btakeshi
ひと目見ただけで大変そうな展開の問題に出会うと，やる気がなくなりますよね。でも，そんなときこそ「楽をするために工夫」をしましょう。コツコツと真正面から展開していってもいいけど，何か良い方法はないかと考えることが大切です。
展開の工夫
項が多かったり，式が多かったり，展開するのが大変そうな時は，少し工夫を加えましょう。そのまま丁寧に展開するのも一つの方法ですが、ぜひ楽をすることを考えてください。
- 同じパーツを置き換える
- 符号が異なる部分に注目する
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{red}{\Darr 同じパーツ発見 \Darr } & \colMM{red}{ a+b=X\ と置き換えよう}\\
(\colBX{mistyrose}{$a+b$}+2)(\colBX{mistyrose}{$a+b$}+3) &= (\colBX{mistyrose}{$X$}+2)(\colBX{mistyrose}{$X$}+3)\\
& \colMM{orange}{ \Darr 展開が簡単になった！}\\
&= \colBX{palegreen}{$X$}^2+5\colBX{palegreen}{$X$}+6\\
& \colMM{green}{ \Darr X=a+b\ に戻す}\\
&= (\colBX{palegreen}{$a+b$})^2+5(\colBX{palegreen}{$a+b$})+6\\
\\
&= (a^2+2ab+b^2)+5a+5b+6\\
\\
&= a^2+b^2+2ab+5a+5b+6
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{red}{\Darr 符号が異なる部分 \Darr } & \colMM{red}{ マイナスで因数分解 \Darr}\\
(a\colBX{mistyrose}{$+b-2$})(a\colBX{mistyrose}{$-b+2$}) &= \{a+(\colBX{bisque}{$b-2$})\}\{a\colBX{mistyrose}{$-$}(\colBX{bisque}{$b-2$})\}\\
& \colMM{orange}{ \Darr b-2=X\ と置き換える}\\
&\colNS{lightgray}{= (a+\colBX{bisque}{$X$})(a-\colBX{bisque}{$X$})}\\
\\
&\colNS{lightgray}{= a^2-\colBX{palegreen}{$X$}^2}\\
& \colMM{green}{ \Darr X=b-2\ に戻す}\\
&=a^2-(\colBX{palegreen}{$b-2$})^2\\
\\
&= a^2-(b^2-4b+4)\\
\\
&= a^2-b^2+4b-4
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan※符号が異なる部分に注目することで，同じパーツが見つかります。結局は「同じパーツを見つける」ことが一番のポイントです。
次の式を展開しよう。
↓この問題へのリンクはこちら（右クリックで保存）
【解答】
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{red}{\Darr 符号が異なる部分 \Darr } & \colMM{red}{ マイナスで因数分解 \Darr}\\
(a\colBX{mistyrose}{$+b-c$})(a\colBX{mistyrose}{$-b+c$}) &= \{a+(\colBX{bisque}{$b-c$})\}\{a\colBX{mistyrose}{$-$}(\colBX{bisque}{$b-c$})\}\\
& \colMM{orange}{ \Darr b-c=X\ と置き換える}\\
&\colNS{lightgray}{= (a+\colBX{bisque}{$X$})(a-\colBX{bisque}{$X$})}\\
\\
&\colNS{lightgray}{= a^2-\colBX{palegreen}{$X$}^2}\\
& \colMM{green}{ \Darr X=b-c\ に戻す}\\
&=a^2-(\colBX{palegreen}{$b-c$})^2\\
\\
&= a^2-(b^2-2bc+c^2)\\
\\
&= a^2-b^2+2bc-c^2
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan【別解】
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{red}{\Darr 符号が異なる部分 \Darr } & \colMM{red}{ マイナスで因数分解 \Darr}\\
(a\colBX{mistyrose}{$+b-c$})(a\colBX{mistyrose}{$-b+c$}) &= \{a+(\colBX{bisque}{$b-c$})\}\{a\colBX{mistyrose}{$-$}(\colBX{bisque}{$b-c$})\}\\
& \colMM{orange}{ \Darr b-c=X\ と置き換える}\\
&\colNS{lightgray}{= (a+\colBX{bisque}{$X$})(a-\colBX{bisque}{$X$})}\\
\\
&\colNS{lightgray}{= a^2-\colBX{palegreen}{$X$}^2}\\
& \colMM{green}{ \Darr X=b-c\ に戻す}\\
&=a^2-(\colBX{palegreen}{$b-c$})^2\\
\\
&= a^2-(b^2-2bc+c^2)\\
\\
&= a^2-b^2+2bc-c^2
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan↓この問題へのリンクはこちら（右クリックで保存）
【解答】
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{red}{\Darr 符号が異なる部分 \Darr}\\
(a-b\colBX{mistyrose}{$+c$})(a-b\colBX{mistyrose}{$-c$}) &= \{(\colBX{bisque}{$a-b$})+c\}\{(\colBX{bisque}{$a-b$})-c\}\\
& \colMM{orange}{ \Darr a-b=X\ と置き換える}\\
&\colNS{lightgray}{= (\colBX{bisque}{$X$}+c)(\colBX{bisque}{$X$}-c)}\\
\\
&\colNS{lightgray}{= \colBX{palegreen}{$X$}^2-c^2}\\
& \colMM{green}{ \Darr X=a-b\ に戻す}\\
&=(\colBX{palegreen}{$a-b$})^2-c^2\\
\\
&= (a^2-2ab+b^2)-c^2\\
\\
&= a^2-2ab+b^2-c^2
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan↓この問題へのリンクはこちら（右クリックで保存）
【解答】
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{red}{\Darr 符号が異なる部分 \Darr } & \colMM{red}{ \Darr マイナスで因数分解}\\
(x\colBX{mistyrose}{$-2y+3$})(x\colBX{mistyrose}{$+2y-3$}) &= \{x\colBX{mistyrose}{$-$}(\colBX{bisque}{$2y-3$})\}\{x+(\colBX{bisque}{$2y-3$})\}\\
& \colMM{orange}{ \Darr 2y-3=A\ と置き換える}\\
&\colNS{lightgray}{= (x-\colBX{bisque}{$A$})(x+\colBX{bisque}{$A$})}\\
\\
&\colNS{lightgray}{= x^2-\colBX{palegreen}{$A$}^2}\\
& \colMM{green}{ \Darr A=2y-3\ に戻す}\\
&=x^2-(\colBX{palegreen}{$2y-3$})^2\\
\\
&= x^2-(4y^2-12y+9)\\
\\
&= x^2-4y^2+12y-9
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan↓この問題へのリンクはこちら（右クリックで保存）
【解答】
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{red}{\Darr 符号が異なる部分 \Darr }\\
(x^2\colBX{mistyrose}{$+x$}+1)(x^2\colBX{mistyrose}{$-x$}+1) &= \{(\colBX{bisque}{$x^2+1$})+x\}\{(\colBX{bisque}{$x^2+1$})-x\}\\
& \colMM{orange}{ \Darr x^2+1=A\ と置き換える}\\
&\colNS{lightgray}{= (\colBX{bisque}{$A$}+x)(\colBX{bisque}{$A$}-x)}\\
\\
&\colNS{lightgray}{= \colBX{palegreen}{$A$}^2-x^2}\\
& \colMM{green}{ \Darr A=x^2+1\ に戻す}\\
&=(\colBX{palegreen}{$x^2+1$})^2-x^2\\
\\
&= (x^4+2x^2+1)-x^2\\
\\
&= x^4+x^2+1
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan
