三角形の面積（２辺と間の角）

btakeshi

三角形の面積といえば「底辺 $\times$ 高さ $\div 2$ 」ですが，これからは「２辺と間の角」と覚えましょう。三角形の面積を求める公式はたくさんありますが，最初に「２辺と間の角」を探してください。

練習問題にチャレンジ！

何度も解いて体で覚えましょう！

次のような $\triangle{\rm ABC}$ の面積 $S$ を求めよ。

a=3

，

b=4

，

C=120^{\circ}

面積⇒図を書いて「２辺と間の角」を探す！

【解答】

\def\henA{3} \def\henB{4} \def\kakuC{120} \begin{align*} & \color{red}\scriptsize 　　\frac12 \times 　　２辺　　 \times \sin(間の角)\\ S &= \dfrac12 \times \colorbox{mistyrose}{$\henA$} \times \colorbox{mistyrose}{$\henB$} \times \sin\colorbox{cyan}{$\kakuC^{\circ}$}\\ & \color{green}\scriptsize 　　　　　　　　　　　\Uarr 90^{\circ}以上\\ &= 6 \times \sin 60^{\circ} \color{green}\scriptsize\Leftarrow 180^{\circ}-120^{\circ}\\ \\ &= 6 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ \\ &= 3\sqrt{3} \end{align*}

b=10

，

c=8

，

A=45^{\circ}

面積⇒図を書いて「２辺と間の角」を探す！

【解答】

\def\henA{8} \def\henB{10} \def\kakuC{45} \begin{align*} & \color{red}\scriptsize 　　\frac12 \times 　　２辺　　 \times \sin(間の角)\\ S &= \dfrac12 \times \colorbox{mistyrose}{$\henA$} \times \colorbox{mistyrose}{$\henB$} \times \sin\colorbox{cyan}{$\kakuC^{\circ}$}\\ \\ &= 40 \times \dfrac{1}{\sqrt{2}}\\ \\ &= \dfrac{40}{\sqrt{2}}\\ & \color{red}\scriptsize 　 　　　　　\Darr 分母・分子 \times\sqrt{2}\\ &= \dfrac{40}{\sqrt{2}} \times \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\\ \\ &= \dfrac{40\sqrt{2}}{2} = 20\sqrt{2} \end{align*}

a=6

，

c=5

，

B=150^{\circ}

面積⇒図を書いて「２辺と間の角」を探す！

【解答】

\def\henA{5} \def\henB{6} \def\kakuC{150} \begin{align*} & \color{red}\scriptsize 　　\frac12 \times 　　２辺　　 \times \sin(間の角)\\ S &= \dfrac12 \times \colorbox{mistyrose}{$\henA$} \times \colorbox{mistyrose}{$\henB$} \times \sin\colorbox{cyan}{$\kakuC^{\circ}$}\\ & \color{green}\scriptsize 　　　　　　　　　　　\Uarr 90^{\circ}以上\\ &= 15 \times \sin 30^{\circ} \color{green}\scriptsize\Leftarrow 180^{\circ}-150^{\circ}\\ \\ &= 15 \times \dfrac{1}{2}\\ \\ &= \dfrac{15}{2} \end{align*}

１辺の長さが

4

の正三角形 $\rm ABC$

面積⇒図を書いて「２辺と間の角」を探す！

いつも同じ図でごめんなさい。
まぁ気になる人は正三角形を書きましょう。

【解答】

\def\henA{4} \def\henB{4} \def\kakuC{60} \begin{align*} & \color{red}\scriptsize 　　\frac12 \times 　　２辺　　 \times \sin(間の角)\\ S &= \dfrac12 \times \colorbox{mistyrose}{$\henA$} \times \colorbox{mistyrose}{$\henB$} \times \sin\colorbox{cyan}{$\kakuC^{\circ}$}\\ \\ &= 8 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ \\ &= 4\sqrt{3} \end{align*}

a=6

，

b=5

，

C=30^{\circ}

面積⇒図を書いて「２辺と間の角」を探す！

【解答】

\def\henA{6} \def\henB{5} \def\kakuC{30} \begin{align*} & \color{red}\scriptsize 　　\frac12 \times 　　２辺　　 \times \sin(間の角)\\ S &= \dfrac12 \times \colorbox{mistyrose}{$\henA$} \times \colorbox{mistyrose}{$\henB$} \times \sin\colorbox{cyan}{$\kakuC^{\circ}$}\\ \\ &= 15 \times \dfrac{1}{2}\\ \\ &= \dfrac{15}{2} \end{align*}

b=2

，

c=3

，

A=120^{\circ}

面積⇒図を書いて「２辺と間の角」を探す！

【解答】

\def\henA{3} \def\henB{2} \def\kakuC{120} \begin{align*} & \color{red}\scriptsize 　　\frac12 \times 　　２辺　　 \times \sin(間の角)\\ S &= \dfrac12 \times \colorbox{mistyrose}{$\henA$} \times \colorbox{mistyrose}{$\henB$} \times \sin\colorbox{cyan}{$\kakuC^{\circ}$}\\ & \color{green}\scriptsize 　　　　　　　　　　　\Uarr 90^{\circ}以上\\ &= 3 \times \sin 60^{\circ} \color{green}\scriptsize\Leftarrow 180^{\circ}-120^{\circ}\\ \\ &= 3 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ \\ &= \dfrac{3\sqrt{3}}{2} \end{align*}

a=2\sqrt{2}

，

c=3

，

B=45^{\circ}

面積⇒図を書いて「２辺と間の角」を探す！

【解答】

\def\henA{3} \def\henB{2\sqrt{2}} \def\kakuC{45} \begin{align*} & \color{red}\scriptsize 　　\frac12 \times 　　２辺　　 \times \sin(間の角)\\ S &= \dfrac12 \times \colorbox{mistyrose}{$\henA$} \times \colorbox{mistyrose}{$\henB$} \times \sin\colorbox{cyan}{$\kakuC^{\circ}$}\\ \\ &= 3\sqrt{2} \times \dfrac{1}{\sqrt{2}}\\ \\ &= 3 \end{align*}

a=3

，

b=5

，

C=150^{\circ}

面積⇒図を書いて「２辺と間の角」を探す！

【解答】

\def\henA{3} \def\henB{5} \def\kakuC{150} \begin{align*} & \color{red}\scriptsize 　　\frac12 \times 　　２辺　　 \times \sin(間の角)\\ S &= \dfrac12 \times \colorbox{mistyrose}{$\henA$} \times \colorbox{mistyrose}{$\henB$} \times \sin\colorbox{cyan}{$\kakuC^{\circ}$}\\ & \color{green}\scriptsize 　　　　　　　　　　　\Uarr 90^{\circ}以上\\ &= \dfrac{15}{2} \times \sin 30^{\circ} \color{green}\scriptsize\Leftarrow 180^{\circ}-150^{\circ}\\ \\ &= \dfrac{15}{2} \times \dfrac{1}{2}\\ \\ &= \dfrac{15}{4} \end{align*}

１辺の長さが

6

の正三角形 $\rm ABC$

面積⇒図を書いて「２辺と間の角」を探す！

いつも同じ図でごめんなさい。
まぁ気になる人は正三角形を書きましょう。

【解答】

\def\henA{6} \def\henB{6} \def\kakuC{60} \begin{align*} & \color{red}\scriptsize 　　\frac12 \times 　　２辺　　 \times \sin(間の角)\\ S &= \dfrac12 \times \colorbox{mistyrose}{$\henA$} \times \colorbox{mistyrose}{$\henB$} \times \sin\colorbox{cyan}{$\kakuC^{\circ}$}\\ \\ &= 18 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ \\ &= 9\sqrt{3} \end{align*}

編集ログ

20211113…初版公開。問題数９。しばらくコンテンツを作っていませんでしたが、久しぶりに動いてみました。とりあえず問題だけ。解説も入れようとすると時間ばかりかかるので、当面は問題集であることを全面に、問題数を多めに入れていきたいと思います。