定義に従って導関数を求めよう

btakeshi
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微分係数を求める計算は大変です。ちょっと工夫して，微分係数を導く関数というものを考えてみましょう。

ポイントを確認！

気になるところをタップして確認しましょう。

f(x)=x^2 の x=a における微分係数は

\begin{align*}
f'(\colorbox{mistyrose}{$a$}) &= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\\
\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{(a+h)^2-a^2}{h}\\
\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{a^2+2ah+h^2-a^2}{h}\\
\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{2ah+h^2}{h}\\
\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{h(2a+h)}{h}\\
\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\ (2a+h) = 2\colorbox{mistyrose}{$a$}\\
\end{align*}

この結果を利用して

\begin{align*}
f'(\colorbox{mistyrose}{$a$}) &= 2 \colorbox{mistyrose}{$a$}\\
f'(\colorbox{mistyrose}{$4$}) &= 2 \cdot\colorbox{mistyrose}{$4$} & &= 8\\
f'(\colorbox{mistyrose}{$0$}) &= 2 \cdot\colorbox{mistyrose}{$0$} & &= 0\\
f'(\colorbox{mistyrose}{$-2$}) &= 2 \cdot\colorbox{mistyrose}{$(-2)$} & &= -4\\
\end{align*}

関数 f(x) において，x のとる各値 a に対して微分係数 f'(a) を対応させると，x の関数になります。

\begin{array}{c}
1 & \Longrightarrow & f'(1)\\
2 & \Longrightarrow & f'(2)\\
& \vdots & \\
a & \Longrightarrow & f'(a)\\
\color{red}x & \color{red}\Longrightarrow & \color{red}f'(x)
\end{array}

このようにして得られた新しい関数を，もとの関数 f(x) の 導関数 といい， f'(x) と表します。

f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{\colorbox{mistyrose}{$f(x+h)$}-\colorbox{lightcyan}{$f(x)$}}{h}

※導関数を求める際には，先に \colorbox{mistyrose}{$f(x+h)$} と \colorbox{lightcyan}{$f(x)$} を計算しておくとミスが減ります。

練習問題にチャレンジ♪

さっそく練習問題にチャレンジしましょう。

導関数の定義にしたがって，次の関数の導関数を求めよ。

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【準備】

\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\begin{align*}
\colBX{bisque}{$f(x+h)$} &= x+h\\
\colorbox{palegreen}{$f(x)$} &= x
\end{align*}

【解答】

\def\fxph{(x+h)}
\def\fx{x}
\def\sa{h}
\def\yakubun{1}
\def\kotae{1}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\begin{align*}
& 　　\colMM{red}{\Darr 定義に従った導関数の公式}\\
f'(x) &= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{\colorbox{bisque}{$f(x+h)$}-\colorbox{palegreen}{$f(x)$}}{h}\\
& 　　\colMM{orange}{準備を参照\Darr} 　　 \colMM{green}{\Darr準備を参照}\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{\colBX{bisque}{$\fxph$}-\colBX{palegreen}{$\fx$}}{h}\\
\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{\sa}{h}\\
\\
&= \colorbox{violet}{$\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}$}\ \yakubun\\
& 　　\colMM{purple}{\Darr h を0に近づける \cdots h ない、そのまま}\\
&= \kotae
\end{align*}

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【準備】

\begin{align*}
\colorbox{bisque}{$f(x+h)$} &= (x+h)^3\\
&= x^3+3x^2h+3xh^2+h^3\\
\colorbox{palegreen}{$f(x)$} &= x^3
\end{align*}

【解答】

\def\fxph{(x^3+3x^2h+3xh^2+h^3)}
\def\fx{x^3}
\def\sa{3x^2h+3xh^2+h^3}
\def\sain{h(3x^2+3xh+h^2)}
\def\yakubun{(3x^2+3xh+h^2)}
\def\kotae{3x^2}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\begin{align*}
& 　　\colMM{red}{\Darr 定義に従った導関数の公式}\\
f'(x) &= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{\colorbox{bisque}{$f(x+h)$}-\colorbox{palegreen}{$f(x)$}}{h}\\
& 　　\colMM{orange}{準備を参照\Darr}　　　　　　 \colMM{green}{準備を参照 \Darr}\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{\colBX{bisque}{$\fxph$}-\colBX{palegreen}{$\fx$}}{h}\\
\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{\sa}{h}\\
\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{\sain}{h}\\
\\
&= \colorbox{violet}{$\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}$}\ \yakubun\\
& 　　\colMM{purple}{\Darr h を0に近づける}\\
&= \kotae
\end{align*}

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【準備】※定数関数！x の値に関わらず常に定数 2

\begin{align*}
\colorbox{bisque}{$f(x+h)$} &= 2\\
\colorbox{palegreen}{$f(x)$} &= 2
\end{align*}

【解答】

\def\fxph{2}
\def\fx{2}
\def\sa{0}
\def\yakubun{0}
\def\kotae{0}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\begin{align*}
& 　　\colMM{red}{\Darr 定義に従った導関数の公式}\\
f'(x) &= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{\colorbox{bisque}{$f(x+h)$}-\colorbox{palegreen}{$f(x)$}}{h}\\
& 　　\colMM{orange}{準備を参照\Darr} 　　 \colMM{green}{\Darr準備を参照}\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{\colBX{bisque}{$\fxph$}-\colBX{palegreen}{$\fx$}}{h}\\
\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{\sa}{h}\\
\\
&= \colorbox{violet}{$\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}$}\ \yakubun\\
& 　　\colMM{purple}{\Darr h を0に近づける \cdots h ない、そのまま}\\
&= \kotae
\end{align*}

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【準備】

\begin{align*}
\colorbox{bisque}{$f(x+h)$} &= 3(x+h)\\
&= 3x+3h\\
\colorbox{palegreen}{$f(x)$} &= 3x
\end{align*}

【解答】

\def\fxph{(3x+3h)}
\def\fx{3x}
\def\sa{3h}
\def\yakubun{3}
\def\kotae{3}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\begin{align*}
& 　　\colMM{red}{\Darr 定義に従った導関数の公式}\\
f'(x) &= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{\colorbox{bisque}{$f(x+h)$}-\colorbox{palegreen}{$f(x)$}}{h}\\
& 　　\colMM{orange}{準備を参照\Darr} 　　 \colMM{green}{\Darr準備を参照}\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{\colBX{bisque}{$\fxph$}-\colBX{palegreen}{$\fx$}}{h}\\
\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{\sa}{h}\\
\\
&= \colorbox{violet}{$\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}$}\ \yakubun\\
& 　　\colMM{purple}{\Darr h を0に近づける \cdots h ない、そのまま}\\
&= \kotae
\end{align*}

【準備】

\begin{align*}
\colorbox{mistyrose}{$f(x+h)$} &= -(x+h)^2\\
&= -(x^2+2xh+h^2)\\
&= -x^2-2xh-h^2\\
\colorbox{lightcyan}{$f(x)$} &= -x^2
\end{align*}

【解答】

\begin{align*}
f'(x) &= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{\colorbox{mistyrose}{$f(x+h)$}-\colorbox{lightcyan}{$f(x)$}}{h}\\
\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{(-x^2-2xh-h^2)-(-x^2)}{h}\\
\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{-2xh-h^2}{h}\\
\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{h(-2x-h)}{h}\\
\\
&= \colorbox{lightgreen}{$\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}$}\ (-2x\ \colorbox{lightgreen}{$-h$})\\
\\
&= -2x
\end{align*}

【準備】※定数関数！x の値に関わらず常に定数 4

\begin{align*}
\colorbox{mistyrose}{$f(x+h)$} &= 4\\
\colorbox{lightcyan}{$f(x)$} &= 4
\end{align*}

【解答】

\begin{align*}
f'(x) &= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{\colorbox{mistyrose}{$f(x+h)$}-\colorbox{lightcyan}{$f(x)$}}{h}\\
\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{4-4}{h}\\
\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{0}{h}\\
\\
&= \colorbox{lightgreen}{$\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}$}\ 0\\
\\
&= 0
\end{align*}

【準備】

\begin{align*}
\colorbox{mistyrose}{$f(x+h)$} &= -3(x+h)+4\\
&= -3x-3h+4\\
\colorbox{lightcyan}{$f(x)$} &= -3x+4
\end{align*}

【解答】

\begin{align*}
f'(x) &= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{\colorbox{mistyrose}{$f(x+h)$}-\colorbox{lightcyan}{$f(x)$}}{h}\\
\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{(-3x-3h+4)-(-3x+4)}{h}\\
\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{-3h}{h}\\
\\
&= \colorbox{lightgreen}{$\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}$}\ (-3)\\
\\
&= -3
\end{align*}

【準備】

\begin{align*}
\colorbox{mistyrose}{$f(x+h)$} &= (x+h)^2+2(x+h)+1\\
&= (x^2+2xh+h^2)+2x+2h+1\\
&= x^2+2x+1+2xh+h^2+2h\\
\colorbox{lightcyan}{$f(x)$} &= x^2+2x+1
\end{align*}

【解答】

\begin{align*}
f'(x) &= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{\colorbox{mistyrose}{$f(x+h)$}-\colorbox{lightcyan}{$f(x)$}}{h}\\
\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{(x^2+2x+1+2xh+h^2+2h)-(x^2+2x+1)}{h}\\
\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{2xh+h^2+2h}{h}\\
\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{h(2x+h+2)}{h}\\
\\
&= \colorbox{lightgreen}{$\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}$}\ (2x+\colorbox{lightgreen}{$h$}+2)\\
\\
&= 2x+2
\end{align*}

【準備】

\begin{align*}
\colorbox{mistyrose}{$f(x+h)$} &= (x+h)^2-3(x+h)+5\\
&= (x^2+2xh+h^2)-3x-3h+5\\
&= x^2-3x+5+2xh+h^2-3h\\
\colorbox{lightcyan}{$f(x)$} &= x^2-3x+5
\end{align*}

【解答】

\begin{align*}
f'(x) &= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{\colorbox{mistyrose}{$f(x+h)$}-\colorbox{lightcyan}{$f(x)$}}{h}\\
\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{(x^2-3x+5+2xh+h^2-3h)-(x^2-3x+5)}{h}\\
\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{2xh+h^2-3h}{h}\\
\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{h(2x+h-3)}{h}\\
\\
&= \colorbox{lightgreen}{$\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}$}\ (2x+\colorbox{lightgreen}{$h$}-3)\\
\\
&= 2x-3
\end{align*}

【準備】

\begin{align*}
\colorbox{mistyrose}{$f(x+h)$} &= (x+h)^3-(x+h)\\
&= x^3+3x^2h+3xh^2+h^3-x-h\\
&= x^3-x+3x^2h+3xh^2+h^3-h\\
\colorbox{lightcyan}{$f(x)$} &= x^3-x
\end{align*}

【解答】

\begin{align*}
f'(x) &= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{\colorbox{mistyrose}{$f(x+h)$}-\colorbox{lightcyan}{$f(x)$}}{h}\\
\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{(x^3-x+3x^2h+3xh^2+h^3-h)-(x^3-x)}{h}\\
\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{3x^2h+3xh^2+h^3-h}{h}\\
\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{h(3x^2+3xh+h^2-1)}{h}\\
\\
&= \colorbox{lightgreen}{$\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}$}(3x^2\ \colorbox{lightgreen}{$\displaystyle +3xh+h^2$}-1)\\
\\
&= 3x^2-1
\end{align*}

定積分で表された関数を微分する便利な公式とは

練習問題にチャレンジ！

何度も解いて体で覚えましょう！

次の x の関数の導関数を求めよ。

\def\Function{(3t^2-2t-1)\,dt}
\def\Moji{x}
\def\Teisu{0}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\begin{align*}
\int_{\colBX{palegreen}{$\scriptsize \Teisu$}}^{\colBX{bisque}{$\small \Moji$}} \colBX{violet}{$\Function$} & \\
\colMM{green}{\Uarr 定数}　　\colBX{bisque}{$\small \Moji$}\colMM{magenta}{\Uarr 以外の式}
\end{align*}

【解答】

\def\Function{(3t^2-2t-1)\,dt}
\def\Moji{x}
\def\Teisu{0}
\def\Kotae{3x^2-2x-1}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\begin{align*}
\colMM{orange}{\Moji で微分} & \colMM{orange}{\Darr}\\
& \colBX{bisque}{$\displaystyle\dfrac{d}{d\Moji}$} \int_{\colBX{palegreen}{$\scriptsize \Teisu$}}^{\colBX{bisque}{$\small \Moji$}} \colBX{violet}{$\Function$} \\
& 　　　　　\colMM{red}{\swarrow } \colBX{bisque}{$\Moji$}\colMM{red}{を代入}\\
&= \Kotae
\end{align*}

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\def\Function{7\,dt}
\def\Moji{x}
\def\Teisu{0}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\begin{align*}
\int_{\colBX{palegreen}{$\scriptsize \Teisu$}}^{\colBX{bisque}{$\small \Moji$}} \colBX{violet}{$\Function$} & \\
\colMM{green}{\Uarr 定数}　&\colBX{bisque}{$\small \Moji$}\colMM{magenta}{\nwarrow 以外の式}
\end{align*}

【解答】

\def\Function{7\,dt}
\def\Moji{x}
\def\Teisu{0}
\def\Kotae{7}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\begin{align*}
\colMM{orange}{\Moji で微分} & \colMM{orange}{\Darr}\\
& \colBX{bisque}{$\displaystyle\dfrac{d}{d\Moji}$} \int_{\colBX{palegreen}{$\scriptsize \Teisu$}}^{\colBX{bisque}{$\small \Moji$}} \colBX{violet}{$\Function$} \\
& 　　　\colMM{red}{\swarrow } \colBX{bisque}{$\Moji$}\colMM{red}{を代入 \cdots できないけどね}\\
&= \Kotae
\end{align*}

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\def\Function{(2t+3)\,dt}
\def\Moji{x}
\def\Teisu{0}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\begin{align*}
\int_{\colBX{palegreen}{$\scriptsize \Teisu$}}^{\colBX{bisque}{$\small \Moji$}} \colBX{violet}{$\Function$} & \\
\colMM{green}{\Uarr 定数}　　　\colBX{bisque}{$\small \Moji$} & \colMM{magenta}{\nwarrow 以外の式}
\end{align*}

【解答】

\def\Function{(2t+3)\,dt}
\def\Moji{x}
\def\Teisu{0}
\def\Kotae{2x+3}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\begin{align*}
\colMM{orange}{\Moji で微分} & \colMM{orange}{\Darr}\\
& \colBX{bisque}{$\displaystyle\dfrac{d}{d\Moji}$} \int_{\colBX{palegreen}{$\scriptsize \Teisu$}}^{\colBX{bisque}{$\small \Moji$}} \colBX{violet}{$\Function$} \\
& 　　　\colMM{red}{\swarrow } \colBX{bisque}{$\Moji$}\colMM{red}{を代入}\\
&= \Kotae
\end{align*}

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\def\Function{(t^2+3t-4)\,dt}
\def\Moji{x}
\def\Teisu{1}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\begin{align*}
\int_{\colBX{palegreen}{$\scriptsize \Teisu$}}^{\colBX{bisque}{$\small \Moji$}} \colBX{violet}{$\Function$} & \\
\colMM{green}{\Uarr 定数}　　　\colBX{bisque}{$\small \Moji$} & \colMM{magenta}{\nwarrow 以外の式}
\end{align*}

【解答】

\def\Function{(t^2+3t-4)\,dt}
\def\Moji{x}
\def\Teisu{1}
\def\Kotae{x^2+3x-4}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\begin{align*}
\colMM{orange}{\Moji で微分} & \colMM{orange}{\Darr}\\
& \colBX{bisque}{$\displaystyle\dfrac{d}{d\Moji}$} \int_{\colBX{palegreen}{$\scriptsize \Teisu$}}^{\colBX{bisque}{$\small \Moji$}} \colBX{violet}{$\Function$} \\
& 　　　\colMM{red}{\swarrow } \colBX{bisque}{$\Moji$}\colMM{red}{を代入}\\
&= \Kotae
\end{align*}

