（カッコ）２乗の展開公式に共通する秘密とは

カッコ２乗の展開公式

SHARE

btakeshi
btakeshi

すでに学んだ (a+b)^2 の展開は，カッコの中身が２個でした。これをカッコの中身３個にしたらどうなるのでしょうか。ここでは (a+b+c)^2 の展開公式を学びます。実は２個でも３個でも同じ考え方で展開することができます。公式は単に形を覚えるのではなく，その意味を考えて使い方を覚えることが大切です。

おなじみ（カッコ）２乗の公式

(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2

には，仲間の公式があります。それが

(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca

という公式です。一見すると同じには見えませんが，どちらも同じ考え方で使う公式です。公式を覚えるのではなく，考え方を身に着けることが大切です。

【証明】

\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize\bm #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colBX{mistyrose}{$a+b = X$} & と置き換えると\\
\\
(a+b+c)^2 &= \{(\colBX{mistyrose}{$a+b$})+c\}^2\\
& \colMM{orange}{　　　\Darr a+b=X\ と置き換える}\\
&= (\colBX{mistyrose}{$X$}+c)^2\\
\\
&= \colBX{palegreen}{$X$}^2+2\colBX{palegreen}{$X$}c+c^2\\
& \colMM{green}{　　　\Darr X = a+b\ に戻す}\\
&= (\colBX{palegreen}{$a+b$})^2+2(\colBX{palegreen}{$a+b$})c+c^2\\
\\
&= (a^2+2ab+b^2)+2ac+2bc+c^2\\
\\
&= a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

（証明終）

【証明】

\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
& (a+b+c)^2\\
& \colMM{orange}{　　　\Darr ２乗って２個かけるから}\\
&= (a+b+c)(a+b+c)\\
& \colMM{green}{　　　\Darr 丁寧に分解}\\
&= a(a+b+c)+b(a+b+c)+c(a+b+c)\\
& \colMM{magenta}{　　　\Darr さらに展開}\\
&= a^2+ab+ac+ab+b^2+bc+ac+bc+c^2\\
& \colMM{deepskyblue}{　　　\Darr 整理して終}\\
&= a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

