因数分解①共通因数をくくり出す

因数分解①共通因数をくくり出す

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btakeshi
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因数分解は３つのステップを繰り返していくことが大切です。その最初のステップである「共通因数をくくり出す」を見ていきましょう。このステップを大切にすると難しい問題でも楽しく解けるはずです。

因数分解の流れ

  1. 共通因数をくくり出す
  2. 公式・たすきがけを利用する
  3. 次数の低い文字で整理する

どんな難しい問題も基本の流れを繰り返せば解けるはずです。

次の式を因数分解しよう。

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【解答】

\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
& \colMM{red}{\Rightarrow かけ算に分解（因数分解）}\\
2x^2y+4xy^2 &= \colBX{bisque}{$2x$}x\colBX{bisque}{$y$}+2 \cdot \colBX{bisque}{$2xy$}y\\
& \colMM{orange}{共通因数 \Darr まとめる}\\
&= \colBX{bisque}{$2xy$}(x+2y)
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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【解答】

\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
& \colMM{red}{\Rightarrow かけ算に分解（因数分解）}\\
2xy-y &= 2x\colBX{bisque}{$y$}-1\colBX{bisque}{$y$}\\
& \colMM{orange}{共通因数 \Darr まとめる}\\
&= (2x-1)\colBX{bisque}{$y$}\\
\\
&\colNS{lightgray}{=y(2x-1)}\colMM{lightgray}{\cdots でも良いが \cdots}
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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【解答】

\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
& \colMM{red}{\Rightarrow かけ算に分解（因数分解）}\\
xy-3y &= x\colBX{bisque}{$y$}-3\colBX{bisque}{$y$}\\
& \colMM{orange}{共通因数 \Darr まとめる}\\
&= (x-3)\colBX{bisque}{$y$}\\
\\
&\colNS{lightgray}{=y(x-3)}\colMM{lightgray}{\cdots でも良いが \cdots}
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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【解答】

\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
& \colMM{red}{\Rightarrow かけ算に分解（因数分解）}\\
xy-3y^2 &= x\colBX{bisque}{$y$}-3y\colBX{bisque}{$y$}\\
& \colMM{orange}{共通因数 \Darr まとめる}\\
&= (x-3y)\colBX{bisque}{$y$}\\
\\
&\colNS{lightgray}{=y(x-3y)}\colMM{lightgray}{\cdots でも良いが \cdots}
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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【解答】

\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
& \colMM{orange}{　　 \Darr 同じパーツに注目 \Darr}\\
& (\colBX{bisque}{$a-2b$})x+(\colBX{bisque}{$a-2b$})y\\
& \colMM{orange}{　　 \Darr a-2b=X\ と置き換える}\\
&\colNS{lightgray}{= \colBX{bisque}{$X$}x+\colBX{bisque}{$X$}y}\\
& \colMM{green}{　　\Darr 共通因数をくくり出す}\\
&\colNS{lightgray}{= \colBX{violet}{$X$}(x+y)}\\
& \colMM{magenta}{　　\Darr X=a-2b\ を元に戻す}\\
&=(\colBX{violet}{$a-2b$})(x+y)
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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【解答】

\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
& \colMM{red}{\Rightarrow かけ算に分解（因数分解）}\\
2x^3y^2+4x^2y-2xy &= \colBX{bisque}{$2x$}xx\colBX{bisque}{$y$}y+2 \cdot \colBX{bisque}{$2x$}x\colBX{bisque}{$y$}-1\cdot\colBX{bisque}{$2xy$}\\
& \colMM{orange}{共通因数 \Darr まとめる}\\
&= \colBX{bisque}{$2xy$}(x^2y+2x-1)
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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【解答】

\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
& \colMM{red}{\Rightarrow かけ算に分解（因数分解）}\\
3x^2y-6xy^2 &= \colBX{bisque}{$3x$}x\colBX{bisque}{$y$}-2 \cdot \colBX{bisque}{$3x$}\colBX{bisque}{$y$}y\\
& \colMM{orange}{共通因数 \Darr まとめる}\\
&= \colBX{bisque}{$3xy$}(x-2y)
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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【解答】

\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
& \colMM{orange}{　　 \Darr 同じパーツに注目 \Darr}\\
& x(\colBX{bisque}{$y+5$})-3(\colBX{bisque}{$y+5$})\\
& \colMM{orange}{　　 \Darr y+5=A\ と置き換える}\\
&\colNS{lightgray}{= x\colBX{bisque}{$A$}-3\colBX{bisque}{$A$}}\\
& \colMM{green}{　　\Darr 共通因数をくくり出す}\\
&\colNS{lightgray}{= (x-3)\colBX{violet}{$A$}}\\
& \colMM{magenta}{　　\Darr A=y+5\ を元に戻す}\\
&=(x-3)(\colBX{violet}{$y+5$})
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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【解答】

\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
& \colMM{orange}{　　 \Darr 同じパーツに注目 \Darr}\\
& (\colBX{bisque}{$a+b$})x+2(\colBX{bisque}{$a+b$})\\
& \colMM{orange}{　　 \Darr a+b=A\ と置き換える}\\
&\colNS{lightgray}{= \colBX{bisque}{$A$}x+2\colBX{bisque}{$A$}}\\
& \colMM{green}{　　\Darr 共通因数をくくり出す}\\
&\colNS{lightgray}{= \colBX{violet}{$A$}(x+2)}\\
& \colMM{magenta}{　　\Darr A=a+b\ を元に戻す}\\
&=(\colBX{violet}{$a+b$})(x+2)
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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【解答】