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初めての指数関数のグラフ～点をとってつなぐ

練習問題にチャレンジ！

何度も解いて体で覚えましょう！

指数関数 y=2^x について，x が以下の値をとるときの y の値を求めよ。

【解答】

\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\begin{align*}
&\colMM{orange}{マイナス乗は}\\
y &= 2^{-2}\\
& 　　\colMM{orange}{\Darr 逆数に}\\
&= \dfrac{1}{2^2} = \dfrac{1}{4} = 0.25
\end{align*}

【解答】

\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\begin{align*}
&\colMM{orange}{マイナス乗は}\\
y &= 2^{-1.5}\\
& 　　\colMM{orange}{\Darr 逆数に}\\
&= \dfrac{1}{2^{1.5}}\\
& 　　\colMM{green}{\Darr 小数は分数に}\\
&= \dfrac{1}{2^{\frac32}}\\
& 　　\colMM{green}{\Darr 分数乗は\sqrt{ルート}に}\\
&= \dfrac{1}{\sqrt[2]{2^3}}\\
\\
&= \dfrac{1}{2\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{4} \fallingdotseq \dfrac{1.4}{4} = 0.35 
\end{align*}

【解答】

\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\begin{align*}
&\colMM{orange}{マイナス乗は}\\
y &= 2^{-1}\\
& 　　\colMM{orange}{\Darr 逆数に}\\
&= \dfrac{1}{2^1} = \dfrac{1}{2} = 0.5
\end{align*}

【解答】

\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\begin{align*}
&\colMM{orange}{マイナス乗は}\\
y &= 2^{-0.5}\\
& 　　\colMM{orange}{\Darr 逆数に}\\
&= \dfrac{1}{2^{0.5}}\\
& 　　\colMM{green}{\Darr 小数は分数に}\\
&= \dfrac{1}{2^{\frac12}}\\
& 　　\colMM{green}{\Darr 分数乗は\sqrt{ルート}に}\\
&= \dfrac{1}{\sqrt[2]{2^1}}\\
\\
&= \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \fallingdotseq \dfrac{1.4}{2} = 0.7 
\end{align*}

【解答】

\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\begin{align*}
&\colMM{orange}{０乗は}\\
y &= 2^{0}\\
&= \colBX{bisque}{$1$}
\end{align*}

【解答】

\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\begin{align*}
y &= 2^{0.5}\\
& 　　\colMM{green}{\Darr 小数は分数に}\\
&= 2^{\frac12}\\
& 　　\colMM{green}{\Darr 分数乗は\sqrt{ルート}に}\\
&= \sqrt[2]{2^1}\\
\\
&= \sqrt{2} \fallingdotseq 1.4 
\end{align*}

【解答】

\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\begin{align*}
y &= 2^{1} = 2\\
\end{align*}

【解答】

\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\begin{align*}
y &= 2^{1.5}\\
& 　　\colMM{green}{\Darr 小数は分数に}\\
&= 2^{\frac32}\\
& 　　\colMM{green}{\Darr 分数乗は\sqrt{ルート}に}\\
&= \sqrt[2]{2^3}\\
\\
&= 2\sqrt{2} \fallingdotseq 2 \times 1.4 = 2.8 
\end{align*}

【解答】

\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\textcolor{#1}{\scriptsize\bf\bm #2}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\begin{align*}
y &= 2^{2} = 4\\
\end{align*}

▶▶▶次のコンテンツ

指数関数のグラフをかくコツ

グラフ上にない点から引いた接線の方程式

【解答】接線の方程式 ⇒ 接線の傾き ＋ グラフ上の点！

　

接線の傾き＝微分係数 ⇒ 導関数が必要！

y=x^2+3 を微分すると

y' = \colorbox{lightgreen}{$2x$}

グラフ上の点 ⇒ x=a とする！

x=\colorbox{mistyrose}{$a$} を代入して y=\colorbox{lightcyan}{$a^2+3$}

接点の座標を (\colorbox{mistyrose}{$a$},\ \colorbox{lightcyan}{$a^2+3$}) とすると，接線の傾きは \colorbox{lightgreen}{$2a$} となるから，その方程式は

\begin{align*}
y-\colorbox{lightcyan}{$(a^2+3)$} &= \colorbox{lightgreen}{$2a$}(x-\colorbox{mistyrose}{$a$})\\
y-a^2-3 &= 2ax-2a^2\\
y &= 2ax-2a^2+a^2+3\\
y &= 2ax-a^2+3\ \cdots ①
\end{align*}

この直線が点 {\rm C}(1,\ 0) を通るから代入！

\begin{align*}
0 &= 2a \cdot 1-a^2+3\\
a^2-2a-3 &= 0\\
(a+1)(a-3) &= 0\\
a &= -1,\ 3
\end{align*}

したがって，求める接線の方程式は，①より

a=-1 のとき

\def\valA{(-1)}
\begin{align*}
y &= 2 \cdot \valA x - \valA^2+3\\
&= -2x-1+3\\
&= -2x+2
\end{align*}
a=3 のとき

\def\valA{3}
\begin{align*}
y &= 2 \cdot \valA x - \valA^2+3\\
&= 6x-9+3\\
&= 6x-6
\end{align*}

（答）y=-2x+2，y=6x-6

【解答】接線の方程式 ⇒ 接線の傾き ＋ グラフ上の点！

　

接線の傾き＝微分係数 ⇒ 導関数が必要！

y=x^2-2x+4 を微分すると

y' = \colorbox{lightgreen}{$2x-2$}

グラフ上の点 ⇒ x=a とする！

x=\colorbox{mistyrose}{$a$} を代入して y=\colorbox{lightcyan}{$a^2-2a+4$}

接点の座標を (\colorbox{mistyrose}{$a$},\ \colorbox{lightcyan}{$a^2-2a+4$}) とすると，接線の傾きは \colorbox{lightgreen}{$2a-2$} となるから，その方程式は

\begin{align*}
y-\colorbox{lightcyan}{$(a^2-2a+4)$} &= \colorbox{lightgreen}{$(2a-2)$}(x-\colorbox{mistyrose}{$a$})\\
y-a^2+2a-4 &= (2a-2)x-(2a-2)a\\
y-a^2+2a-4 &= (2a-2)x-2a^2+2a\\
y &= (2a-2)x-2a^2+2a +a^2-2a+4\\
y &= (2a-2)x-a^2+4\ \cdots ①
\end{align*}

この直線が原点 {\rm O}(0,\ 0) を通るから代入！

\begin{align*}
0 &= (2a-2) \cdot 0-a^2+4\\
a^2 &= 4\\
a &= \pm\sqrt{4}\\
a &= -2,\ 2
\end{align*}

したがって，求める接線の方程式は，①より

a=-2 のとき

\def\valA{(-2)}
\begin{align*}
y &= \{2 \cdot \valA -2\} x - \valA^2+4\\
&= -6x-4+4\\
&= -6x
\end{align*}
a=2 のとき

\def\valA{2}
\begin{align*}
y &= (2 \cdot \valA -2) x - \valA^2+4\\
&= 2x-4+4\\
&= 2x
\end{align*}

（答）y=2x，y=-6x

【解答】接線の方程式 ⇒ 接線の傾き ＋ グラフ上の点！

　

接線の傾き＝微分係数 ⇒ 導関数が必要！

y=x^2+1 を微分すると

y' = \colorbox{lightgreen}{$2x$}

グラフ上の点 ⇒ x=a とする！

x=\colorbox{mistyrose}{$a$} を代入して y=\colorbox{lightcyan}{$a^2+1$}

接点の座標を (\colorbox{mistyrose}{$a$},\ \colorbox{lightcyan}{$a^2+1$}) とすると，接線の傾きは \colorbox{lightgreen}{$2a$} となるから，その方程式は

\begin{align*}
y-\colorbox{lightcyan}{$(a^2+1)$} &= \colorbox{lightgreen}{$2a$}(x-\colorbox{mistyrose}{$a$})\\
y-a^2-1 &= 2ax-2a^2\\
y &= 2ax-2a^2+a^2+1\\
y &= 2ax-a^2+1\ \cdots ①
\end{align*}

