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1 から 100 までの整数のうち，次のような数は何個あるか。
（１）２の倍数
（２）２の倍数かつ３の倍数
（３）２の倍数または３の倍数
（４）２の倍数でも３の倍数でもない数
【解答】
\def\StartNo{1}
\def\EndNo{100}
\def\Av{2}\def\Alast{50}
\def\Arekkyo{\colBX{bisque}{$\Av$}\cdot 1,\ \colBX{bisque}{$\Av$}\cdot 2,\ \colBX{bisque}{$\Av$}\cdot 3,\ \cdots,\ \colBX{bisque}{$\Av$}\cdot\Alast}
\def\Bv{3}\def\Blast{33}
\def\Brekkyo{\colBX{palegreen}{$\Bv$}\cdot 1,\ \colBX{palegreen}{$\Bv$}\cdot 2,\ \colBX{palegreen}{$\Bv$}\cdot 3,\ \cdots,\ \colBX{palegreen}{$\Bv$}\cdot\Blast}
\def\KatuNo{6}\def\KatuNoLast{16}
\def\AcapBrekkyo{\colBX{violet}{$\KatuNo$}\cdot 1,\ \colBX{violet}{$\KatuNo$}\cdot 2,\ \colBX{violet}{$\KatuNo$}\cdot 3,\ \cdots\,\cdots,\ \colBX{violet}{$\KatuNo$}\cdot\KatuNoLast}
\def\nAcupB{67}
\def\nBarAcapBarB{33}
%
\newcommand\colNS[2]{\textcolor{#1}{#2}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
%
\small
\begin{align*}
& \StartNo\ から\ \EndNo\ までの整数全体の集合を\ U\ とし，\\
& その中で\ \colBX{bisque}{$\Av$}\ の倍数全体の集合を\ A，\\
& \colNS{white}{その中で}\ \colBX{palegreen}{$\Bv$}\ の倍数全体の集合を\ B\ とすると，\\
& \colMM{orange}{ \EndNo\div\Av=商\ \Alast\Darr}\\
& A = \{\Arekkyo\}\\
& B = \{\Brekkyo\}\\
& \colMM{green}{ \EndNo\div\Bv=商\ \Blast\Uarr}\\
& である。\\
\\
& \StartNo\ から\ \EndNo\ までの整数全体の集合が\ U\ だから\\
& n(U) = \EndNo（個）\\
\\
& \colBX{bisque}{\Av}\ の倍数全体の集合は\ A\ だから\\
& n(A) = \Alast（個）\\
\\
& \colBX{palegreen}{\Bv}\ の倍数全体の集合は\ B\ だから\\
& n(B) = \Blast（個）\\
\\
& \colBX{bisque}{$\Av$}\ の倍数\colBX{mistyrose}{かつ}\ \colBX{palegreen}{$\Bv$}\ の倍数全体の集合は\\
& A\ \colBX{mistyrose}{$\cap$}\ B\ であるから\ n(A \cap B)\ を求めればよい。\\
& \colMM{red}{ \Av\ と\ \Bv\ の最小公倍数\Darr}\\
& A \cap B\ は\ \EndNo\ 以下の\ \KatuNo\ の倍数の集合であるから，\\
& \colMM{magenta}{ \EndNo\div\KatuNo=商\ \KatuNoLast\Darr}\\
& A \cap B = \{\AcapBrekkyo\}\\
\\
& よって，n(A \cap B) = \KatuNoLast（個）\\
\\
& \colBX{bisque}{$\Av$}\ の倍数\colBX{mistyrose}{または}\ \colBX{palegreen}{$\Bv$}\ の倍数全体の集合は\\
& A\ \colBX{mistyrose}{$\cup$}\ B\ であるから\ n(A \cup B)\ を求めればよい。\\
& \begin{align*}\\
\colMM{red}{\bf 和集合 } &\colMM{red}{\ は A たす B ひく {\bf 共通部分}} \\
n(A \cup B) &= n(A)+n(B)-n(A \cap B)\\
&= \Alast + \Blast - \KatuNoLast\\
&= \nAcupB（個）
\end{align*}\\
\\
& \colBX{bisque}{$\Av$}\ の倍数でも\ \colBX{palegreen}{$\Bv$}\ の倍数でもない数全体の集合は\\
& \colMM{red}{\Longrightarrow \Av\ の倍数でない かつ \Bv\ の倍数でない}\\
& \overline{\,A\,}\ \cup\ \overline{\,B\,}\ であるから\ n(\overline{\,A\,} \cup \overline{\,B\,})\ を求めればよい。\\
& \begin{align*}\\
n(\overline{\,A\,} \cap \overline{\,B\,}) &= n(\overline{\,A \cup B\,})\\
&= n(U) - n(A \cup B)\\
&= \EndNo - \nAcupB\\
&= \nBarAcapBarB（個）
\end{align*}
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan↓この問題へのリンクはこちら（右クリックで保存）
