3点を通る円の方程式を求める

練習問題にチャレンジ!

何度も解いて体で覚えましょう!

次の3点 {\rm A}, {\rm B}, {\rm C} を通る円の方程式を求めよ。

【解答】

求める円の方程式を x^2+y^2+\ell x + my+n = 0 とする。

{\rm A}(-2,\ 0) を通るから 代入して

\begin{align*}
(-2)^2+0^2+\ell (-2)+m \cdot 0+n &= 0\\
4+0-2\ell+0+n &= 0\\
2\ell-n &= 4 \cdots ①
\end{align*}

{\rm A}(-2,\ 8) を通るから 代入して

\begin{align*}
(-2)^2+8^2+\ell (-2)+m \cdot 8+n &= 0\\
4+64-2\ell+8m+n &= 0\\
2\ell-8m-n &= 68 \cdots ②
\end{align*}

{\rm A}(1,\ -1) を通るから 代入して

\begin{align*}
1^2+(-1)^2+\ell \cdot 1+m \cdot (-1)+n &= 0\\
\ell-m+n &= -2 \cdots ③
\end{align*}

作戦タイム!

\begin{cases}
\def\arraystretch{1.5}
   \begin{array}{cccll}
   \colorbox{mistyrose}{$2\ell$} &  & \colorbox{lightcyan}{$-n$} & = 4 & \cdots ①\\
   \colorbox{mistyrose}{$2\ell$} & -8m & \colorbox{lightcyan}{$-n$} & = 68 & \cdots ②\\
   \ell & -m & +n & = -2 & \cdots ③
\end{array}
\end{cases}
  • mだけ少ない!
  • \colorbox{mistyrose}{$2\ell$}\colorbox{lightcyan}{$-n$} が同じ!

①②から \ell,\ n を一度に消して,m を求める!

②ー①より

\def\arraystretch{1.5}
   \begin{array}{cccclr}
 &  2\ell & -8m & -n & = 68 & \cdots ②\\
-)  & 2\ell &  & -n & = 4 & \cdots ①\\ \hline
  & & -8m & & = 64\\
& & m & & = -8
\end{array}
m=-8 を③に代入すると m が消える!

\begin{align*}
\ell - (-8)+n & =-2\\
\ell +n & = -10 \cdots ④
\end{align*}

作戦タイム!

\begin{cases}
\def\arraystretch{1.5}
   \begin{array}{ccll}
   2\ell & \colorbox{lightgreen}{$-n$} & = 4 & \cdots ①\\
   \ell & \colorbox{lightgreen}{$+n$} & = -10 & \cdots ④
\end{array}
\end{cases}
  • \colorbox{lightgreen}{$-n$}\colorbox{lightgreen}{$-n$} が符号が逆!

①④から n を消して,\ell を求める!

①+④より

\def\arraystretch{1.5}
   \begin{array}{cclr}
   2\ell &  -n & = 4 & \cdots ①\\
   \ell & +n & = -10 & \cdots ④\\ \hline
   3\ell & & = -6\\
 \ell & & = -2
\end{array}

\ell=-2m=-8 を③に代入すると

\begin{align*}
\color{orange}\ell-m+n &\color{orange}= -2 \cdots ③\\
-2-(-8)+n &= -2\\
n &= -8
\end{align*}

よって,求める円の方程式は

\begin{align*}
\color{orange}x^2+y^2+\ell x+my+n &\color{orange}= 0\\
x^2+y^2+(-2)x+(-8)y+(-8) &= 0\\
x^2+y^2-2x-8y-8 &= 0
\end{align*}

【解答】

求める円の方程式を x^2+y^2+\ell x + my+n = 0 とする。

{\rm A}(1,\ 3) を通るから 代入して

\begin{align*}
1^2+3^2+\ell \cdot 1+m \cdot 3+n &= 0\\
1+9+\ell+3m+n &= 0\\
\ell+3m+n &= -10 \cdots ①
\end{align*}

{\rm A}(5,\ -5) を通るから 代入して

\begin{align*}
5^2+(-5)^2+\ell \cdot 5+m \cdot (-5)+n &= 0\\
25+25+5\ell-5m+n &= 0\\
5\ell-5m+n &= -50 \cdots ②
\end{align*}

{\rm A}(4,\ 2) を通るから 代入して

\begin{align*}
4^2+2^2+\ell \cdot 4+m \cdot 2+n &= 0\\
4\ell+2m+n &= -20 \cdots ③
\end{align*}

作戦タイム!

\begin{cases}
\def\arraystretch{1.5}
   \begin{array}{cccll}
   \ell & +3m & \colorbox{lightcyan}{$+n$} & = -10 & \cdots ①\\
   5\ell & -5m & \colorbox{lightcyan}{$+n$} & = -50 & \cdots ②\\
   4\ell & +2m & \colorbox{lightcyan}{$+n$} & = -20 & \cdots ③
\end{array}
\end{cases}
  • \colorbox{lightcyan}{$+n$} が同じ!
  • ①が比較的係数が少ない!

①②,①③から n を消して,\ell,\ m 2式を求める!

②ー①より

\def\arraystretch{1.5}
   \begin{array}{cccclr}
 &  5\ell & -5m & +n & = -50 & \cdots ②\\
-)  & \ell & +3m & +n & = -10 & \cdots ①\\ \hline
  & 4\ell & -8m & & = -40\\
  & \ell & -2m & & = -10 & \cdots ④
\end{array}

③ー①より

\def\arraystretch{1.5}
   \begin{array}{cccclr}
 &  4\ell & +2m & +n & = -20 & \cdots ③\\
-)  & \ell & +3m & +n & = -10 & \cdots ①\\ \hline
  & 3\ell & -m & & = -10 & \cdots ⑤
\end{array}

作戦タイム!

\begin{cases}
\def\arraystretch{1.5}
   \begin{array}{ccll}
   \ell & -2m & = -10 & \cdots ④\\
   3\ell & -m & = -10 & \cdots ⑤
\end{array}
\end{cases}
  • \times 3 すると,3\ell がそろうから消せる!
  • \times 2 すると,2m がそろうから消せる!

④⑤から m を消して,\ell を求める!

④ー⑤\times 2 より

\def\arraystretch{1.5}
   \begin{array}{cccll}
   & \ell &  -2m & = -10 & \cdots ④\\
   -)& 6\ell & -2m & = -20 & \cdots ⑤ \times 2\\ \hline
   & -5\ell & & = 10\\
 & \ell & & = -2
\end{array}

\ell=-2m=-8 を③に代入すると

\begin{align*}
\color{orange}\ell-m+n &\color{orange}= -2 \cdots ③\\
-2-(-8)+n &= -2\\
n &= -8
\end{align*}

よって,求める円の方程式は

\begin{align*}
\color{orange}x^2+y^2+\ell x+my+n &\color{orange}= 0\\
x^2+y^2+(-2)x+(-8)y+(-8) &= 0\\
x^2+y^2-2x-8y-8 &= 0
\end{align*}

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