この直線が点 {\rm C}(2,\ 1) を通るから代入！

\begin{align*}
1 &= 2a \cdot 2-a^2+1\\
a^2-4a &= 0\\
a(a-4) &= 0\\
a &= 0,\ 4
\end{align*}

したがって，求める接線の方程式は，①より

a=0 のとき

\def\valA{0}
\begin{align*}
y &= 2 \cdot \valA x - \valA^2+1\\
&= 1
\end{align*}
a=4 のとき

\def\valA{4}
\begin{align*}
y &= 2 \cdot \valA x - \valA^2+1\\
&= 8x-16+1\\
&= 8x-15
\end{align*}

（答）y=1，y=8x-15

３点を通る円の方程式を求める

練習問題にチャレンジ！

何度も解いて体で覚えましょう！

次の３点 {\rm A}, {\rm B}, {\rm C} を通る円の方程式を求めよ。

【解答】

求める円の方程式を x^2+y^2+\ell x + my+n = 0 とする。

点 {\rm A}(-2,\ 0) を通るから　代入して

\begin{align*}
(-2)^2+0^2+\ell (-2)+m \cdot 0+n &= 0\\
4+0-2\ell+0+n &= 0\\
2\ell-n &= 4 \cdots ①
\end{align*}

点 {\rm A}(-2,\ 8) を通るから　代入して

\begin{align*}
(-2)^2+8^2+\ell (-2)+m \cdot 8+n &= 0\\
4+64-2\ell+8m+n &= 0\\
2\ell-8m-n &= 68 \cdots ②
\end{align*}

点 {\rm A}(1,\ -1) を通るから　代入して

\begin{align*}
1^2+(-1)^2+\ell \cdot 1+m \cdot (-1)+n &= 0\\
\ell-m+n &= -2 \cdots ③
\end{align*}

作戦タイム！

\begin{cases}
\def\arraystretch{1.5}
   \begin{array}{cccll}
   \colorbox{mistyrose}{$2\ell$} &  & \colorbox{lightcyan}{$-n$} & = 4 & \cdots ①\\
   \colorbox{mistyrose}{$2\ell$} & -8m & \colorbox{lightcyan}{$-n$} & = 68 & \cdots ②\\
   \ell & -m & +n & = -2 & \cdots ③
\end{array}
\end{cases}
  • mだけ少ない！
  • \colorbox{mistyrose}{$2\ell$}，\colorbox{lightcyan}{$-n$} が同じ！

①②から \ell,\ n を一度に消して，m を求める！

②ー①より

\def\arraystretch{1.5}
   \begin{array}{cccclr}
 &  2\ell & -8m & -n & = 68 & \cdots ②\\
－）  & 2\ell &  & -n & = 4 & \cdots ①\\ \hline
  & & -8m & & = 64\\
& & m & & = -8
\end{array}
m=-8 を③に代入すると　m が消える！

\begin{align*}
\ell - (-8)+n & =-2\\
\ell +n & = -10 \cdots ④
\end{align*}

作戦タイム！

\begin{cases}
\def\arraystretch{1.5}
   \begin{array}{ccll}
   2\ell & \colorbox{lightgreen}{$-n$} & = 4 & \cdots ①\\
   \ell & \colorbox{lightgreen}{$+n$} & = -10 & \cdots ④
\end{array}
\end{cases}
  • \colorbox{lightgreen}{$-n$}，\colorbox{lightgreen}{$-n$} が符号が逆！

①④から n を消して，\ell を求める！

①＋④より

\def\arraystretch{1.5}
   \begin{array}{cclr}
   2\ell &  -n & = 4 & \cdots ①\\
   \ell & +n & = -10 & \cdots ④\\ \hline
   3\ell & & = -6\\
 \ell & & = -2
\end{array}