\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
& \colMM{red}{　　 \Darr 符号が違う \Darr}\\
& (\colBX{mistyrose}{$a-b$})x+(\colBX{mistyrose}{$b-a$})y\\
& \colMM{red}{　　　マイナスで \Darr 因数分解}\\
&= (\colBX{bisque}{$a-b$})x\colBX{mistyrose}{$-1$}(\colBX{bisque}{$a-b$})y\\
& \colMM{orange}{　　 \Darr a-b=A\ と置き換える}\\
&\colNS{lightgray}{= \colBX{bisque}{$A$}x-1\colBX{bisque}{$A$}y}\\
& \colMM{red}{　　 \Darr 共通因数をくくり出す}\\
&\colNS{lightgray}{= \colBX{palegreen}{$A$}(x-1y)}\\
& \colMM{green}{　　 \Darr A=a-b\ に戻す} \\
&= (\colBX{palegreen}{$a-b$})(x-y)
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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【解答】

\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
& \colMM{red}{　　 \Darr 符号が違う \Darr}\\
& (\colBX{mistyrose}{$a-2b$})x+(\colBX{mistyrose}{$2b-a$})y\\
& \colMM{red}{　　　マイナスで \Darr 因数分解}\\
&= (\colBX{bisque}{$2a-b$})x\colBX{mistyrose}{$-1$}(\colBX{bisque}{$2a-b$})y\\
& \colMM{orange}{　　 \Darr 2a-b=A\ と置き換える}\\
&\colNS{lightgray}{= \colBX{bisque}{$A$}x-1\colBX{bisque}{$A$}y}\\
& \colMM{red}{　　 \Darr 共通因数をくくり出す}\\
&\colNS{lightgray}{= \colBX{palegreen}{$A$}(x-1y)}\\
& \colMM{green}{　　 \Darr A=2a-b\ に戻す} \\
&= (\colBX{palegreen}{$2a-b$})(x-y)
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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【解答】

\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
& \colMM{red}{　　 \Darr 符号が違う \Darr}\\
& a(\colBX{mistyrose}{$x-y$})+b(\colBX{mistyrose}{$y-x$})\\
& \colMM{red}{　　　マイナスで \Darr 因数分解}\\
&= a(\colBX{bisque}{$x-y$})\colBX{mistyrose}{$-$}b(\colBX{bisque}{$x-y$})\\
& \colMM{orange}{　　 \Darr x-y=A\ と置き換える}\\
&\colNS{lightgray}{= a\colBX{bisque}{$A$}-b\colBX{bisque}{$A$}}\\
& \colMM{red}{　　 \Darr 共通因数をくくり出す}\\
&\colNS{lightgray}{= (a-b)\colBX{palegreen}{$A$}}\\
& \colMM{green}{　　 \Darr A=x-y\ に戻す} \\
&= (a-b)(\colBX{palegreen}{$x-y$})
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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【解答】

\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
& \colMM{red}{\Darr x\ に着目}\\
& \colFR{red}{$xy-x$}-y+1\\
& \colMM{orange}{　　　　 \Darr 符号が違う \Darr}\\
&= x(\colBX{bisque}{$y-1$})\colBX{bisque}{$-y+1$}\\
& \colMM{orange}{　　　　マイナスで \Darr 因数分解}\\
&= x(\colBX{palegreen}{$y-1$})\colBX{bisque}{$-1$}(\colBX{palegreen}{$y-1$})\\
& \colMM{green}{　　　 \Darr y-1=A\ と置き換える}\\
&\colNS{lightgray}{= x\colBX{palegreen}{$A$}-1\colBX{palegreen}{$A$}}\\
& \colMM{red}{　共通因数を \Darr くくり出す}\\
&\colNS{lightgray}{= (x-1)\colBX{violet}{$A$}}\\
& \colMM{magenta}{　　　　　　 \Darr A=y-1\ に戻す}\\
&= (x-1)(\colBX{violet}{$y-1$})
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

【別解】

\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
& xy-x-y+1\\
& \colMM{red}{　　 \Darr y\ に着目}\\
&= \colFR{red}{$xy-y$}-x+1\\
& \colMM{orange}{　　 \Darr 符号が違う \Darr}\\
&= (\colBX{bisque}{$x-1$})y\colBX{bisque}{$-x+1$}\\
& \colMM{orange}{　　　　マイナスで \Darr 因数分解}\\
&= (\colBX{palegreen}{$x-1$})y\colBX{bisque}{$-1$}(\colBX{palegreen}{$x-1$})\\
& \colMM{green}{　　　 \Darr x-1=A\ と置き換える}\\
&\colNS{lightgray}{= \colBX{palegreen}{$A$}y-1\colBX{palegreen}{$A$}}\\
& \colMM{red}{　共通因数を \Darr くくり出す}\\
&\colNS{lightgray}{= \colBX{violet}{$A$}(y-1)}\\
& \colMM{magenta}{　　　 \Darr A=x-1\ に戻す}\\
&= (\colBX{violet}{$x-1$})(y-1)
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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