（証明終）

どちらの公式も

  1. すべての項を２乗する
  2. 項を２つずつ組合せて掛けて，さらに２倍する
  3. すべて足す

この考え方で使います。（カッコ）の中身が２項でも３項でも，もちろん４項以上でも同じです。

\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize\bf\bm #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{red}{準備１➡} & \colMM{red}{すべて２乗する}\\
(\colBX{mistyrose}{$x$})^2 &= x^2\\
(\colBX{palegreen}{$-2y$})^2 &= 4y^2\\
\\
\colMM{red}{準備２➡} & \colMM{red}{２つずつ組合せて掛ける➡ さらに２倍}\\
\colBX{mistyrose}{$x$} \times \colBX{palegreen}{$(-2y)$} & = -2xy \Rightarrow -4xy\\
\\
\colBX{lightgray}{\scriptsize【解答】}　　　　 \\
(\colBX{mistyrose}{$x$}\,\colBX{palegreen}{$-2y$})^2
&= x^2+4y^2-4xy
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize\bf\bm #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{red}{準備１➡} & \colMM{red}{すべて２乗する}\\
(\colBX{mistyrose}{$a$})^2 &= a^2\\
(\colBX{palegreen}{$-2b$})^2 &= 4b^2\\
(\colBX{violet}{$1$})^2 &= 1\\
\\
\colMM{red}{準備２➡} & \colMM{red}{２つずつ組合せて掛ける➡ さらに２倍}\\
\colBX{mistyrose}{$a$} \times \colBX{palegreen}{$(-2b)$} & = -2ab \Rightarrow -4ab\\
\colBX{palegreen}{$-2b$} \times \colBX{violet}{$1$} & = -2b \Rightarrow -4b\\
\colBX{violet}{$1$} \times \colBX{mistyrose}{$a$} & = a \Rightarrow 2a\\
\\
\colBX{lightgray}{\scriptsize【解答】}　　　　 \\
(\colBX{mistyrose}{$a$}\,\colBX{palegreen}{$-2b$}\,\colBX{violet}{$+1$})^2
&= a^2+4b^2+1-4ab-4b+2a\\
\\
&= a^2+4b^2-4ab+2a-4b+1
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize\bf\bm #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{red}{準備１➡} & \colMM{red}{すべて２乗する}\\
(\colBX{mistyrose}{$a$})^2 &= a^2\\
(\colBX{palegreen}{$b$})^2 &= b^2\\
(\colBX{violet}{$c$})^2 &= c^2\\
(\colBX{lightcyan}{$d$})^2 &= d^2\\
\\
\colMM{red}{準備２➡} & \colMM{red}{２つずつ組合せて掛ける➡ さらに２倍}\\
\colBX{mistyrose}{$a$} \times \colBX{palegreen}{$b$} & = ab \Rightarrow 2ab\\
\colBX{mistyrose}{$a$} \times \colBX{violet}{$c$} & = ac \Rightarrow 2ac\\
\colBX{mistyrose}{$a$} \times \colBX{lightcyan}{$d$} & = ad \Rightarrow 2ad\\
\colBX{palegreen}{$b$} \times \colBX{violet}{$c$} & = bc \Rightarrow 2bc\\
\colBX{palegreen}{$b$} \times \colBX{lightcyan}{$d$} & = bd \Rightarrow 2bd\\
\colBX{violet}{$c$} \times \colBX{lightcyan}{$d$} & = cd \Rightarrow 2cd\\
\\
\colBX{lightgray}{\scriptsize【解答】}　　　　 \\
& (\colBX{mistyrose}{$a$}\,\colBX{palegreen}{$+b$}\,\colBX{violet}{$+c$}\,\colBX{lightcyan}{$+d$})^2\\
\\
&= a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

※（カッコ）の中身が４個になっても同じでした。５個でも６個でも，何個でも同じです。が，ちょっと大変ですね。

次の式を展開しよう。

↓この問題へのリンクはこちら（右クリックで保存）

\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize\bf\bm #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{red}{準備１➡} & \colMM{red}{すべて２乗する}\\
(\colBX{mistyrose}{$a$})^2 &= a^2\\
(\colBX{palegreen}{$b$})^2 &= b^2\\
(\colBX{violet}{$c$})^2 &= c^2\\
\\
\colMM{red}{準備２➡} & \colMM{red}{２つずつ組合せて掛ける➡ さらに２倍}\\
\colBX{mistyrose}{$a$} \times \colBX{palegreen}{$b$} & = ab \Rightarrow 2ab\\
\colBX{palegreen}{$b$} \times \colBX{violet}{$c$} & = bc \Rightarrow 2bc\\
\colBX{violet}{$c$} \times \colBX{mistyrose}{$a$} & = ca \Rightarrow 2ca\\
\\
\colBX{lightgray}{\scriptsize【解答】}　　　　 \\
(\colBX{mistyrose}{$a$}\,\colBX{palegreen}{$+b$}\,\colBX{violet}{$+c$})^2
&= a^2+b^2+b^2+2ab+2bc+2ca
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

↓この問題へのリンクはこちら（右クリックで保存）

\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize\bf\bm #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{red}{準備１➡} & \colMM{red}{すべて２乗する}\\
(\colBX{mistyrose}{$a$})^2 &= a^2\\
(\colBX{palegreen}{$-b$})^2 &= b^2\\
(\colBX{violet}{$2$})^2 &= 4\\
\\
\colMM{red}{準備２➡} & \colMM{red}{２つずつ組合せて掛ける➡ さらに２倍}\\
\colBX{mistyrose}{$a$} \times \colBX{palegreen}{$(-b)$} & = -ab \Rightarrow -2ab\\
\colBX{palegreen}{$-b$} \times \colBX{violet}{$2$} & = -2b \Rightarrow -4b\\
\colBX{violet}{$2$} \times \colBX{mistyrose}{$a$} & = 2a \Rightarrow 4a\\
\\
\colBX{lightgray}{\scriptsize【解答】}　　　　 \\
(\colBX{mistyrose}{$a$}\,\colBX{palegreen}{$-b$}\,\colBX{violet}{$+2$})^2
&= a^2+b^2+4-2ab-4b+4a\\
\\
&= a^2+b^2-2ab+4a-4b+4
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