1 から 200 までの整数のうち，次のような数は何個あるか。
（１）３の倍数
（２）３の倍数かつ５の倍数
（３）３の倍数または５の倍数
（４）３の倍数でも５の倍数でもない数
【解答】
\def\StartNo{1}
\def\EndNo{200}
\def\Av{3}\def\Alast{66}
\def\Arekkyo{\colBX{bisque}{$\Av$}\cdot 1,\ \colBX{bisque}{$\Av$}\cdot 2,\ \colBX{bisque}{$\Av$}\cdot 3,\ \cdots,\ \colBX{bisque}{$\Av$}\cdot\Alast}
\def\Bv{5}\def\Blast{40}
\def\Brekkyo{\colBX{palegreen}{$\Bv$}\cdot 1,\ \colBX{palegreen}{$\Bv$}\cdot 2,\ \colBX{palegreen}{$\Bv$}\cdot 3,\ \cdots,\ \colBX{palegreen}{$\Bv$}\cdot\Blast}
\def\KatuNo{15}\def\KatuNoLast{13}
\def\AcapBrekkyo{\colBX{violet}{$\KatuNo$}\cdot 1,\ \colBX{violet}{$\KatuNo$}\cdot 2,\ \colBX{violet}{$\KatuNo$}\cdot 3,\ \cdots\,\cdots,\ \colBX{violet}{$\KatuNo$}\cdot\KatuNoLast}
\def\nAcupB{93}
\def\nBarAcapBarB{107}
%
\newcommand\colNS[2]{\textcolor{#1}{#2}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
%
\small
\begin{align*}
& \StartNo\ から\ \EndNo\ までの整数全体の集合を\ U\ とし，\\
& その中で\ \colBX{bisque}{$\Av$}\ の倍数全体の集合を\ A，\\
& \colNS{white}{その中で}\ \colBX{palegreen}{$\Bv$}\ の倍数全体の集合を\ B\ とすると，\\
& \colMM{orange}{ \EndNo\div\Av=商\ \Alast\Darr}\\
& A = \{\Arekkyo\}\\
& B = \{\Brekkyo\}\\
& \colMM{green}{ \EndNo\div\Bv=商\ \Blast\Uarr}\\
& である。\\
\\
& \StartNo\ から\ \EndNo\ までの整数全体の集合が\ U\ だから\\
& n(U) = \EndNo（個）\\
\\
& \colBX{bisque}{\Av}\ の倍数全体の集合は\ A\ だから\\
& n(A) = \Alast（個）\\
\\
& \colBX{palegreen}{\Bv}\ の倍数全体の集合は\ B\ だから\\
& n(B) = \Blast（個）\\
\\
& \colBX{bisque}{$\Av$}\ の倍数\colBX{mistyrose}{かつ}\ \colBX{palegreen}{$\Bv$}\ の倍数全体の集合は\\
& A\ \colBX{mistyrose}{$\cap$}\ B\ であるから\ n(A \cap B)\ を求めればよい。\\
& \colMM{red}{ \Av\ と\ \Bv\ の最小公倍数\Darr}\\
& A \cap B\ は\ \EndNo\ 以下の\ \KatuNo\ の倍数の集合であるから，\\
& \colMM{magenta}{ \EndNo\div\KatuNo=商\ \KatuNoLast\Darr}\\
& A \cap B = \{\AcapBrekkyo\}\\
\\
& よって，n(A \cap B) = \KatuNoLast（個）\\
\\
& \colBX{bisque}{$\Av$}\ の倍数\colBX{mistyrose}{または}\ \colBX{palegreen}{$\Bv$}\ の倍数全体の集合は\\
& A\ \colBX{mistyrose}{$\cup$}\ B\ であるから\ n(A \cup B)\ を求めればよい。\\
& \begin{align*}\\
\colMM{red}{\bf 和集合 } &\colMM{red}{\ は A たす B ひく {\bf 共通部分}} \\
n(A \cup B) &= n(A)+n(B)-n(A \cap B)\\
&= \Alast + \Blast - \KatuNoLast\\
&= \nAcupB（個）
\end{align*}\\
\\
& \colBX{bisque}{$\Av$}\ の倍数でも\ \colBX{palegreen}{$\Bv$}\ の倍数でもない数全体の集合は\\
& \colMM{red}{\Longrightarrow \Av\ の倍数でない かつ \Bv\ の倍数でない}\\
& \overline{\,A\,}\ \cup\ \overline{\,B\,}\ であるから\ n(\overline{\,A\,} \cup \overline{\,B\,})\ を求めればよい。\\
& \begin{align*}\\
n(\overline{\,A\,} \cap \overline{\,B\,}) &= n(\overline{\,A \cup B\,})\\
&= n(U) - n(A \cup B)\\
&= \EndNo - \nAcupB\\
&= \nBarAcapBarB（個）
\end{align*}
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan