何度も解いて体で覚えましょう！
次の３点 {\rm A}, {\rm B}, {\rm C} を通る円の方程式を求めよ。
【解答】
求める円の方程式を x^2+y^2+\ell x + my+n = 0 とする。
点 {\rm A}(-2,\ 0) を通るから 代入して
\begin{align*}
(-2)^2+0^2+\ell (-2)+m \cdot 0+n &= 0\\
4+0-2\ell+0+n &= 0\\
2\ell-n &= 4 \cdots ①
\end{align*}点 {\rm A}(-2,\ 8) を通るから 代入して
\begin{align*}
(-2)^2+8^2+\ell (-2)+m \cdot 8+n &= 0\\
4+64-2\ell+8m+n &= 0\\
2\ell-8m-n &= 68 \cdots ②
\end{align*}点 {\rm A}(1,\ -1) を通るから 代入して
\begin{align*}
1^2+(-1)^2+\ell \cdot 1+m \cdot (-1)+n &= 0\\
\ell-m+n &= -2 \cdots ③
\end{align*}作戦タイム！
\begin{cases}
\def\arraystretch{1.5}
\begin{array}{cccll}
\colorbox{mistyrose}{$2\ell$} & & \colorbox{lightcyan}{$-n$} & = 4 & \cdots ①\\
\colorbox{mistyrose}{$2\ell$} & -8m & \colorbox{lightcyan}{$-n$} & = 68 & \cdots ②\\
\ell & -m & +n & = -2 & \cdots ③
\end{array}
\end{cases}- mだけ少ない！
- \colorbox{mistyrose}{$2\ell$}，\colorbox{lightcyan}{$-n$} が同じ！
①②から \ell,\ n を一度に消して，m を求める！
②ー①より
\def\arraystretch{1.5}
\begin{array}{cccclr}
& 2\ell & -8m & -n & = 68 & \cdots ②\\
－） & 2\ell & & -n & = 4 & \cdots ①\\ \hline
& & -8m & & = 64\\
& & m & & = -8
\end{array}\begin{align*}
\ell - (-8)+n & =-2\\
\ell +n & = -10 \cdots ④
\end{align*}作戦タイム！
\begin{cases}
\def\arraystretch{1.5}
\begin{array}{ccll}
2\ell & \colorbox{lightgreen}{$-n$} & = 4 & \cdots ①\\
\ell & \colorbox{lightgreen}{$+n$} & = -10 & \cdots ④
\end{array}
\end{cases}- \colorbox{lightgreen}{$-n$}，\colorbox{lightgreen}{$-n$} が符号が逆！
①④から n を消して，\ell を求める！
①＋④より
\def\arraystretch{1.5}
\begin{array}{cclr}
2\ell & -n & = 4 & \cdots ①\\
\ell & +n & = -10 & \cdots ④\\ \hline
3\ell & & = -6\\
\ell & & = -2
\end{array}\ell=-2，m=-8 を③に代入すると
\begin{align*}
\color{orange}\ell-m+n &\color{orange}= -2 \cdots ③\\
-2-(-8)+n &= -2\\
n &= -8
\end{align*}よって，求める円の方程式は
\begin{align*}
\color{orange}x^2+y^2+\ell x+my+n &\color{orange}= 0\\
x^2+y^2+(-2)x+(-8)y+(-8) &= 0\\
x^2+y^2-2x-8y-8 &= 0
\end{align*}【解答】
求める円の方程式を x^2+y^2+\ell x + my+n = 0 とする。
点 {\rm A}(1,\ 3) を通るから 代入して
\begin{align*}
1^2+3^2+\ell \cdot 1+m \cdot 3+n &= 0\\
1+9+\ell+3m+n &= 0\\
\ell+3m+n &= -10 \cdots ①
\end{align*}点 {\rm A}(5,\ -5) を通るから 代入して
\begin{align*}
5^2+(-5)^2+\ell \cdot 5+m \cdot (-5)+n &= 0\\
25+25+5\ell-5m+n &= 0\\
5\ell-5m+n &= -50 \cdots ②
\end{align*}点 {\rm A}(4,\ 2) を通るから 代入して
\begin{align*}
4^2+2^2+\ell \cdot 4+m \cdot 2+n &= 0\\
4\ell+2m+n &= -20 \cdots ③
\end{align*}作戦タイム！
\begin{cases}
\def\arraystretch{1.5}
\begin{array}{cccll}
\ell & +3m & \colorbox{lightcyan}{$+n$} & = -10 & \cdots ①\\
5\ell & -5m & \colorbox{lightcyan}{$+n$} & = -50 & \cdots ②\\
4\ell & +2m & \colorbox{lightcyan}{$+n$} & = -20 & \cdots ③
\end{array}
\end{cases}- \colorbox{lightcyan}{$+n$} が同じ！
- ①が比較的係数が少ない！
①②，①③から n を消して，\ell,\ m ２式を求める！
②ー①より
\def\arraystretch{1.5}
\begin{array}{cccclr}
& 5\ell & -5m & +n & = -50 & \cdots ②\\
－） & \ell & +3m & +n & = -10 & \cdots ①\\ \hline
& 4\ell & -8m & & = -40\\
& \ell & -2m & & = -10 & \cdots ④
\end{array}③ー①より
\def\arraystretch{1.5}
\begin{array}{cccclr}
& 4\ell & +2m & +n & = -20 & \cdots ③\\
－） & \ell & +3m & +n & = -10 & \cdots ①\\ \hline
& 3\ell & -m & & = -10 & \cdots ⑤
\end{array}作戦タイム！
\begin{cases}
\def\arraystretch{1.5}
\begin{array}{ccll}
\ell & -2m & = -10 & \cdots ④\\
3\ell & -m & = -10 & \cdots ⑤
\end{array}
\end{cases}- ④\times 3 すると，3\ell がそろうから消せる！
- ⑤\times 2 すると，2m がそろうから消せる！
④⑤から m を消して，\ell を求める！
④ー⑤\times 2 より
\def\arraystretch{1.5}
\begin{array}{cccll}
& \ell & -2m & = -10 & \cdots ④\\
－）& 6\ell & -2m & = -20 & \cdots ⑤ \times 2\\ \hline
& -5\ell & & = 10\\
& \ell & & = -2
\end{array}\ell=-2，m=-8 を③に代入すると
\begin{align*}
\color{orange}\ell-m+n &\color{orange}= -2 \cdots ③\\
-2-(-8)+n &= -2\\
n &= -8
\end{align*}よって，求める円の方程式は
\begin{align*}
\color{orange}x^2+y^2+\ell x+my+n &\color{orange}= 0\\
x^2+y^2+(-2)x+(-8)y+(-8) &= 0\\
x^2+y^2-2x-8y-8 &= 0
\end{align*}