↓この問題へのリンクはこちら（右クリックで保存）

\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize\bf\bm #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{red}{準備１➡} & \colMM{red}{すべて２乗する}\\
(\colBX{mistyrose}{$a$})^2 &= a^2\\
(\colBX{palegreen}{$b$})^2 &= b^2\\
(\colBX{violet}{$-c$})^2 &= c^2\\
\\
\colMM{red}{準備２➡} & \colMM{red}{２つずつ組合せて掛ける➡ さらに２倍}\\
\colBX{mistyrose}{$a$} \times \colBX{palegreen}{$b$} & = ab \Rightarrow 2ab\\
\colBX{palegreen}{$b$} \times \colBX{violet}{$(-c)$} & = -bc \Rightarrow -2bc\\
\colBX{violet}{$-c$} \times \colBX{mistyrose}{$a$} & = -ca \Rightarrow -2ca\\
\\
\colBX{lightgray}{\scriptsize【解答】}　　　　 \\
(\colBX{mistyrose}{$a$}\,\colBX{palegreen}{$+b$}\,\colBX{violet}{$-c$})^2
&= a^2+b^2+c^2+2ab-2bc-2ca
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

↓この問題へのリンクはこちら（右クリックで保存）

\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize\bf\bm #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{red}{準備１➡} & \colMM{red}{すべて２乗する}\\
(\colBX{mistyrose}{$x$})^2 &= x^2\\
(\colBX{palegreen}{$-2y$})^2 &= 4y^2\\
(\colBX{violet}{$3z$})^2 &= 9z^2\\
\\
\colMM{red}{準備２➡} & \colMM{red}{２つずつ組合せて掛ける➡ さらに２倍}\\
\colBX{mistyrose}{$x$} \times \colBX{palegreen}{$(-2y)$} & = -2xy \Rightarrow -4xy\\
\colBX{palegreen}{$-2y$} \times \colBX{violet}{$3z$} & = -6yz \Rightarrow -12yz\\
\colBX{violet}{$3z$} \times \colBX{mistyrose}{$x$} & = 3zx \Rightarrow 6zx\\
\\
\colBX{lightgray}{\scriptsize【解答】}　　　　 \\
(\colBX{mistyrose}{$x$}\,\colBX{palegreen}{$-2y$}\,\colBX{violet}{$+3z$})^2
&= x^2+4y^2+9z^2-4xy-12yz+6zx
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

↓この問題へのリンクはこちら（右クリックで保存）

\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize\bf\bm #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{red}{準備１➡} & \colMM{red}{すべて２乗する}\\
(\colBX{mistyrose}{$x^2$})^2 &= x^4\\
(\colBX{palegreen}{$x$})^2 &= x^2\\
(\colBX{violet}{$1$})^2 &= 1\\
\\
\colMM{red}{準備２➡} & \colMM{red}{２つずつ組合せて掛ける➡ さらに２倍}\\
\colBX{mistyrose}{$x^2$} \times \colBX{palegreen}{$x$} & = x^3 \Rightarrow 2x^3\\
\colBX{palegreen}{$x$} \times \colBX{violet}{$1$} & = x \Rightarrow 2x\\
\colBX{violet}{$1$} \times \colBX{mistyrose}{$x^2$} & = x^2 \Rightarrow 2x^2\\
\\
\colBX{lightgray}{\scriptsize【解答】}　　　　 \\
(\colBX{mistyrose}{$x^2$}\,\colBX{palegreen}{$+x$}\,\colBX{violet}{$+1$})^2
&= x^4+x^2+1+2x^3+2x+2x^2\\
\\
&=x^4+2x^3+3x^2+2x+1
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

「ますどら」新着コンテンツ

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 ※ が付いている欄は必須項目です

前の記事

指数法則
指数法則

次の記事

符号が異なる部分に注目して展開！