btakeshi
因数分解は３つのステップを繰り返していくことが大切です。最初のステップ「共通因数をくくり出す」の次に来るのが、「公式・たすきがけを利用する」です。ここでは公式の使い方を見ていきます。公式を使える場面を見分けることが大切になってきます。自分なりのパターンを身に着けましょう。
因数分解の流れ
- 共通因数をくくり出す
- 公式・たすきがけを利用する
- 次数の低い文字で整理する
どんな難しい問題も基本の流れを繰り返せば解けるはずです。
次の式を因数分解しよう。
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【解答】
\def\A{3a}
\def\AZ{9a^2}
\def\B{b}
\def\BZ{b^2}
\def\fNAB{-}
\def\NAB{6ab}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{red}{チェック①} & \colMM{red}{２乗が２つある！}\\
\AZ &= (\colBX{bisque}{$\A$})^2\\
\BZ &= (\colBX{palegreen}{$\B$})^2\\
\\
\colMM{red}{チェック②} & \colMM{red}{かけて２倍した項がある！}\\
(\colBX{bisque}{$\A$})\times(\colBX{palegreen}{$\B$}) & \times 2 = \colBX{violet}{$\NAB$}\\
\\
\colMM{red}{チェック完了！}\\
\AZ \fNAB \colBX{violet}{$\NAB$} + \BZ &= (\colBX{bisque}{$\A$}\fNAB\colBX{palegreen}{$\B$})^2\\
\colMM{red}{\searrow 符号は } & \colMM{red}{そのまま \nearrow}\\
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
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【解答】
\def\A{4x}
\def\AZ{16a^2}
\def\B{3y}
\def\BZ{9y^2}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
& \colMM{red}{ ②公式・２乗ー２乗}\\
\AZ - \BZ
&=(\colBX{bisque}{$\A$})^2-(\colBX{palegreen}{$\B$})^2\\
\\
&= (\colBX{bisque}{$\A$}+\colBX{palegreen}{$\B$})(\colBX{bisque}{$\A$}-\colBX{palegreen}{$\B$})\\
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
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【解答】
\def\A{2x}
\def\AZ{4x^2}
\def\B{3y}
\def\BZ{9y^2}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
& \colMM{red}{ ②公式・２乗ー２乗}\\
\AZ - \BZ
&=(\colBX{bisque}{$\A$})^2-(\colBX{palegreen}{$\B$})^2\\
\\
&= (\colBX{bisque}{$\A$}+\colBX{palegreen}{$\B$})(\colBX{bisque}{$\A$}-\colBX{palegreen}{$\B$})\\
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
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【解答】
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{red}{チェック①} & \colMM{red}{２乗が２つある}\colMM{blue}{➡NO}\\
x^2 &= (\colBX{bisque}{$x$})^2\\
8 &= ❎\\
\\
\colMM{blue}{チェック②} & \colMM{blue}{定数項を因数分解}\\
+8 &= (+1) \times (+8)\\
+8 &= (-1) \times (-8)\\
+8 &= (+2) \times (+4)\\
+8 &= (-2) \times (-4)\\
\\
\colMM{blue}{チェック③} & \colMM{blue}{足して\ x\ の係数になる組合せを選択}\\
+6 &= (\colBX{palegreen}{$+2$}) + (\colBX{violet}{$+4$})\\
\\
\colMM{red}{チェック完了！}\\
x^2+6x+8 &= (\colBX{bisque}{$x$}\colBX{palegreen}{$+2$})(\colBX{bisque}{$x$}\colBX{violet}{$+4$})\\
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
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【解答】
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{red}{チェック①} & \colMM{red}{２乗が２つある}\colMM{blue}{➡NO}\\
x^2 &= (\colBX{bisque}{$x$})^2\\
-12y^2 &= ❎\\
\\
\colMM{blue}{チェック②} & \colMM{blue}{定数項を因数分解}\\
-12y^2 &= (+1y) \times (-12y)\\
-12y^2 &= (-1y) \times (+12y)\\
-12y^2 &= (+2y) \times (-6y)\\
-12y^2 &= (-2y) \times (+6y)\\
-12y^2 &= (+3y) \times (-4y)\\
-12y^2 &= (-3y) \times (+4y)\\
\\
\colMM{blue}{チェック③} & \colMM{blue}{足して\ x\ の係数になる組合せを選択}\\
-y &= (\colBX{palegreen}{$+3y$}) + (\colBX{violet}{$-4y$})\\
\\
\colMM{red}{チェック完了！}\\
x^2-xy-12y^2 &= (\colBX{bisque}{$x$}\colBX{palegreen}{$+3y$})(\colBX{bisque}{$x$}\colBX{violet}{$-4y$})\\
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
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【解答】
\def\A{4x}
\def\AZ{16x^2}
\def\B{3y}
\def\BZ{9y^2}
\def\fNAB{+}
\def\NAB{24xy}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{red}{チェック①} & \colMM{red}{２乗が２つある！}\\
\AZ &= (\colBX{bisque}{$\A$})^2\\
\BZ &= (\colBX{palegreen}{$\B$})^2\\
\\
\colMM{red}{チェック②} & \colMM{red}{かけて２倍した項がある！}\\
(\colBX{bisque}{$\A$})\times(\colBX{palegreen}{$\B$}) & \times 2 = \colBX{violet}{$\NAB$}\\
\\
\colMM{red}{チェック完了！}\\
\AZ \fNAB \colBX{violet}{$\NAB$} + \BZ &= (\colBX{bisque}{$\A$}\fNAB\colBX{palegreen}{$\B$})^2\\
\colMM{red}{\searrow 符号は } & \colMM{red}{そのまま \nearrow}\\
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
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【解答】
\def\A{2x}
\def\AZ{4x^2}
\def\B{5y}
\def\BZ{25y^2}
\def\fNAB{-}
\def\NAB{20xy}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{red}{チェック①} & \colMM{red}{２乗が２つある！}\\
\AZ &= (\colBX{bisque}{$\A$})^2\\
\BZ &= (\colBX{palegreen}{$\B$})^2\\
\\
\colMM{red}{チェック②} & \colMM{red}{かけて２倍した項がある！}\\
(\colBX{bisque}{$\A$})\times(\colBX{palegreen}{$\B$}) & \times 2 = \colBX{violet}{$\NAB$}\\
\\
\colMM{red}{チェック完了！}\\
\AZ \fNAB \colBX{violet}{$\NAB$} + \BZ &= (\colBX{bisque}{$\A$}\fNAB\colBX{palegreen}{$\B$})^2\\
\colMM{red}{\searrow 符号は } & \colMM{red}{そのまま \nearrow}\\
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
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【解答】
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{red}{チェック①} & \colMM{red}{２乗が２つある}\colMM{blue}{➡NO}\\
a^2 &= (\colBX{bisque}{$a$})^2\\
-16 &= ❎\\
\\
\colMM{blue}{チェック②} & \colMM{blue}{定数項を因数分解}\\
-16 &= (+1) \times (-16)\\
-16 &= (-1) \times (+16)\\
-16 &= (+2) \times (-8)\\
-16 &= (-2) \times (+8)\\
-16 &= (+4) \times (-4)\\
\\
\colMM{blue}{チェック③} & \colMM{blue}{足して\ a\ の係数になる組合せを選択}\\
-6 &= (\colBX{palegreen}{$+2$}) + (\colBX{violet}{$-8$})\\
\\
\colMM{red}{チェック完了！}\\
a^2-6a-16 &= (\colBX{bisque}{$a$}\colBX{palegreen}{$+2$})(\colBX{bisque}{$a$}\colBX{violet}{$-8$})\\
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
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【解答】
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{red}{チェック①} & \colMM{red}{２乗が２つある}\colMM{blue}{➡NO}\\
a^2 &= (\colBX{bisque}{$a$})^2\\
+24b^2 &= ❎\\
\\
\colMM{blue}{チェック②} & \colMM{blue}{定数項を因数分解}\\
+24b^2 &= (+b) \times (+24b)\\
+24b^2 &= (-b) \times (-24b)\\
+24b^2 &= (+2b) \times (+12b)\\
+24b^2 &= (-2b) \times (-12b)\\
+24b^2 &= (+3b) \times (+8b)\\
+24b^2 &= (-3b) \times (-8b)\\
+24b^2 &= (+4b) \times (+6b)\\
+24b^2 &= (-4b) \times (-6b)\\
\\
\colMM{blue}{チェック③} & \colMM{blue}{足して\ a\ の係数になる組合せを選択}\\
-11b &= (\colBX{palegreen}{$-3b$}) + (\colBX{violet}{$-8b$})\\
\\
\colMM{red}{チェック完了！}\\
a^2-11ab+24b^2 &= (\colBX{bisque}{$a$}\colBX{palegreen}{$-3b$})(\colBX{bisque}{$a$}\colBX{violet}{$-8b$})\\
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
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【解答】
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{red}{チェック①} & \colMM{red}{２乗が２つある}\colMM{blue}{➡NO}\\
x^2 &= (\colBX{bisque}{$x$})^2\\
-20a^2 &= ❎\\
\\
\colMM{blue}{チェック②} & \colMM{blue}{定数項を因数分解}\\
-20a^2 &= (+a) \times (-20a)\\
-20a^2 &= (-a) \times (+20a)\\
-20a^2 &= (+2a) \times (-10a)\\
-20a^2 &= (-2a) \times (+10a)\\
-20a^2 &= (+4a) \times (-5a)\\
-20a^2 &= (-4a) \times (+5a)\\