\ell=-2，m=-8 を③に代入すると 

\begin{align*}
\color{orange}\ell-m+n &\color{orange}= -2 \cdots ③\\
-2-(-8)+n &= -2\\
n &= -8
\end{align*}

よって，求める円の方程式は

\begin{align*}
\color{orange}x^2+y^2+\ell x+my+n &\color{orange}= 0\\
x^2+y^2+(-2)x+(-8)y+(-8) &= 0\\
x^2+y^2-2x-8y-8 &= 0
\end{align*}

【解答】

求める円の方程式を x^2+y^2+\ell x + my+n = 0 とする。

点 {\rm A}(1,\ 3) を通るから　代入して

\begin{align*}
1^2+3^2+\ell \cdot 1+m \cdot 3+n &= 0\\
1+9+\ell+3m+n &= 0\\
\ell+3m+n &= -10 \cdots ①
\end{align*}

点 {\rm A}(5,\ -5) を通るから　代入して

\begin{align*}
5^2+(-5)^2+\ell \cdot 5+m \cdot (-5)+n &= 0\\
25+25+5\ell-5m+n &= 0\\
5\ell-5m+n &= -50 \cdots ②
\end{align*}

点 {\rm A}(4,\ 2) を通るから　代入して

\begin{align*}
4^2+2^2+\ell \cdot 4+m \cdot 2+n &= 0\\
4\ell+2m+n &= -20 \cdots ③
\end{align*}

作戦タイム！

\begin{cases}
\def\arraystretch{1.5}
   \begin{array}{cccll}
   \ell & +3m & \colorbox{lightcyan}{$+n$} & = -10 & \cdots ①\\
   5\ell & -5m & \colorbox{lightcyan}{$+n$} & = -50 & \cdots ②\\
   4\ell & +2m & \colorbox{lightcyan}{$+n$} & = -20 & \cdots ③
\end{array}
\end{cases}
  • \colorbox{lightcyan}{$+n$} が同じ！
  • ①が比較的係数が少ない！

①②，①③から n を消して，\ell,\ m ２式を求める！

②ー①より

\def\arraystretch{1.5}
   \begin{array}{cccclr}
 &  5\ell & -5m & +n & = -50 & \cdots ②\\
－）  & \ell & +3m & +n & = -10 & \cdots ①\\ \hline
  & 4\ell & -8m & & = -40\\
  & \ell & -2m & & = -10 & \cdots ④
\end{array}

③ー①より

\def\arraystretch{1.5}
   \begin{array}{cccclr}
 &  4\ell & +2m & +n & = -20 & \cdots ③\\
－）  & \ell & +3m & +n & = -10 & \cdots ①\\ \hline
  & 3\ell & -m & & = -10 & \cdots ⑤
\end{array}

作戦タイム！

\begin{cases}
\def\arraystretch{1.5}
   \begin{array}{ccll}
   \ell & -2m & = -10 & \cdots ④\\
   3\ell & -m & = -10 & \cdots ⑤
\end{array}
\end{cases}
  • ④\times 3 すると，3\ell がそろうから消せる！
  • ⑤\times 2 すると，2m がそろうから消せる！

④⑤から m を消して，\ell を求める！

④ー⑤\times 2 より

\def\arraystretch{1.5}
   \begin{array}{cccll}
   & \ell &  -2m & = -10 & \cdots ④\\
   －）& 6\ell & -2m & = -20 & \cdots ⑤ \times 2\\ \hline
   & -5\ell & & = 10\\
 & \ell & & = -2
\end{array}

\ell=-2，m=-8 を③に代入すると 

\begin{align*}
\color{orange}\ell-m+n &\color{orange}= -2 \cdots ③\\
-2-(-8)+n &= -2\\
n &= -8
\end{align*}

よって，求める円の方程式は

\begin{align*}
\color{orange}x^2+y^2+\ell x+my+n &\color{orange}= 0\\
x^2+y^2+(-2)x+(-8)y+(-8) &= 0\\
x^2+y^2-2x-8y-8 &= 0
\end{align*}