
微分係数を求める計算は大変です。ちょっと工夫して,微分係数を導く関数というものを考えてみましょう。
気になるところをタップして確認しましょう。
\begin{align*} f'(\colorbox{mistyrose}{$a$}) &= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\\ \\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{(a+h)^2-a^2}{h}\\ \\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{a^2+2ah+h^2-a^2}{h}\\ \\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{2ah+h^2}{h}\\ \\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{h(2a+h)}{h}\\ \\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\ (2a+h) = 2\colorbox{mistyrose}{$a$}\\ \end{align*}
この結果を利用して
\begin{align*} f'(\colorbox{mistyrose}{$a$}) &= 2 \colorbox{mistyrose}{$a$}\\ f'(\colorbox{mistyrose}{$4$}) &= 2 \cdot\colorbox{mistyrose}{$4$} & &= 8\\ f'(\colorbox{mistyrose}{$0$}) &= 2 \cdot\colorbox{mistyrose}{$0$} & &= 0\\ f'(\colorbox{mistyrose}{$-2$}) &= 2 \cdot\colorbox{mistyrose}{$(-2)$} & &= -4\\ \end{align*}
関数 f(x) において,x のとる各値 a に対して微分係数 f'(a) を対応させると,x の関数になります。
\begin{array}{c} 1 & \Longrightarrow & f'(1)\\ 2 & \Longrightarrow & f'(2)\\ & \vdots & \\ a & \Longrightarrow & f'(a)\\ \color{red}x & \color{red}\Longrightarrow & \color{red}f'(x) \end{array}
このようにして得られた新しい関数を,もとの関数 f(x) の 導関数 といい, f'(x) と表します。
f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{\colorbox{mistyrose}{$f(x+h)$}-\colorbox{lightcyan}{$f(x)$}}{h}
※導関数を求める際には,先に \colorbox{mistyrose}{$f(x+h)$} と \colorbox{lightcyan}{$f(x)$} を計算しておくとミスが減ります。
練習問題にチャレンジ♪
さっそく練習問題にチャレンジしましょう。
導関数の定義にしたがって,次の関数の導関数を求めよ。
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【準備】
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \begin{align*} \colBX{bisque}{$f(x+h)$} &= x+h\\ \colorbox{palegreen}{$f(x)$} &= x \end{align*}
【解答】
\def\fxph{(x+h)} \def\fx{x} \def\sa{h} \def\yakubun{1} \def\kotae{1} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \begin{align*} & \colMM{red}{\Darr 定義に従った導関数の公式}\\ f'(x) &= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{\colorbox{bisque}{$f(x+h)$}-\colorbox{palegreen}{$f(x)$}}{h}\\ & \colMM{orange}{準備を参照\Darr} \colMM{green}{\Darr準備を参照}\\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{\colBX{bisque}{$\fxph$}-\colBX{palegreen}{$\fx$}}{h}\\ \\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{\sa}{h}\\ \\ &= \colorbox{violet}{$\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}$}\ \yakubun\\ & \colMM{purple}{\Darr h を0に近づける \cdots h ない、そのまま}\\ &= \kotae \end{align*}
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【準備】
\begin{align*} \colorbox{bisque}{$f(x+h)$} &= (x+h)^3\\ &= x^3+3x^2h+3xh^2+h^3\\ \colorbox{palegreen}{$f(x)$} &= x^3 \end{align*}
【解答】
\def\fxph{(x^3+3x^2h+3xh^2+h^3)} \def\fx{x^3} \def\sa{3x^2h+3xh^2+h^3} \def\sain{h(3x^2+3xh+h^2)} \def\yakubun{(3x^2+3xh+h^2)} \def\kotae{3x^2} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \begin{align*} & \colMM{red}{\Darr 定義に従った導関数の公式}\\ f'(x) &= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{\colorbox{bisque}{$f(x+h)$}-\colorbox{palegreen}{$f(x)$}}{h}\\ & \colMM{orange}{準備を参照\Darr} \colMM{green}{準備を参照 \Darr}\\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{\colBX{bisque}{$\fxph$}-\colBX{palegreen}{$\fx$}}{h}\\ \\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{\sa}{h}\\ \\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{\sain}{h}\\ \\ &= \colorbox{violet}{$\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}$}\ \yakubun\\ & \colMM{purple}{\Darr h を0に近づける}\\ &= \kotae \end{align*}
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【準備】※定数関数!x の値に関わらず常に定数 2
\begin{align*} \colorbox{bisque}{$f(x+h)$} &= 2\\ \colorbox{palegreen}{$f(x)$} &= 2 \end{align*}
【解答】
\def\fxph{2} \def\fx{2} \def\sa{0} \def\yakubun{0} \def\kotae{0} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \begin{align*} & \colMM{red}{\Darr 定義に従った導関数の公式}\\ f'(x) &= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{\colorbox{bisque}{$f(x+h)$}-\colorbox{palegreen}{$f(x)$}}{h}\\ & \colMM{orange}{準備を参照\Darr} \colMM{green}{\Darr準備を参照}\\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{\colBX{bisque}{$\fxph$}-\colBX{palegreen}{$\fx$}}{h}\\ \\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{\sa}{h}\\ \\ &= \colorbox{violet}{$\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}$}\ \yakubun\\ & \colMM{purple}{\Darr h を0に近づける \cdots h ない、そのまま}\\ &= \kotae \end{align*}
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【準備】
\begin{align*} \colorbox{bisque}{$f(x+h)$} &= 3(x+h)\\ &= 3x+3h\\ \colorbox{palegreen}{$f(x)$} &= 3x \end{align*}
【解答】
