整式の次数と定数項を求めよう

btakeshi

いよいよ数学らしくなっていきます。単項式を複数まとめたものを 多項式 と呼びます。新しく登場した多項式についても，単項式と同じように次数を考えることができるでしょうか。少しずつ世界を広げていく感覚を身につけると楽しくなっていきます。

多項式の整理

単項式の和として表される式を多項式といい，その１つ１つの単項式を，この多項式の項といいます。単項式と多項式を合わせて整式と呼びます。

整式の項の中で，文字の部分が同じである項を同類項といいます。整式に含まれる同類項は，係数の和を計算して，１つの項にまとめることができます。

【例えば】同類項をまとめよう

\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} & \colMM{red}{　\Darr 同類項　\Darr・・・文字の部分が同じ！}\\ & \colBX{mistyrose}{$5x^2$}+x\colBX{mistyrose}{$-2x^2$}+1\\ & \colMM{red}{　\darr　　\swarrow同類項をまとめる}\\ =\ & \colBX{mistyrose}{$5x^2-2x^2$}+x+1\\ & \colMM{orange}{　　\Darr 係数を計算}\\ =\ & \colBX{bisque}{$(5-2)x^2$}+x+1\\ \\ =\ & 3x^2+x+1 \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan

【気になる？】単項式の差も多項式？

単項式の和として表される式を 多項式 といいます。では単項式の差で表される式はどうなるのでしょうか。次の式変形を見てください。

\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*}\\ & 4x^2-5x-6\\ \\ =\ & 4x^2 \colBX{mistyrose}{$+$}(-5x)\colBX{mistyrose}{$+$}(-6) \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan

このように負の数を足すと考えれば，差は和と同じ計算だと考えられます。よって単項式の差も多項式ということになります。

余談ですが，和と差だけではなく，積と商も同じ計算です。心にとめておくと見えてくる世界が変わってくるはずです。

【英語で】単項式と多項式

単項式は英語で

Monomial

多項式は英語で

Polynomial

違いにお気づきでしょうか。そう Mono と Poly です。それぞれ単語の先頭につけて意味を加える接頭辞です。

Mono は「ひとつの」という意味を付け加えます。例えば，monochrome（モノクロ・単色），monocycle（一輪車），monorail（モノレール・レール１本）といった具合です。

Poly は「たくさんの」という意味を付け加えます。例えば，polygon（多角形・3Dゲーム），polyethylene（ポリエチレン・複数エチレン化合物），polyester（ポリエステル・高分子化合物）などがあります。

数学の言葉は，英語で考えると意味が分かりやすいことがあります。意識して英語にしてみるのもオススメです。

【余談】「MONO」といえば

単項式は英語で

Monomial

でした。単語の先頭についている「MONO」という響きにピンと来た人もいるはずです。そう消しゴムの名前ですね。名前は知らないという人もコレを見たら分かりますよね。

リンク

こちらの「MONO」は，ギリシャ語「monos」から来ているそうです。唯一のとか，比類なきという意味があります。詳しくは株式会社トンボ鉛筆のページをどうぞ。

同類項をまとめて整理した多項式において，各項の次数のうちで最大のものを，その多項式の次数といいます。また，次数が $n$ の多項式を $n$ 次式と呼びます。

【例えば】

3x^2+x+1

は何次？

\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} & \colMM{orange}{　\ 次数\ 1\ \Darr}　\colMM{green}{\Darr 次数\ 0}\\ & \colBX{mistyrose}{$3x^2$}\,\colBX{bisque}{$+x$}\colBX{palegreen}{$+1$}\\ & \colMM{red}{　\Uarr 次数\ 2\ （最大の項）}\\ よって &\\ & \ x\ について\ \colUL{red}{\colBX{mistyrose}{$2$}\ 次の多項式}である。\\ & 　　　　　　　　\colMM{red}{\Darr}\\ & 3x^2+x+1 は\ \colUL{red}{\colBX{mistyrose}{$2$}次式}である。 \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan

【例えば】

2x-3x^3+3

は何次？

\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} & \colMM{orange}{\Darr\ 次数\ 1}　　　\colMM{green}{\Darr 次数\ 0}\\ & \colBX{bisque}{$2x$}\,\colBX{mistyrose}{$-3x^3$}\,\colBX{palegreen}{$+3$}\\ & \colMM{red}{　　　　\Uarr 次数\ 3\ （最大の項）}\\ よって &\\ & \ x\ について\ \colUL{red}{\colBX{mistyrose}{$3$}\ 次の多項式}である。\\ & 　　　　　　　　\colMM{red}{\Darr}\\ & 2x-3x^3+3 は\ \colUL{red}{\colBX{mistyrose}{$3$}次式}である。 \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan

次の整式の同類項をまとめよ。また，この多項式は $x$ について何次の多項式か答えよ。