \color{black}<0

\begin{align*} \color{orange}\scriptsize 中身が負 \Darr 　 & \color{orange}\scriptsize 　　　\Rightarrow マイナス１をかける \\ |\ 1-\sqrt{2}\ | &= (1-\sqrt{2})\ \colorbox{bisque}{$\times (-1)$}\\ \\ &= -1+\sqrt{2} \end{align*}

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|\ 2-3\ |

【解答】

\sqrt{2} \fallingdotseq 1.4

であるから

1-\sqrt{2} \color{orange}=1-1.4 = -0.4 \color{black}<0

\begin{align*} \color{orange}\scriptsize中身が先 \Rightarrow\\ |\ 2-3\ | &= |\ -1\ |\color{green}\scriptsize \Leftarrow 中身が負\\ & \color{green}\scriptsize 　　　　\Darr マイナス１をかける \\ &= -1\ \colorbox{bisque}{$\times (-1)$}\\ \\ &= 1 \textcolor{red}{\scriptsize 　\Leftarrow マイナスが取れた！}\\ &　\textcolor{red}{\scriptsize 　　　　・・・ように見える} \end{align*}

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|\ 1-(-3)\ |

【解答】

\begin{align*} \color{orange}\scriptsize中身が先 \Rightarrow\\ |\ 1-(-3)\ | &= |\ 1+3\ |\\ &= |\ 4\ |\color{green}\scriptsize \Leftarrow 中身が正\\ &= 4\\ & \color{green}\scriptsize 　\ \ \Uarr 何も起きない！ \end{align*}

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|\ 3-\pi\ |

【解答】

\pi \fallingdotseq 3.14

であるから

3-\pi \color{orange}=3-3.14 = -0.14 \color{black}<0

\begin{align*} \color{orange}\scriptsize 中身が負 \Darr 　 & \color{orange}\scriptsize 　　　\Rightarrow マイナス１をかける \\ |\ 3-\pi\ | &= (3-\pi)\ \colorbox{bisque}{$\times (-1)$}\\ \\ &= -3+\pi \end{align*}

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|\ \sqrt{2}-2\ |

【解答】

\sqrt{2} \fallingdotseq 1.414

であるから

\sqrt{2}-2 \color{orange}=1.414-2 = -0.586 \color{black}<0

\begin{align*} \color{orange}\scriptsize 中身が負 \Darr 　 & \color{orange}\scriptsize 　　　\Rightarrow マイナス１をかける \\ |\ \sqrt{2}-2\ | &= (\sqrt{2}-2)\ \colorbox{bisque}{$\times (-1)$}\\ \\ &= 2-\sqrt{2} \end{align*}

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|\ \sqrt{5}-3\ |

【解答】

\sqrt{5} \fallingdotseq 2.236

であるから

\sqrt{5}-3 \color{orange}=2.236-3 = -0.764 \color{black}<0

\begin{align*} \color{orange}\scriptsize 中身が負 \Darr 　 & \color{orange}\scriptsize 　　　\Rightarrow マイナス１をかける \\ |\ \sqrt{5}-3\ | &= (\sqrt{5}-3)\ \colorbox{bisque}{$\times (-1)$}\\ \\ &= 3-\sqrt{5} \end{align*}

次の値を計算しなさい。

レベルG

次の値を計算せよ。

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x=-4

のとき，

\sqrt{(x-1)^2} - |\ x-3\ |

【解答】

\def\valX{-4} \begin{align*} \color{orange}\scriptsize\sqrt{2乗}は \Rightarrow 　　　　　　 & \color{orange}\scriptsize 　　\Rightarrow 絶対値に\\ \colorbox{bisque}{$\sqrt{(x-1)^2}$} - |\ x-3\ | &= \colorbox{bisque}{$|\ x-1\ |$} - |\ x-3\ |\\ & \color{green}\scriptsize 　　　\Darr 　x=\valX\ を代入\\ &= |\ \colorbox{lightgreen}{$\valX$} -1\ | - |\ \colorbox{lightgreen}{$\valX$}-3\ |\\ & \color{purple}\scriptsize 　　　\Darr 中身が先\\ &= |\ -5\ | \colorbox{lightcyan}{$-$} |\ -7\ |\\ & \color{lightblue}\scriptsize 　\ \Darr 　\ \ \Darr中身が負\times(-1)\\ &= 5 \colorbox{lightcyan}{$-$} 7\\ \\ &=-2 \end{align*}

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x=-2

のとき，

|\ x+1\ | - \sqrt{(x-1)^2}

【解答】

\def\valX{-2} \begin{align*} \color{orange}\scriptsize\sqrt{2乗}は \Rightarrow & \color{orange}\scriptsize 　　　　　　　\Rightarrow 絶対値に\\ |\ x+1\ | - \colorbox{bisque}{$\sqrt{(x-1)^2}$} &= |\ x+1\ | - \colorbox{bisque}{$|\ x-1\ |$}\\ & \color{green}\scriptsize 　　　\Darr 　x=-2\ を代入\\ &= |\ \colorbox{lightgreen}{$\valX$} +1\ | - |\ \colorbox{lightgreen}{$\valX$}-1\ |\\ & \color{purple}\scriptsize 　　　\Darr 中身が先\\ &= |\ -1\ | \colorbox{lightcyan}{$-$} |\ -3\ |\\ & \color{lightblue}\scriptsize 　　　\Darr 中身が負\times(-1)\\ &= 1 \colorbox{lightcyan}{$-$} 3\\ \\ &=-2 \end{align*}

x=-1

のとき，

\sqrt{(x-2)^2} - |\ x-4\ |

【解答】

\def\valX{-1} \begin{align*} \color{orange}\scriptsize\sqrt{2乗}は \Rightarrow 　　　　　　 & \color{orange}\scriptsize 　　\Rightarrow 絶対値に\\ \colorbox{bisque}{$\sqrt{(x-2)^2}$} - |\ x-4\ | &= \colorbox{bisque}{$|\ x-2\ |$} - |\ x-4\ |\\ & \color{green}\scriptsize 　　　\Darr 　x=\valX\ を代入\\ &= |\ \colorbox{lightgreen}{$\valX$} -2\ | - |\ \colorbox{lightgreen}{$\valX$}-4\ |\\ & \color{purple}\scriptsize 　　　\Darr 中身が先\\ &= |\ -3\ | \colorbox{lightcyan}{$-$} |\ -5\ |\\ & \color{lightblue}\scriptsize 　　　\Darr 中身が負\times(-1)\\ &= 3 \colorbox{lightcyan}{$-$} 5\\ \\ &=-2 \end{align*}

x=-2

のとき，

\sqrt{(x-5)^2} - |\ x+1\ |

【解答】

\def\valX{-2} \begin{align*} \color{orange}\scriptsize\sqrt{2乗}は \Rightarrow 　　　　　　 & \color{orange}\scriptsize 　　\Rightarrow 絶対値に\\ \colorbox{bisque}{$\sqrt{(x-5)^2}$} - |\ x+1\ | &= \colorbox{bisque}{$|\ x-5\ |$} - |\ x+1\ |\\ & \color{green}\scriptsize 　　　\Darr 　x=\valX\ を代入\\ &= |\ \colorbox{lightgreen}{$\valX$} -5\ | - |\ \colorbox{lightgreen}{$\valX$}+1\ |\\ & \color{purple}\scriptsize 　　　\Darr 中身が先\\ &= |\ -7\ | \colorbox{lightcyan}{$-$} |\ -1\ |\\ & \color{lightblue}\scriptsize 　　　\Darr 中身が負\times(-1)\\ &= 7 \colorbox{lightcyan}{$-$} 1\\ \\ &=6 \end{align*}

x=-5

のとき，

|\ x+3\ | - \sqrt{(x-1)^2}

【解答】

\def\valX{-5} \begin{align*} \color{orange}\scriptsize\sqrt{2乗}は \Rightarrow & \color{orange}\scriptsize 　　　　　　　\Rightarrow 絶対値に\\ |\ x+3\ | - \colorbox{bisque}{$\sqrt{(x-1)^2}$} &= |\ x+3\ | - \colorbox{bisque}{$|\ x-1\ |$}\\ & \color{green}\scriptsize 　　　\Darr 　x=\valX\ を代入\\ &= |\ \colorbox{lightgreen}{$\valX$} +3\ | - |\ \colorbox{lightgreen}{$\valX$}-1\ |\\ & \color{purple}\scriptsize 　　　\Darr 中身が先\\ &= |\ -2\ | \colorbox{lightcyan}{$-$} |\ -6\ |\\ & \color{lightblue}\scriptsize 　　　\Darr 中身が負\times(-1)\\ &= 2 \colorbox{lightcyan}{$-$} 6\\ \\ &=-4 \end{align*}

編集ログ

20211226…初版公開。冬休みに入ったので久しぶりに気合を入れて作ってみました。時間ばかりかかって一向に完成しそうにないので、途中ですが公開します。

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