\def\fxph{(3x+3h)} \def\fx{3x} \def\sa{3h} \def\yakubun{3} \def\kotae{3} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \begin{align*} & \colMM{red}{\Darr 定義に従った導関数の公式}\\ f'(x) &= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{\colorbox{bisque}{$f(x+h)$}-\colorbox{palegreen}{$f(x)$}}{h}\\ & \colMM{orange}{準備を参照\Darr} \colMM{green}{\Darr準備を参照}\\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{\colBX{bisque}{$\fxph$}-\colBX{palegreen}{$\fx$}}{h}\\ \\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{\sa}{h}\\ \\ &= \colorbox{violet}{$\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}$}\ \yakubun\\ & \colMM{purple}{\Darr h を0に近づける \cdots h ない、そのまま}\\ &= \kotae \end{align*}
【準備】
\begin{align*} \colorbox{mistyrose}{$f(x+h)$} &= -(x+h)^2\\ &= -(x^2+2xh+h^2)\\ &= -x^2-2xh-h^2\\ \colorbox{lightcyan}{$f(x)$} &= -x^2 \end{align*}
【解答】
\begin{align*} f'(x) &= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{\colorbox{mistyrose}{$f(x+h)$}-\colorbox{lightcyan}{$f(x)$}}{h}\\ \\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{(-x^2-2xh-h^2)-(-x^2)}{h}\\ \\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{-2xh-h^2}{h}\\ \\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{h(-2x-h)}{h}\\ \\ &= \colorbox{lightgreen}{$\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}$}\ (-2x\ \colorbox{lightgreen}{$-h$})\\ \\ &= -2x \end{align*}
【準備】※定数関数!x の値に関わらず常に定数 4
\begin{align*} \colorbox{mistyrose}{$f(x+h)$} &= 4\\ \colorbox{lightcyan}{$f(x)$} &= 4 \end{align*}
【解答】
\begin{align*} f'(x) &= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{\colorbox{mistyrose}{$f(x+h)$}-\colorbox{lightcyan}{$f(x)$}}{h}\\ \\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{4-4}{h}\\ \\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{0}{h}\\ \\ &= \colorbox{lightgreen}{$\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}$}\ 0\\ \\ &= 0 \end{align*}
【準備】
\begin{align*} \colorbox{mistyrose}{$f(x+h)$} &= -3(x+h)+4\\ &= -3x-3h+4\\ \colorbox{lightcyan}{$f(x)$} &= -3x+4 \end{align*}
【解答】
\begin{align*} f'(x) &= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{\colorbox{mistyrose}{$f(x+h)$}-\colorbox{lightcyan}{$f(x)$}}{h}\\ \\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{(-3x-3h+4)-(-3x+4)}{h}\\ \\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{-3h}{h}\\ \\ &= \colorbox{lightgreen}{$\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}$}\ (-3)\\ \\ &= -3 \end{align*}
【準備】
\begin{align*} \colorbox{mistyrose}{$f(x+h)$} &= (x+h)^2+2(x+h)+1\\ &= (x^2+2xh+h^2)+2x+2h+1\\ &= x^2+2x+1+2xh+h^2+2h\\ \colorbox{lightcyan}{$f(x)$} &= x^2+2x+1 \end{align*}
【解答】
\begin{align*} f'(x) &= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{\colorbox{mistyrose}{$f(x+h)$}-\colorbox{lightcyan}{$f(x)$}}{h}\\ \\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{(x^2+2x+1+2xh+h^2+2h)-(x^2+2x+1)}{h}\\ \\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{2xh+h^2+2h}{h}\\ \\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{h(2x+h+2)}{h}\\ \\ &= \colorbox{lightgreen}{$\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}$}\ (2x+\colorbox{lightgreen}{$h$}+2)\\ \\ &= 2x+2 \end{align*}
【準備】
\begin{align*} \colorbox{mistyrose}{$f(x+h)$} &= (x+h)^2-3(x+h)+5\\ &= (x^2+2xh+h^2)-3x-3h+5\\ &= x^2-3x+5+2xh+h^2-3h\\ \colorbox{lightcyan}{$f(x)$} &= x^2-3x+5 \end{align*}
【解答】
\begin{align*} f'(x) &= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{\colorbox{mistyrose}{$f(x+h)$}-\colorbox{lightcyan}{$f(x)$}}{h}\\ \\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{(x^2-3x+5+2xh+h^2-3h)-(x^2-3x+5)}{h}\\ \\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{2xh+h^2-3h}{h}\\ \\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{h(2x+h-3)}{h}\\ \\ &= \colorbox{lightgreen}{$\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}$}\ (2x+\colorbox{lightgreen}{$h$}-3)\\ \\ &= 2x-3 \end{align*}
【準備】
\begin{align*} \colorbox{mistyrose}{$f(x+h)$} &= (x+h)^3-(x+h)\\ &= x^3+3x^2h+3xh^2+h^3-x-h\\ &= x^3-x+3x^2h+3xh^2+h^3-h\\ \colorbox{lightcyan}{$f(x)$} &= x^3-x \end{align*}
【解答】
\begin{align*} f'(x) &= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{\colorbox{mistyrose}{$f(x+h)$}-\colorbox{lightcyan}{$f(x)$}}{h}\\ \\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{(x^3-x+3x^2h+3xh^2+h^3-h)-(x^3-x)}{h}\\ \\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{3x^2h+3xh^2+h^3-h}{h}\\ \\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{h(3x^2+3xh+h^2-1)}{h}\\ \\ &= \colorbox{lightgreen}{$\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}$}(3x^2\ \colorbox{lightgreen}{$\displaystyle +3xh+h^2$}-1)\\ \\ &= 3x^2-1 \end{align*}