
btakeshi
ひと目見ただけで大変そうな展開の問題に出会うと,やる気がなくなりますよね。でも,そんなときこそ「楽をするために工夫」をしましょう。コツコツと真正面から展開していってもいいけど,何か良い方法はないかと考えることが大切です。
展開の工夫
項が多かったり,式が多かったり,展開するのが大変そうな時は,少し工夫を加えましょう。そのまま丁寧に展開するのも一つの方法ですが、ぜひ楽をすることを考えてください。
- 同じパーツを置き換える
- 符号が異なる部分に注目する
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{red}{\Darr 同じパーツ発見 \Darr } & \colMM{red}{ a+b=X\ と置き換えよう}\\ (\colBX{mistyrose}{$a+b$}+2)(\colBX{mistyrose}{$a+b$}+3) &= (\colBX{mistyrose}{$X$}+2)(\colBX{mistyrose}{$X$}+3)\\ & \colMM{orange}{ \Darr 展開が簡単になった!}\\ &= \colBX{palegreen}{$X$}^2+5\colBX{palegreen}{$X$}+6\\ & \colMM{green}{ \Darr X=a+b\ に戻す}\\ &= (\colBX{palegreen}{$a+b$})^2+5(\colBX{palegreen}{$a+b$})+6\\ \\ &= (a^2+2ab+b^2)+5a+5b+6\\ \\ &= a^2+b^2+2ab+5a+5b+6 \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{red}{\Darr 符号が異なる部分 \Darr } & \colMM{red}{ マイナスで因数分解 \Darr}\\ (a\colBX{mistyrose}{$+b-2$})(a\colBX{mistyrose}{$-b+2$}) &= \{a+(\colBX{bisque}{$b-2$})\}\{a\colBX{mistyrose}{$-$}(\colBX{bisque}{$b-2$})\}\\ & \colMM{orange}{ \Darr b-2=X\ と置き換える}\\ &\colNS{lightgray}{= (a+\colBX{bisque}{$X$})(a-\colBX{bisque}{$X$})}\\ \\ &\colNS{lightgray}{= a^2-\colBX{palegreen}{$X$}^2}\\ & \colMM{green}{ \Darr X=b-2\ に戻す}\\ &=a^2-(\colBX{palegreen}{$b-2$})^2\\ \\ &= a^2-(b^2-4b+4)\\ \\ &= a^2-b^2+4b-4 \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
※符号が異なる部分に注目することで,同じパーツが見つかります。結局は「同じパーツを見つける」ことが一番のポイントです。
次の式を展開しよう。
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【解答】
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{red}{\Darr 符号が異なる部分 \Darr } & \colMM{red}{ マイナスで因数分解 \Darr}\\ (a\colBX{mistyrose}{$+b-c$})(a\colBX{mistyrose}{$-b+c$}) &= \{a+(\colBX{bisque}{$b-c$})\}\{a\colBX{mistyrose}{$-$}(\colBX{bisque}{$b-c$})\}\\ & \colMM{orange}{ \Darr b-c=X\ と置き換える}\\ &\colNS{lightgray}{= (a+\colBX{bisque}{$X$})(a-\colBX{bisque}{$X$})}\\ \\ &\colNS{lightgray}{= a^2-\colBX{palegreen}{$X$}^2}\\ & \colMM{green}{ \Darr X=b-c\ に戻す}\\ &=a^2-(\colBX{palegreen}{$b-c$})^2\\ \\ &= a^2-(b^2-2bc+c^2)\\ \\ &= a^2-b^2+2bc-c^2 \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
【別解】
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{red}{\Darr 符号が異なる部分 \Darr } & \colMM{red}{ マイナスで因数分解 \Darr}\\ (a\colBX{mistyrose}{$+b-c$})(a\colBX{mistyrose}{$-b+c$}) &= \{a+(\colBX{bisque}{$b-c$})\}\{a\colBX{mistyrose}{$-$}(\colBX{bisque}{$b-c$})\}\\ & \colMM{orange}{ \Darr b-c=X\ と置き換える}\\ &\colNS{lightgray}{= (a+\colBX{bisque}{$X$})(a-\colBX{bisque}{$X$})}\\ \\ &\colNS{lightgray}{= a^2-\colBX{palegreen}{$X$}^2}\\ & \colMM{green}{ \Darr X=b-c\ に戻す}\\ &=a^2-(\colBX{palegreen}{$b-c$})^2\\ \\ &= a^2-(b^2-2bc+c^2)\\ \\ &= a^2-b^2+2bc-c^2 \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
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【解答】
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{red}{\Darr 符号が異なる部分 \Darr}\\ (a-b\colBX{mistyrose}{$+c$})(a-b\colBX{mistyrose}{$-c$}) &= \{(\colBX{bisque}{$a-b$})+c\}\{(\colBX{bisque}{$a-b$})-c\}\\ & \colMM{orange}{ \Darr a-b=X\ と置き換える}\\ &\colNS{lightgray}{= (\colBX{bisque}{$X$}+c)(\colBX{bisque}{$X$}-c)}\\ \\ &\colNS{lightgray}{= \colBX{palegreen}{$X$}^2-c^2}\\ & \colMM{green}{ \Darr X=a-b\ に戻す}\\ &=(\colBX{palegreen}{$a-b$})^2-c^2\\ \\ &= (a^2-2ab+b^2)-c^2\\ \\ &= a^2-2ab+b^2-c^2 \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
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【解答】
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{red}{\Darr 符号が異なる部分 \Darr } & \colMM{red}{ \Darr マイナスで因数分解}\\ (x\colBX{mistyrose}{$-2y+3$})(x\colBX{mistyrose}{$+2y-3$}) &= \{x\colBX{mistyrose}{$-$}(\colBX{bisque}{$2y-3$})\}\{x+(\colBX{bisque}{$2y-3$})\}\\ & \colMM{orange}{ \Darr 2y-3=A\ と置き換える}\\ &\colNS{lightgray}{= (x-\colBX{bisque}{$A$})(x+\colBX{bisque}{$A$})}\\ \\ &\colNS{lightgray}{= x^2-\colBX{palegreen}{$A$}^2}\\ & \colMM{green}{ \Darr A=2y-3\ に戻す}\\ &=x^2-(\colBX{palegreen}{$2y-3$})^2\\ \\ &= x^2-(4y^2-12y+9)\\ \\ &= x^2-4y^2+12y-9 \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
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【解答】
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{red}{\Darr 符号が異なる部分 \Darr }\\ (x^2\colBX{mistyrose}{$+x$}+1)(x^2\colBX{mistyrose}{$-x$}+1) &= \{(\colBX{bisque}{$x^2+1$})+x\}\{(\colBX{bisque}{$x^2+1$})-x\}\\ & \colMM{orange}{ \Darr x^2+1=A\ と置き換える}\\ &\colNS{lightgray}{= (\colBX{bisque}{$A$}+x)(\colBX{bisque}{$A$}-x)}\\ \\ &\colNS{lightgray}{= \colBX{palegreen}{$A$}^2-x^2}\\ & \colMM{green}{ \Darr A=x^2+1\ に戻す}\\ &=(\colBX{palegreen}{$x^2+1$})^2-x^2\\ \\ &= (x^4+2x^2+1)-x^2\\ \\ &= x^4+x^2+1 \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan