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1 から 100 までの整数のうち,次のような数は何個あるか。
(1)2の倍数
(2)2の倍数かつ3の倍数
(3)2の倍数または3の倍数
(4)2の倍数でも3の倍数でもない数
【解答】
\def\StartNo{1} \def\EndNo{100} \def\Av{2}\def\Alast{50} \def\Arekkyo{\colBX{bisque}{$\Av$}\cdot 1,\ \colBX{bisque}{$\Av$}\cdot 2,\ \colBX{bisque}{$\Av$}\cdot 3,\ \cdots,\ \colBX{bisque}{$\Av$}\cdot\Alast} \def\Bv{3}\def\Blast{33} \def\Brekkyo{\colBX{palegreen}{$\Bv$}\cdot 1,\ \colBX{palegreen}{$\Bv$}\cdot 2,\ \colBX{palegreen}{$\Bv$}\cdot 3,\ \cdots,\ \colBX{palegreen}{$\Bv$}\cdot\Blast} \def\KatuNo{6}\def\KatuNoLast{16} \def\AcapBrekkyo{\colBX{violet}{$\KatuNo$}\cdot 1,\ \colBX{violet}{$\KatuNo$}\cdot 2,\ \colBX{violet}{$\KatuNo$}\cdot 3,\ \cdots\,\cdots,\ \colBX{violet}{$\KatuNo$}\cdot\KatuNoLast} \def\nAcupB{67} \def\nBarAcapBarB{33} % \newcommand\colNS[2]{\textcolor{#1}{#2}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}} % \small \begin{align*} & \StartNo\ から\ \EndNo\ までの整数全体の集合を\ U\ とし,\\ & その中で\ \colBX{bisque}{$\Av$}\ の倍数全体の集合を\ A,\\ & \colNS{white}{その中で}\ \colBX{palegreen}{$\Bv$}\ の倍数全体の集合を\ B\ とすると,\\ & \colMM{orange}{ \EndNo\div\Av=商\ \Alast\Darr}\\ & A = \{\Arekkyo\}\\ & B = \{\Brekkyo\}\\ & \colMM{green}{ \EndNo\div\Bv=商\ \Blast\Uarr}\\ & である。\\ \\ & \StartNo\ から\ \EndNo\ までの整数全体の集合が\ U\ だから\\ & n(U) = \EndNo(個)\\ \\ & \colBX{bisque}{\Av}\ の倍数全体の集合は\ A\ だから\\ & n(A) = \Alast(個)\\ \\ & \colBX{palegreen}{\Bv}\ の倍数全体の集合は\ B\ だから\\ & n(B) = \Blast(個)\\ \\ & \colBX{bisque}{$\Av$}\ の倍数\colBX{mistyrose}{かつ}\ \colBX{palegreen}{$\Bv$}\ の倍数全体の集合は\\ & A\ \colBX{mistyrose}{$\cap$}\ B\ であるから\ n(A \cap B)\ を求めればよい。\\ & \colMM{red}{ \Av\ と\ \Bv\ の最小公倍数\Darr}\\ & A \cap B\ は\ \EndNo\ 以下の\ \KatuNo\ の倍数の集合であるから,\\ & \colMM{magenta}{ \EndNo\div\KatuNo=商\ \KatuNoLast\Darr}\\ & A \cap B = \{\AcapBrekkyo\}\\ \\ & よって,n(A \cap B) = \KatuNoLast(個)\\ \\ & \colBX{bisque}{$\Av$}\ の倍数\colBX{mistyrose}{または}\ \colBX{palegreen}{$\Bv$}\ の倍数全体の集合は\\ & A\ \colBX{mistyrose}{$\cup$}\ B\ であるから\ n(A \cup B)\ を求めればよい。\\ & \begin{align*}\\ \colMM{red}{\bf 和集合 } &\colMM{red}{\ は A たす B ひく {\bf 共通部分}} \\ n(A \cup B) &= n(A)+n(B)-n(A \cap B)\\ &= \Alast + \Blast - \KatuNoLast\\ &= \nAcupB(個) \end{align*}\\ \\ & \colBX{bisque}{$\Av$}\ の倍数でも\ \colBX{palegreen}{$\Bv$}\ の倍数でもない数全体の集合は\\ & \colMM{red}{\Longrightarrow \Av\ の倍数でない かつ \Bv\ の倍数でない}\\ & \overline{\,A\,}\ \cup\ \overline{\,B\,}\ であるから\ n(\overline{\,A\,} \cup \overline{\,B\,})\ を求めればよい。\\ & \begin{align*}\\ n(\overline{\,A\,} \cap \overline{\,B\,}) &= n(\overline{\,A \cup B\,})\\ &= n(U) - n(A \cup B)\\ &= \EndNo - \nAcupB\\ &= \nBarAcapBarB(個) \end{align*} \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
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1 から 200 までの整数のうち,次のような数は何個あるか。
(1)3の倍数
(2)3の倍数かつ5の倍数
(3)3の倍数または5の倍数
(4)3の倍数でも5の倍数でもない数
【解答】
\def\StartNo{1} \def\EndNo{200} \def\Av{3}\def\Alast{66} \def\Arekkyo{\colBX{bisque}{$\Av$}\cdot 1,\ \colBX{bisque}{$\Av$}\cdot 2,\ \colBX{bisque}{$\Av$}\cdot 3,\ \cdots,\ \colBX{bisque}{$\Av$}\cdot\Alast} \def\Bv{5}\def\Blast{40} \def\Brekkyo{\colBX{palegreen}{$\Bv$}\cdot 1,\ \colBX{palegreen}{$\Bv$}\cdot 2,\ \colBX{palegreen}{$\Bv$}\cdot 3,\ \cdots,\ \colBX{palegreen}{$\Bv$}\cdot\Blast} \def\KatuNo{15}\def\KatuNoLast{13} \def\AcapBrekkyo{\colBX{violet}{$\KatuNo$}\cdot 1,\ \colBX{violet}{$\KatuNo$}\cdot 2,\ \colBX{violet}{$\KatuNo$}\cdot 3,\ \cdots\,\cdots,\ \colBX{violet}{$\KatuNo$}\cdot\KatuNoLast} \def\nAcupB{93} \def\nBarAcapBarB{107} % \newcommand\colNS[2]{\textcolor{#1}{#2}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}} % \small \begin{align*} & \StartNo\ から\ \EndNo\ までの整数全体の集合を\ U\ とし,\\ & その中で\ \colBX{bisque}{$\Av$}\ の倍数全体の集合を\ A,\\ & \colNS{white}{その中で}\ \colBX{palegreen}{$\Bv$}\ の倍数全体の集合を\ B\ とすると,\\ & \colMM{orange}{ \EndNo\div\Av=商\ \Alast\Darr}\\ & A = \{\Arekkyo\}\\ & B = \{\Brekkyo\}\\ & \colMM{green}{ \EndNo\div\Bv=商\ \Blast\Uarr}\\ & である。\\ \\ & \StartNo\ から\ \EndNo\ までの整数全体の集合が\ U\ だから\\ & n(U) = \EndNo(個)\\ \\ & \colBX{bisque}{\Av}\ の倍数全体の集合は\ A\ だから\\ & n(A) = \Alast(個)\\ \\ & \colBX{palegreen}{\Bv}\ の倍数全体の集合は\ B\ だから\\ & n(B) = \Blast(個)\\ \\ & \colBX{bisque}{$\Av$}\ の倍数\colBX{mistyrose}{かつ}\ \colBX{palegreen}{$\Bv$}\ の倍数全体の集合は\\ & A\ \colBX{mistyrose}{$\cap$}\ B\ であるから\ n(A \cap B)\ を求めればよい。\\ & \colMM{red}{ \Av\ と\ \Bv\ の最小公倍数\Darr}\\ & A \cap B\ は\ \EndNo\ 以下の\ \KatuNo\ の倍数の集合であるから,\\ & \colMM{magenta}{ \EndNo\div\KatuNo=商\ \KatuNoLast\Darr}\\ & A \cap B = \{\AcapBrekkyo\}\\ \\ & よって,n(A \cap B) = \KatuNoLast(個)\\ \\ & \colBX{bisque}{$\Av$}\ の倍数\colBX{mistyrose}{または}\ \colBX{palegreen}{$\Bv$}\ の倍数全体の集合は\\ & A\ \colBX{mistyrose}{$\cup$}\ B\ であるから\ n(A \cup B)\ を求めればよい。\\ & \begin{align*}\\ \colMM{red}{\bf 和集合 } &\colMM{red}{\ は A たす B ひく {\bf 共通部分}} \\ n(A \cup B) &= n(A)+n(B)-n(A \cap B)\\ &= \Alast + \Blast - \KatuNoLast\\ &= \nAcupB(個) \end{align*}\\ \\ & \colBX{bisque}{$\Av$}\ の倍数でも\ \colBX{palegreen}{$\Bv$}\ の倍数でもない数全体の集合は\\ & \colMM{red}{\Longrightarrow \Av\ の倍数でない かつ \Bv\ の倍数でない}\\ & \overline{\,A\,}\ \cup\ \overline{\,B\,}\ であるから\ n(\overline{\,A\,} \cup \overline{\,B\,})\ を求めればよい。\\ & \begin{align*}\\ n(\overline{\,A\,} \cap \overline{\,B\,}) &= n(\overline{\,A \cup B\,})\\ &= n(U) - n(A \cup B)\\ &= \EndNo - \nAcupB\\ &= \nBarAcapBarB(個) \end{align*} \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan