指数関数を含む不等式を解く

完成度20%

授業で使うため,このページを作り始めたばかりです。したがって問題もほとんどありません。少しずつ問題を増やしていきます。ご期待ください。😞

練習問題にチャレンジ♪

さっそく練習問題にチャレンジしましょう。

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【解答】

\def\LeftB{2}
\def\LeftI{x}
\def\RightV{8}
\def\RightB{2}
\def\RightI{3}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\LeftB^{\LeftI} &\geqq \colBX{bisque}{$\RightV$}\\
& \colMM{orange}{  \Darr ◯^{▲}に}\\
\colBX{palegreen}{$\LeftB$}^{\LeftI} &\geqq \colBX{palegreen}{$\RightB$}^{\RightI}\\
\\
\small 底\ \colBX{palegreen}{$\LeftB$}\ は\ 1\  & より大きいから\\
& \colMM{green}{2\ を消しても大丈夫}\\
\LeftI &\geqq \RightI
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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【解答】

\def\LeftB{\dfrac13}
\def\LeftI{x+1}
\def\RightB{\dfrac19}
\def\RightI{x}
\def\RightBB{\dfrac13}
\def\RightII{2}
\def\RightIII{2x}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\left(\LeftB\right)^{\LeftI} &< \left(\RightB\right)^{\RightI}\\
& \colMM{orange}{  \Darr ◯^{▲}に}\\
\left(\LeftB\right)^{\LeftI} &< \left\{\left(\RightBB\right)^{\RightII}\right\}^{\RightI}\\
\\
\left(\colBX{palegreen}{$\LeftB$}\right)^{\LeftI} &\colBX{mistyrose}{$<$} \left(\colBX{palegreen}{$\RightBB$}\right)^{\RightIII}\\
\\
\small 底\ \colBX{palegreen}{$\LeftB$}\ は\ 1\  & より小さいから\\
\colMM{green}{\LeftB\ を消すと} & \colMM{green}{不等号の向きが変わる!}\\
\LeftI &\colBX{mistyrose}{$>$} \RightIII\\
\\
x-2x &> -1\\
\\
-x &> -1\\
\\
x &< 1
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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【解答】

\def\LeftB{3}
\def\LeftI{x}
\def\RightV{81}
\def\RightB{3}
\def\RightI{4}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\LeftB^{\LeftI} &< \colBX{bisque}{$\RightV$}\\
& \colMM{orange}{  \Darr ◯^{▲}に}\\
\colBX{palegreen}{$\LeftB$}^{\LeftI} &< \colBX{palegreen}{$\RightB$}^{\RightI}\\
\\
\small 底\ \colBX{palegreen}{$\LeftB$}\ は\ 1\  & より大きいから\\
& \colMM{green}{2\ を消しても大丈夫}\\
\LeftI &< \RightI
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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【解答】

\def\LeftB{\dfrac12}
\def\LeftI{x}
\def\RightV{\dfrac{1}{32}}
\def\RightB{\dfrac12}
\def\RightI{5}
\def\RightBB{\dfrac13}
\def\RightII{2}
\def\RightIII{2x}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\left(\LeftB\right)^{\LeftI} &\geqq \RightV\\
& \colMM{orange}{  \Darr ◯^{▲}に}\\
\left(\colBX{palegreen}{$\LeftB$}\right)^{\LeftI} &\colBX{mistyrose}{$\geqq$} \left(\colBX{palegreen}{$\RightB$}\right)^{\RightI}\\
\\
\small 底\ \colBX{palegreen}{$\LeftB$}\ は\ 1\  & より小さいから\\
\colMM{green}{\LeftB\ を消すと} & \colMM{green}{不等号の向きが変わる!}\\
\LeftI &\colBX{mistyrose}{$\leqq$} \RightI\\
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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指数関数を利用して大小を比べよう

練習問題にチャレンジ♪

さっそく練習問題にチャレンジしましょう。

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【解答】

\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\begin{align*}
& \colMM{orange}{\Rightarrow ルートを消す}\\
\sqrt{2} &= \sqrt[2]{2^1} = \colBX{palegreen}{$2^{\frac12}$} \colMM{magenta}{\ \cdots\ 指数\ \frac12=0.5\ ①}\\
\\
\sqrt[3]{4} &= \sqrt[3]{2^2} = \colBX{palegreen}{$2^{\frac23}$} \colMM{magenta}{\ \cdots\ 指数\ \frac23 \fallingdotseq 0.66\ ③}\\
\\
\sqrt[5]{8} &= \sqrt[5]{2^3} = \colBX{palegreen}{$2^{\frac35}$} \colMM{magenta}{\ \cdots\ 指数\ \frac35=0.6\ ②}\\
&     \colMM{green}{そろった!}
\end{align*}

指数の大小を調べると 指数を比べる

\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\begin{array}{rcl}
\colMM{magenta}{① <} & \colMM{magenta}{②} & \colMM{magenta}{< ③}\\
\dfrac12 <  & \dfrac35 & < \dfrac23
\end{array}

底2は1より大きいから 2の肩に乗せても大小変わらない!

\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\begin{align*}
2^{\frac12} < & \ 2^{\frac35} < 2^{\frac23}\\
& \colMM{orange}{\Darr ルートに戻す}\\
\sqrt{2} < & \ \sqrt[5]{3} < \sqrt[3]{2}
\end{align*}

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【解答】

\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\begin{align*}
& \colMM{orange}{\Rightarrow ルートを消す}\\
\sqrt[3]{4} &= \sqrt[3]{2^2} = \colBX{palegreen}{$2^{\frac23}$} \colMM{magenta}{\ \cdots\ 指数\ \frac23=0.66\ ②}\\
\\
\sqrt[4]{8} &= \sqrt[4]{2^3} = \colBX{palegreen}{$2^{\frac34}$} \colMM{magenta}{\ \cdots\ 指数\ \frac34 \fallingdotseq 0.75\ ①}\\
\\
\sqrt[5]{8} &= \sqrt[5]{2^3} = \colBX{palegreen}{$2^{\frac35}$} \colMM{magenta}{\ \cdots\ 指数\ \frac35=0.6\ ③}\\
&     \colMM{green}{そろった!}
\end{align*}

指数の大小を調べると 指数を比べる

\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\begin{array}{rcl}
\colMM{magenta}{① <} & \colMM{magenta}{②} & \colMM{magenta}{< ③}\\
\dfrac12 <  & \dfrac35 & < \dfrac23
\end{array}

底2は1より大きいから 2の肩に乗せても大小変わらない!

\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\begin{align*}
2^{\frac12} < & \ 2^{\frac35} < 2^{\frac23}\\
& \colMM{orange}{\Darr ルートに戻す}\\
\sqrt{2} < & \ \sqrt[5]{3} < \sqrt[3]{2}
\end{align*}

指数を含む方程式を解く

btakeshi
btakeshi

指数関数を含む方程式

ポイントを確認!

気になるところをタップして確認しましょう。

指数方程式を解くためのポイントは

式の中に 〇^{▲} になおせる部分はありませんか。あったら変形しましょう。

16 = 2^{4}  とか 27 = 3^{3} 

ついでに分数もなおしてしまいましょう。分母が 〇^{▲} になおせるなら

\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\begin{align*}
& \colMM{red}{②マイナス3乗}\\
\dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{2^3} = 2^{-3}\\
\colMM{red}{①分母の3乗は \Uarr}   
\end{align*}

練習問題にチャレンジ!

何度も解いて体で覚えましょう!

次の方程式を解け。

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【解答】

\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFM[2]{\fcolorbox{#1}{white}{#2}}


\begin{align*}
8^{x} &= 4\\
\colMM{orange}{○^{▲}になおす \Darr  }  &  \ \colMM{orange}{\Darr ○^{▲}になおす}\\
(2^{\colBX{palegreen}{$\scriptsize 3$}})^{\colBX{palegreen}{$\scriptsize x$}} &= 2^2\\
\colMM{green}{かける \Darr \ }\\
\colFM{magenta}{$2$}^{\colBX{palegreen}{$\scriptsize 3x$}} &= \colFM{magenta}2^2\\
\colMM{magenta}{底がそろった\ } & \colMM{magenta}{\ \Darr\ 底を消す}\\
3x &= 2\\
\\
x &= \dfrac23
\end{align*}

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【解答】

\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFM[2]{\fcolorbox{#1}{white}{#2}}


\begin{align*}
9^{x} &= 3^{x+1}\\
\colMM{orange}{○^{▲}になおす \Darr  }  & \\
(3^{\colBX{palegreen}{$\scriptsize 2$}})^{\colBX{palegreen}{$\scriptsize x$}} &= 3^{x+1}\\
\colMM{green}{かける \Darr \ }\\
\colFM{magenta}{$3$}^{\colBX{palegreen}{$\scriptsize 2x$}} &= \colFM{magenta}3^{x+1}\\
\colMM{magenta}{底がそろった\ } & \colMM{magenta}{\ \Darr\ 底を消す}\\
2x &= x+1\\
2x-x &= 1\\
x &= 1
\end{align*}

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【解答】

\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFM[2]{\fcolorbox{#1}{white}{#2}}


\begin{align*}
4^{x} &= 8\\
\colMM{orange}{○^{▲}になおす \Darr  }  &  \ \colMM{orange}{\Darr ○^{▲}になおす}\\
(2^{\colBX{palegreen}{$\scriptsize 2$}})^{\colBX{palegreen}{$\scriptsize x$}} &= 2^3\\
\colMM{green}{かける \Darr \ }\\
\colFM{magenta}{$2$}^{\colBX{palegreen}{$\scriptsize 2x$}} &= \colFM{magenta}2^3\\
\colMM{magenta}{底がそろった\ } & \colMM{magenta}{\ \Darr\ 底を消す}\\
2x &= 3\\
\\
x &= \dfrac32
\end{align*}

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【解答】

\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFM[2]{\fcolorbox{#1}{white}{#2}}


\begin{align*}
8^{x} &= \dfrac{1}{16}\\
\colMM{orange}{○^{▲}になおす \Darr  }  &  \ \colMM{orange}{\Darr ○^{▲}になおす}\\
(2^{\colBX{palegreen}{$\scriptsize 3$}})^{\colBX{palegreen}{$\scriptsize x$}} &= \dfrac{1}{2^4}\\
\colMM{green}{かける \Darr \ } &  \ \ \colMM{green}{\Darr 逆数はマイナス乗に}\\
\colFM{magenta}{$2$}^{\colBX{palegreen}{$\scriptsize 3x$}} &= \colFM{magenta}2^{-4}\\
\colMM{magenta}{底がそろった\ } & \colMM{magenta}{\ \Darr\ 底を消す}\\
3x &= -4\\
\\
x &= -\dfrac43
\end{align*}

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【解答】

\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFM[2]{\fcolorbox{#1}{white}{#2}}


\begin{align*}
27^{x} &= 3^{2-x}\\
\colMM{orange}{○^{▲}になおす \Darr  }  & \\
(3^{\colBX{palegreen}{$\scriptsize 3$}})^{\colBX{palegreen}{$\scriptsize x$}} &= 3^{2-x}\\
\colMM{green}{かける \Darr \ } & \\
\colFM{magenta}{$3$}^{\colBX{palegreen}{$\scriptsize 3x$}} &= \colFM{magenta}3^{2-x}\\
\colMM{magenta}{底がそろった\ } & \colMM{magenta}{\ \Darr\ 底を消す}\\
3x &= 2-x\\
3x+x &= 2\\
4x &= 2\\
x &= \dfrac24 = \dfrac12
\end{align*}

指数関数のグラフをかくコツ

btakeshi
btakeshi

指数関数のグラフは2種類あります。底が1より大きいか、1より小さいか、で分かれます。4つのステップで書き順を説明します。何度も書いてキレイなグラフが書けるまで練習しましょう。

ポイントを確認!

気になるところをタップして確認しましょう。

練習問題にチャレンジ!

何度も解いて体で覚えましょう!

次の関数のグラフをかけ。

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【解答】

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【解答】

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【解答】

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【解答】

「ますどら」新着コンテンツ