\\
\colMM{blue}{チェック③} & \colMM{blue}{足して\ x\ の係数になる組合せを選択}\\
+a &= (\colBX{palegreen}{$-4a$}) + (\colBX{violet}{$+5a$})\\
\\
\colMM{red}{チェック完了！}\\
x^2+ax-20a^2 &= (\colBX{bisque}{$x$}\colBX{palegreen}{$-4a$})(\colBX{bisque}{$x$}\colBX{violet}{$+5a$})\\
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
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【解答】
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
3a^2b-12b^3 &= \colBX{bisque}{$3$}aa\colBX{bisque}{$b$}-\colBX{bisque}{$3$} \cdot 4bb\colBX{bisque}{$b$}\\
& \colMM{orange}{ ①共通因数をくくり出す}\\
&=\colBX{bisque}{$3b$}(a^2-4b^2)\\
\\
&=\colBX{bisque}{$3b$}\{(a)^2-(2b)^2\}\\
& \colMM{orange}{ ②公式・２乗ー２乗}\\
&= 3b(a+2b)(a-2b)
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
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【解答】
\def\A{x}
\def\AZ{x^2}
\def\B{9}
\def\BZ{81}
\def\fNAB{+}
\def\NAB{18x}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{red}{チェック①} & \colMM{red}{２乗が２つある！}\\
\AZ &= (\colBX{bisque}{$\A$})^2\\
\BZ &= (\colBX{palegreen}{$\B$})^2\\
\\
\colMM{red}{チェック②} & \colMM{red}{かけて２倍した項がある！}\\
(\colBX{bisque}{$\A$})\times(\colBX{palegreen}{$\B$}) & \times 2 = \colBX{violet}{$\NAB$}\\
\\
\colMM{red}{チェック完了！}\\
\AZ \fNAB \colBX{violet}{$\NAB$} + \BZ &= (\colBX{bisque}{$\A$}\fNAB\colBX{palegreen}{$\B$})^2\\
\colMM{red}{\searrow 符号は } & \colMM{red}{そのまま \nearrow}\\
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan↓この問題へのリンクはこちら（右クリックで保存）
【解答】
\def\A{a}
\def\AZ{a^2}
\def\B{6}
\def\BZ{36}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
& \colMM{red}{ ②公式・２乗ー２乗}\\
\AZ - \BZ
&=(\colBX{bisque}{$\A$})^2-(\colBX{palegreen}{$\B$})^2\\
\\
&= (\colBX{bisque}{$\A$}+\colBX{palegreen}{$\B$})(\colBX{bisque}{$\A$}-\colBX{palegreen}{$\B$})\\
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
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【解答】
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{red}{チェック①} & \colMM{red}{２乗が２つある}\colMM{blue}{➡YES}\\
x^2 &= (\colBX{bisque}{$x$})^2\\
36 &= (\colBX{palegreen}{$6$})^2\\
➡ & x \times 6 \times 2 = 12x \cdotsがない。\\
\\
\colMM{blue}{チェック②} & \colMM{blue}{定数項を因数分解}\\
36 &= (+1) \times (+36)\\
36 &= (+2) \times (+18)\\
36 &= (+3) \times (+12)\\
36 &= (+4) \times (+9)\\
36 &= (+6) \times (+6)\\
\\
\colMM{blue}{チェック③} & \colMM{blue}{足して\ x\ の係数になる組合せを選択}\\
+13 &= (\colBX{palegreen}{$+4$}) + (\colBX{violet}{$+9$})\\
\\
\colMM{red}{チェック完了！}\\
x^2+13x+36 &= (\colBX{bisque}{$x$}\colBX{palegreen}{$+4$})(\colBX{bisque}{$x$}\colBX{violet}{$+9$})\\
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan↓この問題へのリンクはこちら（右クリックで保存）
【解答】
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{red}{チェック①} & \colMM{red}{２乗が２つある}\colMM{blue}{➡NO}\\
a^2 &= (\colBX{bisque}{$a$})^2\\
-15b^2 &= ❎\\
\\
\colMM{blue}{チェック②} & \colMM{blue}{定数項を因数分解}\\
-15b^2 &= (+b) \times (-15b)\\
-15b^2 &= (+3b) \times (-5b)\\
-15b^2 &= (-b) \times (+15b)\\
-15b^2 &= (-3b) \times (+5b)\\
\\
\colMM{blue}{チェック③} & \colMM{blue}{足して\ a\ の係数になる組合せを選択}\\
-2b &= (\colBX{palegreen}{$+3b$}) + (\colBX{violet}{$-5b$})\\
\\
\colMM{red}{チェック完了！}\\
a^2-2ab-15b^2 &= (\colBX{bisque}{$a$}\colBX{palegreen}{$+3b$})(\colBX{bisque}{$a$}\colBX{violet}{$-5b$})\\
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan
