微分して，極値を求めよう

完成度２０％

授業で使うため，このページを作り始めたばかりです。したがって問題もほとんどありません。少しずつ問題を増やしていきます。ご期待ください。😞

練習問題にチャレンジ♪

さっそく練習問題にチャレンジしましょう。

【解答】

\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\begin{align*}
\colMM{red}{代入が} & \colMM{red}{便利だから}\\
f(x) = x^3-3x^2+3 と & おく。\\
\colMM{red}{微分係} & \colMM{red}{数の正負を調べるために}\\
f'(x) = 3x^2-6x 　\  &\\
\colMM{red}{正負の} & \colMM{red}{境を見つけるために}\\
\colBX{bisque}{$f'(x)=0$} とすると & \colMM{orange}{\Rightarrow ２段目へ}\\
3x^2-6x &= 0\\
x^2 -2x&= 0\\
x(x-2) &= 0\\
x &= \colBX{palegreen}{$0$},\ \colBX{palegreen}{$2$} \colMM{green}{\Rightarrow １段へ}\\
\colMM{red}{増加す} & \colMM{red}{る部分を探すために}\\
\colBX{violet}{$f'(x)>0$} とすると\\
3x^2-6x &> 0\\
x^2 -2x&> 0\\
x(x-2) &> 0\\
x<\colBX{palegreen}{$0$},\ \colBX{palegreen}{$2$} &< x \colMM{purple}{\Rightarrow ２段「＋」３段「\nearrow」}\\
\colMM{red}{減少す} & \colMM{red}{る部分を探すために}\\
\colBX{lightcyan}{$f'(x)<0$} とすると\\
3x^2-6x &< 0\\
x^2 -2x&< 0\\
x(x-2) &< 0\\
\colBX{palegreen}{$0$} < x &< \colBX{palegreen}{$2$}\ \colMM{deepskyblue}{\Rightarrow ２段「-」３段「\searrow」}\\
\colMM{red}{３段目} & \colMM{red}{の値を計算する}\\
f(\colBX{palegreen}{$0$}) =& 0^3-3 \cdot 0^2 + 3 = 3\\
f(\colBX{palegreen}{$2$}) =& 2^3-3 \cdot 2^2 + 3 = -1\\
\\
\colMM{red}{準備完} & \colMM{red}{了！増減表を書く！}
\end{align*}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\def\arraystretch{1.5}
\begin{array}{c||c|c|c|c|c}\hline
x & \cdots & \colBX{palegreen}{$0$} & \cdots & \colBX{palegreen}{$2$} & \cdots \\\hline
f'(x) & \colBX{violet}{$+$} & \colBX{bisque}{$0$} & \colBX{lightcyan}{$-$} & \colBX{bisque}{$0$} & \colBX{violet}{$+$}\\\hline
f(x) & \colBX{violet}{$\nearrow$} & \substack{極大\\3} & \colBX{lightcyan}{$\searrow$} & \substack{極小\\-1} & \colBX{violet}{$\nearrow$}\\\hline
\end{array}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\begin{align*}
したがって,\ f(x)\ は　 \\
\\
x=0\ で\ 極大 &値\ 3\\
x=2\ で\ 極小 &値\ -1\\
\end{align*}

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【解答】

\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\begin{align*}
\colMM{red}{代入が} & \colMM{red}{便利だから}\\
f(x) = x^3-6x^2+9x と & おく。\\
\colMM{red}{微分係} & \colMM{red}{数の正負を調べるために}\\
f'(x) = 3x^2-12x+9 　\  &\\
\colMM{red}{正負の} & \colMM{red}{境を見つけるために}\\
\colBX{bisque}{$f'(x)=0$} とすると & \colMM{orange}{\Rightarrow ２段目へ}\\
3x^2-12x+9 &= 0\\
x^2 -4x+3 &= 0\\
(x-1)(x-3) &= 0\\
x &= \colBX{palegreen}{$1$},\ \colBX{palegreen}{$3$} \colMM{green}{\Rightarrow １段へ}\\
\colMM{red}{増加す} & \colMM{red}{る部分を探すために}\\
\colBX{violet}{$f'(x)>0$} とすると\\
3x^2-12x+9 &> 0\\
x^2 -4x+3 &> 0\\
(x-1)(x-3) &> 0\\
x<\colBX{palegreen}{$1$},\ \colBX{palegreen}{$3$} &< x \colMM{purple}{\Rightarrow ２段「＋」３段「\nearrow」}\\
\colMM{red}{減少す} & \colMM{red}{る部分を探すために}\\
\colBX{lightcyan}{$f'(x)<0$} とすると\\
3x^2-12x+9 &< 0\\
x^2 -4x+3 &< 0\\
(x-1)(x-3) &< 0\\
\colBX{palegreen}{$1$} < x &< \colBX{palegreen}{$3$}\ \colMM{deepskyblue}{\Rightarrow ２段「-」３段「\searrow」}\\
\colMM{red}{３段目} & \colMM{red}{の値を計算する}\\
f(\colBX{palegreen}{$1$}) =& 1^3-6 \cdot 1^2 + 9 \cdot 1\\
=& 1-6+9 = 4\\
f(\colBX{palegreen}{$3$}) =& 3^3-6 \cdot 3^2 + 9 \cdot 3\\
=& 27-54+27 = 0\\
\\
\colMM{red}{準備完} & \colMM{red}{了！増減表を書く！}
\end{align*}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\def\arraystretch{1.5}
\begin{array}{c||c|c|c|c|c}\hline
x & \cdots & \colBX{palegreen}{$1$} & \cdots & \colBX{palegreen}{$3$} & \cdots \\\hline
f'(x) & \colBX{violet}{$+$} & \colBX{bisque}{$0$} & \colBX{lightcyan}{$-$} & \colBX{bisque}{$0$} & \colBX{violet}{$+$}\\\hline
f(x) & \colBX{violet}{$\nearrow$} & \substack{極大\\4} & \colBX{lightcyan}{$\searrow$} & \substack{極小\\0} & \colBX{violet}{$\nearrow$}\\\hline
\end{array}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\begin{align*}
したがって,\ f(x)\ は\\
\\
x=1\ で &\ 極大値\ 4\\
x=3\ で &\ 極小値\ 0\\
\end{align*}

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微分して，関数の増減を調べよう

練習問題にチャレンジ♪

さっそく練習問題にチャレンジしましょう。

【解答】

\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\begin{align*}
f'(x) = 3x^2-3 　\ \ \  &\\
\\
\colBX{bisque}{$f'(x)=0$} とすると\\
3x^2-3 &= 0\\
3x^2 &= 3\\
x^2 &= 1\\
x &= \colBX{palegreen}{$-1$},\ \colBX{palegreen}{$1$}\\
\\
\colBX{violet}{$f'(x)>0$} とすると\\
3x^2-3 &> 0\\
x^2-1 &> 0\\
(x+1)(x-1) &> 0\\
x<\colBX{palegreen}{$-1$},\ \colBX{palegreen}{$1$} &< x\\
\\
\colBX{lightcyan}{$f'(x)<0$} とすると\\
3x^2-3 &< 0\\
x^2-1 &< 0\\
(x+1)(x-1) &< 0\\
\colBX{palegreen}{$-1$} < x &< \colBX{palegreen}{$1$}
\end{align*}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\def\arraystretch{1.2}
\begin{array}{c||c|c|c|c|c}\hline
x & \cdots & \colBX{palegreen}{$-1$} & \cdots & \colBX{palegreen}{$1$} & \cdots \\\hline
f'(x) & \colBX{violet}{$+$} & \colBX{bisque}{$0$} & \colBX{lightcyan}{$-$} & \colBX{bisque}{$0$} & \colBX{violet}{$+$}\\\hline
f(x) & \colBX{violet}{$\nearrow$} & 2 & \colBX{lightcyan}{$\searrow$} & -2 & \colBX{violet}{$\nearrow$}\\\hline
\end{array}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\begin{align*}
したがって,\ f(x)\ は\\
\\
\colBX{violet}{$x \leqq -1$},\ \colBX{violet}{$1 \leqq x$} &\ で増加し\\
\\
\colBX{lightcyan}{$-1 \leqq x \leqq 1$} &\ で減少する
\end{align*}

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極値の応用

ポイントを確認！

気になるところをタップして確認しましょう。

関数 f(x) が x=\colorbox{mistyrose}{$a$} で極値をとるならば

f'(\colorbox{mistyrose}{$a$}) = 0

例えば，関数 f(x) が x=\colorbox{mistyrose}{$2$} で極小値 \colorbox{lightcyan}{$-6$} をとるならば

f'(\colorbox{mistyrose}{$2$}) = 0

さらに x=\colorbox{mistyrose}{$2$} のとき y=\colorbox{lightcyan}{$-6$} でもあるから

f(\colorbox{mistyrose}{$2$}) = \colorbox{lightcyan}{$-6$}

となります。2つの式があれば，2つの文字を求めることができます。

f'(a)=0 だからと言って，x=a で極値をとる・・・とは限らないので注意しましょう。逆は成り立つとは限りません。

練習問題にチャレンジ♪

さっそく練習問題にチャレンジしましょう。

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【解答】

キーワード「極大値」⇒微分せよ！

f(x)=x^3+ax+b を微分すると

f'(x) = 3x^2+a

関数 f(x)= x^3+ax+b が x=\colorbox{mistyrose}{$2$} で極小値 -6 をとるから　微分係数 f'(2) が０

\begin{align*}
f'(\colorbox{mistyrose}{$2$}) &= 0\\
3\cdot 2^2+a &= 0\\
12+a &= 0\\
a &= -12
\end{align*}

よって，求めた値 a を最初の式 f(x) に代入

f(x) = x^3-12x+b

また，関数 f(x)= x^3-12x+b が x=\colorbox{mistyrose}{$2$} で極小値 \colorbox{lightcyan}{$-6$} をとるから 

\begin{align*}
f(\colorbox{mistyrose}{$2$}) &= \colorbox{lightcyan}{$-6$}\\
2^3-12 \cdot 2 +b &= -6\\
8-24+b &= -6\\
-16+b &= -6\\
b &= -6+16\\
b &= 10
\end{align*}

よって， 求めた値 b を最初の式 f(x) に代入 

\begin{align*}
f(x) &= x^3-12x+10
\end{align*}

キーワード「極大値」⇒微分せよ！

f'(x) = 3x^2-12
f'(x)=0 とすれば

\begin{align*}
3x^2-12 &= 0\\
x^2-4 &= 0\\
x^2 &= 4\\
x &= -2,\ 2
\end{align*}

よって，増減表は下のようになる。

\def\arraystretch{1.3}
\begin{array}{c|c|c|c|c|c}\hline
x & \cdots & -2 & \cdots & 2 & \cdots\\\hline
f'(x) & + & 0 & - & 0 & +\\\hline
f(x) & \nearrow & 26 & \searrow & -6 & \nearrow\\\hline
\end{array}

したがって，x=-2 のとき，極大値 26 をとる。

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【解答】

キーワード「極大値」⇒微分せよ！

f(x)=x^3+ax^2-9x+b を微分すると 

f'(x) = 3x^2+2ax-9

関数 f(x)=x^3+ax^2-9x+b が x=\colorbox{mistyrose}{$-1$} で極大値 8 をとるから　微分係数 f'(-1) が０

\begin{align*}
f'(\colorbox{mistyrose}{$-1$}) &= 0\\
3(-1)^2+2a(-1)-9 &= 0\\
3-2a-9 &= 0\\
-2a-6 &= 0\\
-2a &= 6\\
a &= -3
\end{align*}

よって，求めた値 a を最初の式 f(x) に代入

f(x) = x^3-3x^2-9x+b

また，関数 f(x)=x^3+ax^2-9x+b が x=\colorbox{mistyrose}{$-1$} で極大値 \colorbox{lightcyan}{$8$} をとるから 

\begin{align*}
f(\colorbox{mistyrose}{$-1$}) &= \colorbox{lightcyan}{$8$}\\
(-1)^3-3(-1)^2-9(-1)+b &= 8\\
-1-3+9+b &= 8\\
5+b &= 8\\
b &= 8-5\\
b &= 3
\end{align*}

よって， 求めた値 b を最初の式 f(x) に代入 

\begin{align*}
f(x) &= x^3-3x^2-9x+3
\end{align*}

キーワード「極小値」⇒微分せよ！

f'(x) = 3x^2-6x-9
f'(x)=0 とすれば

\begin{align*}
3x^2-6x-9 &= 0\\
x^2-2x-3 &= 0\\
(x+1)(x-3) &= 0\\
x &= -1,\ 3
\end{align*}

よって，増減表は下のようになる。

\def\arraystretch{1.3}
\begin{array}{c|c|c|c|c|c}\hline
x & \cdots & -1 & \cdots & 3 & \cdots\\\hline
f'(x) & + & 0 & - & 0 & +\\\hline
f(x) & \nearrow & 8 & \searrow & -24 & \nearrow\\\hline
\end{array}

したがって，x=3 のとき，極小値 -24 をとる。

【解答】

キーワード「極大値」⇒微分せよ！

f(x)=x^3+ax+b を微分すると 

f'(x) = 3x^2+a

関数 f(x)=x^3+ax+b が x=\colorbox{mistyrose}{$-1$} で極大値 4 をとるから　微分係数 f'(-1) が０

\begin{align*}
f'(\colorbox{mistyrose}{$-1$}) &= 0\\
3(-1)^2+a &= 0\\
3+a &= 0\\
a &= -3
\end{align*}

よって，求めた値 a を最初の式 f(x) に代入

f(x) = x^3-3x+b

また，関数 f(x)=x^3-3x+b が x=\colorbox{mistyrose}{$-1$} で極大値 \colorbox{lightcyan}{$4$} をとるから 

\begin{align*}
f(\colorbox{mistyrose}{$-1$}) &= \colorbox{lightcyan}{$4$}\\
(-1)^3-3(-1)+b &= 4\\
-1+3+b &= 4\\
2+b &= 4\\
b &= 4-2\\
b &= 2
\end{align*}

よって， 求めた値 b を最初の式 f(x) に代入 

\begin{align*}
f(x) &= x^3-3x+2
\end{align*}

キーワード「極小値」⇒微分せよ！

f'(x) = 3x^2-3
f'(x)=0 とすれば

\begin{align*}
3x^2-3 &= 0\\
x^2-1 &= 0\\
x^2 &= 1\\
x &= -1,\ 1
\end{align*}

よって，増減表は下のようになる。

\def\arraystretch{1.3}
\begin{array}{c|c|c|c|c|c}\hline
x & \cdots & -1 & \cdots & 1 & \cdots\\\hline
f'(x) & + & 0 & - & 0 & +\\\hline
f(x) & \nearrow & 4 & \searrow & 0 & \nearrow\\\hline
\end{array}

したがって，x=1 のとき，極小値 0 をとる。

【解答】

キーワード「極大値」⇒微分せよ！

f(x)= x^3+ax^2+bx+c を微分すると 

f'(x) = 3x^2+2ax+b

関数 f(x)= x^3+ax^2+bx+c が x=\colorbox{mistyrose}{$-1$} で極大値 4 をとるから　微分係数 f'(-1) が０

\begin{align*}
f'(\colorbox{mistyrose}{$-1$}) &= 0\\
3(-1)^2+2a(-1)+b &= 0\\
3-2a+b &= 0\\
-2a+b &= -3\\
2a-b &= 3\ \cdots\ ①
\end{align*}

関数 f(x)= x^3+ax^2+bx+c が x=\colorbox{mistyrose}{$3$} で極小値をとるから　微分係数 f'(3) が０

\begin{align*}
f'(\colorbox{mistyrose}{$3$}) &= 0\\
3 \cdot 3^2+2a \cdot 3+b &= 0\\
27+6a+b &= 0\\
6a+b &= -27\ \cdots\ ②
\end{align*}

②＋①より

\begin{array}{rrlrl}
6a & +1b & = & -27 & \cdots ②\\
+）2a & -1b & = & 3 & \cdots ①\\\hline
8a & & = & -24\\
a & & = & -3 & \cdots ③
\end{array}

よって，①より　求めた値 a を式①に代入

\begin{align*}
2 (-3) -b & = 3\\
-6 -b & = 3\\
-b & = 3+6\\
-b & = 9\\
b &= -9 \cdots ④
\end{align*}

よって，③④を関数 f(x) に代入すれば

f(x) = x^3-3x^2-9x+c

関数 f(x)= x^3-3x^2-9x+c が x=\colorbox{mistyrose}{$-1$} で極大値 4 をとるから

\begin{align*}
f(\colorbox{mistyrose}{$-1$}) &= \colorbox{lightcyan}{$4$}\\
(-1)^3-3(-1)^2-9(-1)+c &= 4\\
-1-3+9+c &= 4\\
5+c &= 4\\
c &= 4-5\\
c &= -1
\end{align*}

したがって

\begin{align*}
f(x) &= x^3-3x^2-9x-1
\end{align*}

キーワード「極小値」⇒微分せよ！

f'(x) = 3x^2-6x-9
f'(x)=0 とすれば

\begin{align*}
3x^2-6x-9 &= 0\\
x^2-2x-3 &= 0\\
(x+1)(x-3) &= 0\\
x &= -1,\ 3
\end{align*}

よって，増減表は下のようになる。

\def\arraystretch{1.3}
\begin{array}{c|c|c|c|c|c}\hline
x & \cdots & -1 & \cdots & 3 & \cdots\\\hline
f'(x) & + & 0 & - & 0 & +\\\hline
f(x) & \nearrow & 4 & \searrow & -26 & \nearrow\\\hline
\end{array}

したがって，x=3 のとき，極小値 -28 をとる。

  • 20211221…初版公開。問題数４。